FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)

Transkript

1 FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009

2 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og kvitter i skranken på forværelset, ikke i oblighylla. Behold en egen kopi av din besvarelse! Leveringsfristen er absolutt. Hjemmeeksamen teller ca 35% av karakteren i FYS2140 og må være bestått for å stå i kurset. Dette er en hjemmeeksamen, så dere har full anledning til å bruke forelesningsnotater og lærebok for å finne fram til nødvendig informasjon og til å jobbe sammen. Til gjengjeld forbeholder vi oss retten til å trekke ut noen av dere til en muntlig redegjørelse for besvarelsen deres senere. Der det står begrunn/kommenter svaret", ønsker vi korte og konsise svar som viser at dere har forstått poenget. Lykke til!

3 Oppgave 1: Materiebølger og uskarphet a) Hva menes med at en kvantemekanisk tilstand har skarp bevegelsesmengde? Et elektron beveger seg i positiv retning langs x-aksen med skarp bevegelsesmengde p = kg m/s. Regn dette om til enheter ev/c og skriv ned en eksplisitt (unormert) bølgefunksjon ψ(x, t) som beskriver elektronet i denne tilstanden. b) Betrakt nå en partikkel med masse M som beveger seg i et uendelig bokspotensial,, x < 0 V (x) = 0, 0 x L, x > L (1) Skriv ned bølgefunksjonen ψ(x) for grunntilstanden og vis at den kan skrives som en superposisjon av planbølger. Er ψ(x) en egenfunksjon for bevegelsesmengde-operatoren ˆp, og har denne tilstanden skarp bevegelsesmengde? Begrunn svaret. Diskuter hvordan dette resultatet kan forstås utfra Heisenbergs uskarphetsrelasjon. c) Til slutt skal vi diskutere hvordan uskarphetsrelasjonen manifesterer seg i diffraksjonsforsøk med materiebølger. Anta at monoenergetiske elektroner med kinetisk energi E = 1.0 ev sendes mot en spalte med bredde a = 1.0 nm og treffer en skjerm som befinner seg i avstand D = m bak spalten se figur. Forklar hvorfor uskarphetsrelasjonen forutsier at jo smalere spalteåpningen a er, desto større spredning av treff fås på skjermen. (Hint: Bevegelsesmengden p x til en partikkel gir et mål på hvor langt den beveger seg i x-retningen før den treffer skjermen.) Bruk uskarphetsrelasjonen til å estimere bredden av fordelingen, L i figuren, ved hjelp av et halvklassisk argument. Bruk verdiene for E, a og D gitt i teksten ovenfor (det går bra å regne ikke-relativistisk). Du vil få bruk for konstanten hc = evnm og elektronmassen m e = MeV/c 2. Oppgave 2: Variasjoner over harmonisk oscillator I første del av oppgaven (a-d) betrakter vi en partikkel med masse m og ladning q i et harmonisk oscillator-potensial, V (x) = 1 2 mω2 x 2. Ved tiden t = 0 slår vi dessuten på et homogent elektrisk felt H, slik at partikkelen ved t > 0 i tillegg opplever en potensiell energi Ṽ (x) = qhx. Det oppgis at grunntilstanden for harmonisk oscillator uten det elektriske feltet er ψ 0 (x) = ( ) mω 1/4 e mω 2 h x2 (2) π h a) La oss begynne med en klassisk betraktning: Finn kraften partikkelen påvirkes av, samt likevektsposisjonen x 0 (dvs posisjonen der kraften er null) ved t > 0. b) Skriv ned den tidsuavhengige Schrödingerligningen for partikkelen i potensialet V (x) + Ṽ (x) og vis at den kan skrives på formen h2 d 2 φ(y) 2m dy mω2 y 2 φ(y) = Bφ(y) (3)

4 Spalte Skjerm a L Monoenergetisk materiebølge x D y Figur 1: Til oppgave 1c. Elektroner, alle med samme kinetiske energi E, beveger seg i y-retningen og gjennom en spalte med åpning a. Når de treffer en skjerm i avstand D fra spalten, dannes et diffraksjonsmønster. L gir et mål på (halve) bredden på spredningen av treff på skjermen, dvs. i x- retningen. der B = E + (qh)2 2mω 2. (4) E er her som vanlig egenenergien i den opprinnelige Schrödingerligningen. Oppgi y uttrykt ved den opprinnelige koordinaten x, samt relasjonen mellom φ(y) og ψ(x). c) Bruk resultatet i b) til å skrive ned (uten regning) grunntilstanden φ 0 for partikkelen i det kombinerte potensialet V (x)+ṽ (x). Finn forventningsverdien x i denne tilstanden og kommenter svaret med henblikk på resultatet i a). d) Anta at partikkelens tilstand ψ(x, 0) ved t = 0, dvs idet vi slår på det elektriske feltet, er gitt ved funksjonen ψ 0 (x) i ligning (2). Beregn sannsynligheten for at vi ved et senere tidspunkt, t > 0, vil observere partikkelen i den nye grunntilstanden, beskrevet ved φ 0 fra oppgave c). Gjør tydelig rede for logikken og fremgangsmåten i denne regningen. I resten av oppgaven skal vi se på en annen variant, der partikkelen ikke utsettes for et elektrisk felt, men derimot befinner seg i potensialet { for x < 0 V (x) = m ω 2 2 x 2. (5) for x 0 e) Skriv ned de matematiske kravene bølgefunksjonen må oppfylle for å være en fysisk akseptabel løsning i dette potensialet. Hvilken eller hvilke av følgende funksjoner oppfyller disse kravene og er dermed kandidater til å være (unormerte) bølgefunksjoner for partikkelen i potensialet (5): ψ a = e ax2 ; ψ b = x e bx2 ; ψ c = x e cx2 ; ψ d = x e dx, (6) der a, b, c, d er relle, positive kontstanter.

5 f) Sjekk ved eksplisitt innsetting hvilken av de matematisk tillatte kandidatene fra forrige delspørsmål som oppfyller den tidsuavhengige Schrödingerligningen. Bestem samtidig den ukjente konstanten (a, b, c eller d) for denne løsningen. g) Skriv ned alle de stasjonære løsningene ψ n (x) for potensialet (5) uttrykt ved Hermite-polynomer, med tilhørende egenenergier E n. Hint: Dette krever ingen regning. Ta utgangspunkt i svaret du ga i e) samt tabulert informasjon i læreboka.