Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO

Transkript

1 Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-213 Lars Kristian Henriksen UiO 18. februar 215

2

3 Diskusjonsoppgaver: Oppgave 1 Hvordan kan vi ved å ta utgangspunkt i et frekvensspekter lage en syntstisk lyd? Vil en slik lyd lyde som et ordentlig instrument? Svaret er ja. Vi kan lage en sysntetisk lyd ved hjelp av et frekvensspekter, og vi gjør dette ved hjelp av omvendt fourier-transformasjon. En slik reprodusert lyd vil kunne lyde omtrent som orginalen, men vi mister informasjon om fasen, og det kan derfor bli avvik i lydbildet, sammenlignet med orginalen. Oppgave 2 For CD lyd er samplingsfrekvensen 44.1 khz. Ved lydinnspilling må vi ha et lavpass- filter mellom mikrofonforsterker og samplingskretsene som fjerner alle frekvenser over ca 22 khz. Hva ville kunne skje med lyden ved avspilling dersom vi ikke tok denne regelen høytidelig? Om vi nå spilte inn lyd uten et slikt filter, vil man kunne risikere å ta opp lyder i frekvensområdet over halve verdien av samplingsfrekvensen, som vil føre til en speiling, og dermed uønsket støy. Oppgave 5 Dersom funksjonen g i den innledende beskrivelsen ikke var en ren sinus, hvordan ville vi kunne se dette fra frekvensspekteret etter en diskret fouriertransformasjon? Dersom nevnte funksjon ikke er en ren sinusfunksjon, vil vi kunne se at toppen i frekvensbildet ikke nødvendigvis er sylskarp. Vi kan foreksempel se at toppen er bred i bunn og at den smaler inn mot toppen. Hvis ikke toppen er særlig høy, vil vi kunne risikere å miste informasjon ved at det ikke lenger observeres noen topp, men heller en kurve som vil være vanskelig å bestemme toppunkt i. Oppgave 6 Forsøk med egne ord å beskrive hvorfor den fouriertransformerte til en cosinusfunksjon som bare varer ved et begrenset tidsrom T er helt annerledes enn dersom cosinusfunksjonen hadde vart ved fra minus til pluss uendelig. For å forstå hvorfor dette er, må vi se på hva som ligger bak en Fourier transformasjon. I prosessen finner integralet av produktet mellom to funksjoner, to kurver. Integrerer vi opp en cosinusfunksjon fra minus undelig til unedelig, vil alle positive bidrag nulle ut de negative. Ser vi derimot på en cosinusfunksjon som ikke er evig, men avsluttes etter en tid T, vil bidragene kun nulle hverandre ut dersom T er slik at vi har et helt antall perioder. I alle andre tilfeller, vil vi få et integral forskjellig fra null, fordi de positive/negative bidragene ikke vil gå i null. 2

4 Regneoppgaver: a) Momentant utslag Figur 1: Det komplette tidsbilde Momentant utslag Figur 2: Utsnitt av tidsbilde 3

5 b) X(frekv) X: 4.5 Y: 1.56 X: Y: Frekvens (Hz) Figur 3: Fast Fourier transformation c) Jeg har valgt å plotte hele bildet av fourier transformasjonen, dette fordi jeg ønsker å se hvilke speilinger som foreligger, og om noen av disse kan være kilder til feil. d) Vi bruker her en samplingsfrekvens på 4. khz. Sampligsteoremet sier: Samplingsfrekvensen må være minst dobbelt så stor som høyeste frekvenskomponent i et signal for at et samplet signal skal gi et entydig bilde av signalet. Dersom det kan forekomme høyre frekvenser i det opprinnelige signalet, må disse filtreres bort før sampling for at resultatet skal bli entydig. og vi kan fint konkludere med at samplingsteoremet er tilfredstilt, da høyeste frekvenskomponent i dette signalet er 6 Hz. Det vil si at vi, i dette tilfellet, trenger en samplingsfrekvens på over 1.2 khz for å få et entydig resultat. 4

6 Oppgave 8 X(frekv) X: 1 Y: X: Y: X: 12.3 Y: Frekvens (Hz) Figur 4: Fast Fourier transformation med hjelpeverdier vi kan distutere I denne delen er MATLAB-koden laget slik at vi ser på ett år, og hvor mange ganger noe forekommer per år. Vi ser på første punkt (,7.235), og obeserverer at dette er konstantleddet. Neste punkt (1,9.592) er den årlige variasjonen. Regner vi ut hvor mange ganger vi har fullmåne i løpet av et år, med dager, og fullmåne hver 29.5 dager, får vi 365.3/29.5 = Om temperaturen da henger sammen med månefasen, kan vi forvente å se en topp ved 12.38, noe vi faktisk gjør. Vi kan dermed konkludere med at månefasen spiller en rolle i forhold til temperatur. 5

7 Oppgave 22 a) 45 X: 5598 Y: X(frek) Frekvens (Hz) Figur 5: Fast Fourier transformation av piccolohigh.wav x X(frek) Frekvens (Hz) Figur 6: Fast Fourier transformation av tubalow.wav Går vi inn i disse frekvensbildene, ser vi at grunntonen for piccolofløyten er omkring 56Hz/3, dvs Denne tonen er svært vanskelig å se i fft, men zoomes det nok, kan man se den. I temperert skala vil denne tilsvare en b for H = Hz. Tubaens grunntone ser ut til å ligge på 7Hz, som tilsvarer b for D = Hz. 6

8 b).5 Momentant utslag(rel enh) Figur 7: Utsnitt av tidsbildet til piccolohigh.wav.8 Momentant utslag(rel enh) Figur 8: Utsnitt av tidsbildet til tubalow.wav Når vi ser på disse to utsnittene av tidsbildene, er det ikke vanskelig å se en stor forskjell i harmonien. I tidsbildet for piccolofløyten er vi nær en harmonisk sinusbevegelse, og vi har da også svært få tydelige overtoner. På den andre siden er tubatonen svært lite harmonisk, og vi får en hel mengde med overtoner. 7

9 d).8 Frekvensbilde pro fft.8 Frekvensbilde post ifft Momentant utslag(rel enh) Momentant utslag(rel enh) Figur 9: Frekvensbilde før invers fft Figur 1: Frekvensbilde etter invers fft Vi ser at vi fint klarer å gjenskape det opprinnelige signalet når vi tar den inverse fouriertransformerte av den fouriertransformerte med komplekse deler. Lyden blir også upåklagelig. e) Frekvensbilde post ifft av abs Momentant utslag(rel enh) Figur 11: Frekvensbildet produsert ved ifft av absoluttverdien av den fouriertransformerte. Når vi kjører den inverse fouriertransformasjonen på absoluttverdien av fouriertransformasjonen, ser vi at vi IKKE kommer tilbake til utgangspunktet, men heller ender opp med noe som ikke høres helt riktig ut. Det skal dog poengteres at tubalyden er tilstede, men lyden er fattigere, og mye av informasjonen har gått tapt på veien. 8

10 MATLAB-kode 1 s = 'tubalow.wav'; % Filnavn 2 N = 2^16; 3 nstart = 1; % Forste elementnr du vil bruke i lydfilen 4 nslutt = N; % Siste elementnr du vil lese fra lydfilen 5 [f,fs] = audioread(s, [nstart nslutt]); 6 %sound(f,fs); % Spiller av lyden igjen dersom man vil 7 g = f(:,1); % Henter ut ett monosignal fra stereosignalet f 8 X = fft(g); % FastFourierTransform av lydsignalet 9 Xa = abs(x); % Finner absoluttverdien av fourierspekter 1 11 plot(xa) 12 title('fft abs') 13 xlabel('frekvens (Hz)') 14 ylabel(' X(frek) ') t=linspace(,1.9,n); figure; 2 plot(t,g) 21 title('frekvensbilde pro fft') 22 xlabel('') 23 ylabel('momentant utslag(rel enh)') figure; 27 h = ifft(x); 28 plot(t,h); 29 title('frekvensbilde post ifft') 3 xlabel('') 31 ylabel('momentant utslag(rel enh)') 32 %sound(h,fs); figure; 35 k = ifft(xa); 36 plot(t,k); 37 title('frekvensbilde post ifft av abs') 38 xlabel('') 39 ylabel('momentant utslag(rel enh)') 4 %sound(k,fs); 9