Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016

Transkript

1 Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Oppgave 1 a) b) r = p q p q s = p q q p q p t = p q p q c) Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (p q) r og p (q r) ikke er ekvivalente. i) m n(n 2 = m) Med ord: For alle heltall m finnes det et annet heltall n som, er som opphøyet i 2., er lik m. Dette betyr at m = n, dvs. at m er alltid vil være et heltall. Men 2 er f. eks. ikke et heltall, så dette er USANT: ii) iii) m n(mn > n) Med ord: For alle heltall er det slik at hvis vi multipliserer to vilkårlige heltall med hverandre så vil produktet alltid være større enn en av faktorene. Men hvis vi lar m være negativ og n være positiv så vil produktet være negativt og følgelig mindre enn n som er positiv. Følgelig er utsagnet USANT. m n(n 2 = m) Med ord: Det eksisterer et tall m som er slik at alle andre tall som vi opphøyer i 2. er lik dette m. 1

2 Hvis dette skulle vært sant, skulle alle tall man opphøyde i 2. blitt lik det samme tallet m. Det er det selvfølgelig ikke. 2 2 = 4 er forskjellig fra 3 2 = 9. Altså er utsagnet USANT. Hvis derimot kvantorene bytter plass og vi har n m(n 2 = m), vil uttrykket være sant: For alle heltall n så finnes det et annet heltall som er lik n opphøyet i 2. Sagt på en annen måte: Kvadratet av ethvert heltall er et heltall. Multipliserer vi to heltall med hverandre blir produktet også et heltall. Oppgaven viser at rekkefølgen kvantorene står i har betydning for utsagnets sannhetsinnhold. iv) m n(n 2 m < 100) Det finnes et heltall n som er slik at når vi opphøyer det i 2. kan vi trekke fra ethvert annet heltall og få et svar som er mindre enn hundre. n 2 kan ikke være negativt. Hvis jeg f. eks. velger m = 100 vil svaret jeg få være n 2 m 100. Følgelig er utsagnet USANT. d) P(x): x har Mac Q(x): x har en ipad i) «Det finnes en student som...» betyr at «det eksisterer en x som..». Dermed må vi bruke eksistenskvantoren. Med andre ord slik: x(p(x) Q(x)) ii) iii) iv) Når vi har «alle» må vi bruke all-kvantoren, dvs. slik: x(p(x) Q(x)) «Det finnes en..» betyr at vi må bruke eksistenskvantoren: x(p(x) Q(x)) Dette kan vi skrive slik: For alle studenter gjelder at hvis studenten har en ipad, så har studenten en Mac. «For alle» gir at vi må bruke all-kvantoren og hvis at vi har en implikasjon. Dette kan settes opp slik: x(q(x) P(x)). Det er mulig å skrive det annerledes. Husk at hvis a og b er to utsagn, så er a b ekvivalent med a b. Dermed får vi at x(q(x) P(x)) er ekvivalent med x( Q(x) P(x)) som igjen er ekvivalent med (DeMorgans lov) x(q(x) P(x)). Dette oversettes til: Det er ingen studenter som har ipad uten at de har en Mac. 2

3 Oppgave 2 a) i) A B = (A B) (B A) = {1, 7} {4, 5} = {1, 4, 5, 7} ii) (A B) C = {1, 4, 5, 7} { 3, 5, 6, 7} = {1, 3, 4, 6} b) i) ii) c) For eksempel (A C) (B C) d) La D være mengden av de som tar Diskret matematikk, P de som tar Programmering og W de som tar Webprosjekt. En oppgave av denne typen kan løses på flere måter. En måte er å bruke formler for antall i mengder. En annen måte er å «fylle ut» et Venn-diagram. Det er normalt enklest å bruke Venn-diagram. 1) Formler for antall i mengder Inklusjon-eksklusjonsformelen sier at D P W D P W D P D W P W D P W 1) Vi får D P W = = 206. Dvs. 206 som tar minst ett emne. Da blir det = 14 som ikke tar noen emner. 2) Vi skal finne antallet i D P W. Denne mengden er lik D P D P W og 3

4 siden D P W er en delmengde av D P får vi at D P D P W blir lik D P D P W. Dermed blir svaret = 6. 3) På samme måte som i b) kan vi finne at D W P = 10 og P W D = 2. Svaret blir derfor = 18. 4) Her skal vi finne antallene i D (W P), P (D W) og W (D P). Antallet i D (W P) er lik antallet i D D (W P) og D D (W P) = D D (W P). Videre har vi at D (W P) (D W) (D P). Dermed blir D (W P) D W D P D P W. Til sammen får vi at D (W P) = 180 ( ) = 14. Antallet til P (D W) blir 8 og antallet til W (D P) blir 16. Svaret blir derfor = 38. 2) Bruk av Venn-diagram Dette er normalt den enkleste og raskeste metoden. Opplysningene legges inn i et Venndiagram slik at hvert tall står for antallet elementer i den delen der tallet står. Da starter vi med å fylle området i midten. Det representerer mengden D P W der antallet er 150. Så fortsetter vi utover. Mengden D P har to deler. Det er D P W og D P D P W. Siden antallet i D P er 156 og antallet i D P W er 150, blir antallet i D P D P W lik = 6. Osv. Det gir oss flg. utfylte Venn-diagram: i) Her skal vi finne antallet i mengden U (D P W). Det blir = 14 ii) Her skal vi finne antallet i mengden (D P) W. Det blir 6. iii) Her skal vi finne antallet i mengden ((D P) W) ((P W) D) ((D W) P). Det blir = 18. iv) Her skal vi finne antallet i mengden (D (P W) (P (D W) (W (D P)). Det blir = 38. 4

5 e) NB! Universal mengden tallene fra 1 til 9, dvs. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Hvis man har tolket universalmengden som U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, blir det et element mindre i de seks siste deloppgavene. i) A B = {3, 4, 5} ii) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} iii) = {6, 7, 8, 9} iv) = {1, 2, 8, 9} v) = {1, 2, 6, 7, 8, 9} vi) = {1, 2, 6, 7, 8, 9} vii) = {8, 9} viii) = { 8, 9} Vi ser at = og = Oppgave 3 Vi ser at f er en-til-en siden det ikke går mer enn én pil inn til noe element i B. f er også på siden det går en pil til alle elementene i B. Funksjonen g er derimot ikke en-til-en siden det går to piler inn til elementet x. Men g er på siden det går en pil til alle elementene i C. h = g o f h(1) g(f(1)) = g(c) = y h(2) g(f(2)) = g(a) = z, h(3) = g(f(3)) = g(d) = x h(4) = g(f(4)) = g(b) = x. Funksjonen h har ingen invers siden den ikke er en-til-en. 5

6 i) f(0) = (0 mod 3) + ( 0 mod 7) = 0 f(4) = (4 mod 3) + ( 4 mod 7) = = 5 f(10) = (10 mod 3) + (10 mod 7) = = 4 f(12) = (12 mod 3) + (12 mod 7) = = 5 ii) k mod 3 vil alltid være mindre eller lik 2, dvs. 0, 1 eller 2, mens k mod 7 alltid vil være mindre eller lik 6, dvs. 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Dermed vil f(k) alltid være mindre eller lik 8. Følgelig finnes det ingen k slik f(k) = 9. Det finnes imidlertid en k slik at f(k) = 8. Vi kan finne k ved å løse ligningssettet k mod 3 = 2 k mod 7 = 6 Hvis vi for eksempel velger k = 20 får vi f(20) = (20 mod 3) + (20 mod 7) = = 8. iii) V f = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} iv) f er ikke en-til-en fordi forskjellige verdier for k kan gi samme funksjonsverdi, for eksempel f(4) = f(12) = 5. v) f er ikke på fordi V f er forskjellig fra verdiområdet. V f er en delmengde av verdiområdet. Oppgave 4 6

7 Oppgave 5 For at et matriseprodukt AB skal være definert må antallet kolonner i A være lik antallet rader i B. Vi ser at A er en 2x3-matrise, Ber en 3x2-matrisen og C er en 3x3-matrise. Dermed får vi at i) AB er definert ii) BA er definert iii) AC er definert 7

8 b) iv) CA er ikke definert v) BC er ikke definert vi) CB er definert 8