Løsningsforslag til øving 12

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik vd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving OPPGVE Husk at N {alle naturlige tall} { 0,,,,... }, Z {alle heltall} {...,,,0,,,,... }, R {alle reelle tall} og {alle komplekse tall} { z : z j, R, R}, a) Mengden av alle heltall større enn eller lik, men mindre enn 4, altså: { Z : 4} {,,, 0,,, } b) Mengden av alle naturlige tall som er multiplum av (inklusiv 0), og samtidig mindre enn eller lik 7, altså: { : n, 7, n N} {0,, 6, 9,,5,8,, 4, 7} c) Merk! Dersom er et oddetall må også være et oddetall. Her har vi altså mengden av alle positive oddetall større enn, dvs.: { N :, odde} {,5,7,9,,...} (nderforstått en uendelig mengde) d) Mengden av alle naturlige tall som oppfller ( 4 ) 0 4, altså tall mindre enn 4. { N : (4 ) 0} {0,,,} e) Mengden av alle reelle tall som oppfller { R : eller ln } { e,,, e } og/eller ln, dvs. og/eller e. {.65,.4,.4,.65} f) Samme kategori som b). Skrivemåten 7 betr heltall delelig med 7. Vi kunne derfor like gjerne skrevet: { : 7n,7 50, n N}. Derfor: { N : 7, 7 50} { 4,,8,5,4,49 } g) Mengden av alle reelle røtter i likningen, dvs.. ltså { R : } { } h) Mengden av alle komplekse røtter i likningen : { : } {, j, j } j Im() Kommentar: Husk fra kapittel i boka at n fordelt rundt en sirkel med radius r a har n komplekse røtter jevnt n a. Dvs. at hver av de n - j - 0 Re() j k røttene kan skrives som: r e n k, med k 0,,,..., n I vårt tilfelle: 60 j0 j j0 0 e, e e, j40 e, som omskrevet med Eulers setning: e j cos angitte mengden. 60 jsin, gir den OPPGVE a) Ja, På listeform: {,,,0,,,,4}. Vi ser at samtlige elementer i også finnes i. må derfor være en delmengde av. b) Nei,. På listeform: {,4}. Merk at fordi må være et positivt heltall ( N ) c) Komplementet til blir resten av tallmengden Z, dvs.: { Z: 5} {5,6,7,8,...} ( Z, ) side av 5

2 OPPGVE a) {,,,4,5,6,7,8,9} ( Sammensatt av samtlige elementer i delmengdene, og ). b) nionen av og betr alle elementer som er med i minst en av mengdene, altså elementer i og/eller i. {,,,4,5,6,7,8} c) Snittet av og er alle elementer som er med i både og (samtidig), dvs.: {,5} d) {5} (Eneste element som er med i samtlige delmengder) e) Komplementet til er alle elementer i universalmengden som ikke er med i, dvs. {7,8,9} f ) Differensmengden " minus " er alle elementene i unntatt de som også er element i, dvs. {7,8} g) {7,8}. Ekvivalent med mengden i f). gjelder generelt. Mengdene i pkt.b)-g) er vist som de skggelagte områdene i Venndiagrammene: h), i), j), k) DeMorgans lover: {9}, {,, 4,6,7,8,9} l), m), n), o) Distributive lover: ( ) ( ) ( ) {,,,4,5,6,8 } ( ) ( ) ( ) {,,5} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p) ( ( )) ( ) {} q) {,, 4,6} r) ( ) {,5,8,9} s) Smmetrisk differensmengde, altså alle elementer som er med i enten eller, men ikke i begge: ( ) ( ) {,,4,6,7,8} OPPGVE 4 Obs! Vha. operatorer (,,,... ) kan mengdene beskrives på flere måter, her er det bare vist ett alternativ. (Svarene på listeform derimot er selvsagt entdige). D, E og F er vilkårlig valgte navn på de søkte mengdene. a) D (( ) ) ( ) Hvor: {,, 4,5, 7,8,9,,,5}, ( ) {,,5,8,}, {,}. Dermed: D {,,5,8,} {,} {,5,8} b) E ( ( )) (( ) ( ) ) Hvor: {,,,4,5,8,,5}, ( ) {7,9,}, {,8,}, ( ) ( ) {8}, og dermed: E {7,9,} {8} {7,8,9,} c) F ( ) ( ) {6,0,,4} {,} {, 6,0,,,4} side av 5

3 OPPG. 4 (forts.) Plasseringen av hvert enkelt element i de gitte mengdene: 7, 9, 6, 0,, 4, 5 OPPGVE 5 lle utsagnene er ekvivalente! M.a.o.:,,, og er alternative måter å fortelle at Vha. av Venndiagram innser vi at mengden må være innesluttet i mengden (ltså ) for å oppflle hvert enkelt av punktene a), b), c), d) og e). 5, 8 4 (skggelagt) (skggelagt) OPPGVE 6 a) {,6} M ( ) {,,,6} {,,,5,6}, {5} N ( ) ( ) {,,,6} Med andre ord, i dette spesialtilfellet er M N og N M og dermed M N b) Generelt: M ( ) N ( ) ( ) Vi ser at alt som er skggelagt i N også er skggelagt i M, men ikke omvendt. (N mangler biten Generelt er derfor N M, men M N og følgelig M N. ( I pkt.a) var M N fordi i det spesielle tilfellet ). ) OPPGVE 7 niversalmengden: {,,,...,000 }. ntall: 000 Delelig med 5: D 5 {5,0,5,..., 000 }. ntall: Delelig med 7: D 7 {7,4,,...,994 }. ntall: Delelig med både 5 og 7: {5,70,05,...,980}. ntall: ntall elementer delelig med 5 eller 7: Vi skal finne mengden som verken er delelig med 5 eller 7, m.a.o. komplementmengden til D side av 5

4 OPPGVE 8 a) Den universelle mengden må være alle spurte, slik at 000 Mengden D: "ruker ingen av merkene" må være komplementet til "bruker minst ett merke", dvs: D Det er altså 70 av de spurte som bruker iallefall ett av merkene. Vi søker antallet som bruker alle merkene, dvs. både, og, dvs. Vi har sammenhengen: Innsatt de oppgitte data: Svar: 80 av de spurte (4 %) har prøvd alle merkene med vaskepulver. b) Vi kan med fordel tegne et Venn-diagram. v Fig. innser vi at mengden som bruker både og, men ikke må tilsvare differensmengden ( ) ( ), dvs. antallet Svar: 60 av de spurte ( %) har prøvd både merke og, men aldri. Fig. Fig. c) lternativ t i fra Fig. ser vi at antallet som bruker kun ett merke kan skrives som: Svar: 400 av de spurte (70 %) bruker/har prøvd kun ett merke (enten eller eller ). lternativ s p t u v r q w Kan finne antallet i hver avgrensede "seksjon". Innser at: w D 80, u 80 (begge fra pkt. a) s u , t u 80 v 60 (identisk med i pkt. b). p s t u q s u v r t u v Svar: ruker kun ett merke: p q r Kommentar: lternativ er mer tungvint, men det gir samtidig svar på en rekke andre mulige spørsmål. side 4 av 5

5 OPPGVE 9 Produktet gir en n mengde med ordnede par av tpe (a,b), dvs. {(a,b) : a,b }. Tilsvarende må gi ordnede par av tpe (b,a), dvs. Listeform: {(b,a) : b,a } { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } { (,), (,), (,), (,), (,), (,) } Merk at OPPGVE 0 De gitte mengdene er vist skggelagt. ( Mengdene og strekker seg underforstått mot i hhv. - og -retning ) a), b) og c) 0,5 0,5-0,5-0,5 d) og e) 0, ,5 - side 5 av 5