Matematikk 15 V-2008

Transkript

1 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z : z = + jy, R, y R }, a) Mengden av alle heltall større enn eller lik, men mindre enn 4, altså: { Z : < 4} = {,,, 0,,, } b) Mengden av alle naturlige tall som er multiplum av (inklusiv 0), og samtidig mindre enn eller lik 7, altså: { : = n, 7, n N} = {0,, 6, 9,,5,8,, 4, 7} c) Merk! Dersom er et oddetall må også være et oddetall. Her har vi altså mengden av alle positive oddetall større enn, dvs.: { N : >, = odde} = {, 5, 7, 9,,...} (nderforstått en uendelig mengde) d) Mengden av alle naturlige tall som oppfyller ( 4 ) > 0 < 4, altså tall mindre enn 4. { N : (4 ) > 0} = {0,,, } e) Mengden av alle reelle tall som oppfyller = { R : = eller ln = } = { e,,, e } og/eller ln =, dvs. = ± og/eller = e. {.65,.4,.4,.65} f) Samme kategori som b). Skrivemåten 7 betyr heltall delelig med 7. Vi kunne derfor like gjerne skrevet: { : = 7n, 7 < < 50, n N}. Derfor: { N : 7, 7 < < 50} = { 4,, 8, 5, 4, 49 } g) Mengden av alle reelle røtter i likningen =, dvs. =. ltså { R : = } = { } h) Mengden av alle komplekse røtter i likningen = : { : = } = {, + j, j } + j Im() Kommentar: Husk fra kapittel i boka at n = a har n komplekse røtter jevnt fordelt rundt en sirkel med radius r = n a. Dvs. at hver av de n - j - 0 Re() røttene kan skrives som: = r e n, med k = 0,,,..., n I vårt tilfelle: 60 k j 60 j0 j j0 j40 0 = e, = e = e, = e, ϕ e j = cos ϕ + jsin ϕ som omskrevet med Eulers setning: angitte mengden. k, gir den OPPGVE a) Ja, På listeform: = { L,,, 0,,,, 4}. Vi ser at samtlige elementer i også finnes i. må derfor være en delmengde av. b) Nei,. På listeform: = {, 4}. Merk at fordi må være et positivt heltall ( N ) c) Komplementet til blir resten av tallmengden Z, dvs.: = { Z: 5} = {5, 6, 7,8,...} ( = Z, = ) OPPGVE a) = {,,, 4, 5, 6, 7,8, 9} ( Sammensatt av samtlige elementer i delmengdene, og ). b) nionen av og betyr alle elementer som er med i minst en av mengdene, altså elementer i og/eller i. = {,,, 4, 5, 6, 7,8} side av 5

2 OPPG. (forts.) c) Snittet av og er alle elementer som er med i både og (samtidig), dvs.: = {, 5} d) = {5} (Eneste element som er med i samtlige delmengder) e) Komplementet til er alle elementer i universalmengden som ikke er med i, dvs. = {7,8, 9} f ) Differensmengden " minus " er alle elementene i unntatt de som også er element i, dvs. = {7,8} g) = {7,8}. Ekvivalent med mengden i f). = = gjelder generelt. Mengdene i pkt.b)-g) er vist som de skyggelagte områdene i Venndiagrammene: = h), i), j), k) DeMorgans lover: = = {9}, = = {,, 4, 6, 7,8,9} = = l), m), n), o) Distributive lover: ( ) = ( ) ( ) = {,,,4,5,6,8} ( ) = ( ) ( ) = {,,5} ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) p) ( ( )) ( ) = {} q) = {,, 4, 6} r) ( ) = {, 5,8, 9} s) Symmetrisk differensmengde, altså alle elementer som er med i enten eller, men ikke i begge: = ( ) ( ) = {,, 4, 6, 7,8} OPPGVE 4 Obs! Vha. operatorer (,,,... ) kan mengdene beskrives på flere måter, her er det bare vist ett alternativ. (Svarene på listeform derimot er selvsagt entydige). D, E og F er vilkårlig valgte navn på de søkte mengdene. a) D = (( ) ) ( ) Hvor: = {,, 4, 5, 7, 8, 9,,,5}, ( ) = {,, 5,8,}, = {,}. Dermed: D = {,, 5,8,} {,} = {, 5,8} b) E = ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) Hvor: = {,,, 4, 5,8,,5}, ( ) = {7, 9,}, = {,8,}, ( ) ( ) = {8}, og dermed: E = {7, 9,} {8} = {7,8, 9,} c) F = ( ) ( ) = {6,0,,4} {,} = {, 6,0,,,4} Plasseringen av hvert enkelt element i de gitte mengdene: 7, 9, 6, 0,, 4, 5, side av 5

3 OPPGVE 5 lle utsagnene er ekvivalente! M.a.o.: =, =,, = og = er alternative måter å fortelle at Vha. av Venndiagram innser vi at mengden må være innesluttet i mengden (ltså ) for å oppfylle hvert enkelt av punktene a), b), c), d) og e). (skyggelagt) (skyggelagt) OPPGVE 6 a) = {, 6} M = ( ) = {,,, 6} b) = {,,, 5, 6}, = {5} N = ( ) ( ) = {,,, 6} Med andre ord, i dette spesialtilfellet er Generelt: M N og N M og dermed M = N M = ( ) N = ( ) ( ) Vi ser at alt som er skyggelagt i N også er skyggelagt i M, men ikke omvendt. (N mangler biten Generelt er derfor N M, men M N og følgelig M N. ( I pkt.a) var M = N fordi = i det spesielle tilfellet ). ) OPPGVE 7 niversalmengden: = {,,,...,000}. ntall: = Delelig med 5: D 5 = {5,0,5,...,000}. ntall: D5 D5 = Delelig med 7: D 7 = {7,4,,..., 994}. ntall: D7 D7 = Delelig med både 5 og 7: D5 D 7 = {5, 70,05,..., 980}. ntall: D5 D7 D5 D7 = 8 5 ntall elementer delelig med 5 eller 7: D5 D7 = D5 + D7 D5 D7 = = 4 Vi skal finne mengden som verken er delelig med 5 eller 7, m.a.o. komplementmengden til D5 D7 = D5 D7 = D5 D7 = = 686 OPPGVE 8 a) Den universelle mengden må være alle spurte, slik at = 000 Mengden D: "ruker ingen av merkene" må være komplementet til "bruker minst ett merke", dvs: D = = 80 = 000 = 70 Det er altså 70 av de spurte som bruker iallefall ett av merkene. Vi søker antallet som bruker alle merkene, dvs. både, og, dvs. Vi har sammenhengen: = Innsatt de oppgitte data: 70 = = 80 Svar: 80 av de spurte (4 %) har prøvd alle merkene med vaskepulver. side av 5

4 8b) Vi kan med fordel tegne et Venn-diagram. v Fig. innser vi at mengden som bruker både og, men ikke må tilsvare differensmengden ( ) ( ), dvs. antallet = = = 60 Svar: 60 av de spurte ( %) har prøvd både merke og, men aldri. Fig. Fig. c) lternativ t i fra Fig. ser vi at antallet som bruker kun ett merke kan skrives som: y = + = = 400 Svar: 400 av de spurte (70 %) bruker/har prøvd kun ett merke (enten eller eller ). lternativ s p t u v r q w Kan finne antallet i hver avgrensede "seksjon". Innser at: w = D = 80, u = = 80 (begge fra pkt. a) s = u = = 80, t = u = = 00 v = 60 (identisk med i pkt. b). p = s t u = = 600 q = s u v = = 440 r = t u v = = 60 Svar: ruker kun ett merke: p + q + r = = 400 Kommentar: lternativ er mer tungvint, men det gir samtidig svar på en rekke andre mulige spørsmål. OPPGVE 9 Produktet gir en ny mengde med ordnede par av type (a,b), dvs. = {(a, b) : a, b }. Tilsvarende må gi ordnede par av type (b,a), dvs. = {(b, a) : b, a } Listeform: = { (, ), (, y ), (, ), (, y ), (, ), (, y ) = { (,), (, ), (,), ( y,), ( y, ), ( y, ) } Merk at } side 4 av 5

5 OPPGVE 0 De gitte mengdene er vist skyggelagt. ( Mengdene og strekker seg underforstått mot ± i hhv. y- og -retning ) a), b) og c) y y y 0,5 0,5-0,5-0,5 d) og e) y y 0, ,5 - side 5 av 5