Matematikk for IT, høsten 2016

Transkript

1 Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig 2 Løsningsforslag 6. september a, b, c, c, d og C a, b, c, d vgjør om en av mengdene er en delmengde til en av de to andre. Her ser vi at C og C Hvilke påstander er sanne om 1, 3, 4 a) Sann b) Falsk c) Sann d) Falsk e) Sann f) Falsk g) Falsk h) Falsk i) Sann j) Falsk , 2, 3, 4 og 3, 4, 5 a) 1, 2, 3, 4, 5 b) 3, 4 c) 1, 2 d) Gitt U 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5 og 1, 2, 7 a) ( ) C C.

2 Her kan vi først finne : 1, 2, 3, 4, 5 Vi finner så snittet mellom denne mengden og C: ( ) C 1, 2 b) ( C) Her er det lurt å først finne C Vi finner så unionen av denne og : ( C) C : 1, 2, 3, 4 c) C Her finner vi først : 5, 6, 7, 8 Dette gir C 7 d) ( C) Her får vi C som gir C og følgelig 1, 5, 2, 3, 4, 7 6, 8 ( C) e) ( ) C Her er og følgelig 1, ( ) C 5 2, 3, 4, 5 3, 4, 5 f) ( C ) Her er C og derfor 3, C Videre er 4, 5, 6, 8 6, 8 2

3 5, 6, som følgelig gir 7, 8 ( C ) , 2, 3 og a, b. a) ( 1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b) Oppgave 1 a) Hva kreves for at man skal kunne si at to mengder er like? For at to mengder skal være like, må de inneholde de samme elementer. b) Hvilke av disse mengdene er like? = {1, 2, 3} = {3, 2, 1, 3} C = {3, 1, 2, 3} D = {1, 2, 2, 3} lle disse mengdene er like. Oppgave 2 Gitt mengdene = {0}, = {1, 2, 3} og C = {2, 3, 5}, samt universet U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hva er da: a) = {0} b) = {0, 1, 2, 3} c) = 1 (antall elementer i mengden ) d) = 3 e) C = 4 f) C = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9} g) P ( C), 2, 3, 5, 2,3, 2,5, 3,5, 2,3,5 h) C = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)} 3

4 Oppgave 3 Gitt tre ikke-disjunkte mengder, og C (dvs. mengder som har felles elementer, tegnet som delvis overlappende i et venndiagram). Tegn venndiagram som viser følgende: a) b) Vi ser av dette ved å sammenligne med oppgave a), at. c) ( ) C C 4

5 d) ( C) C e) ( ) ( C) C Vi ser av dette ved å sammenligne med oppgave d, at ( C) = ( ) ( C) g) C C 5

6 Oppgave 4 Skriv følgende mengder ved å liste opp deres elementer: a) = {n n er et positivt oddetall mindre enn 10} = {1, 3, 5, 7, 9} b) = {n n 2 < 5 og n Z} = { 2, 1, 0, 1, 2} c) C = {1 + ( 1) n n N} C = {0, 2} d) D = {x Z x 0} {x Z x > 6} D = {,-2, -1, 0, 7, 8, 9, } Oppgave 5 enytt Venn-diagram til å diskutere følgende: a) nta at. Hva er da? Vi ser at dersom, så er =. 6

7 b) nta at. Hva er da? Vi ser at dersom, så er =. c) nta at og C. Er da C? C U Vi ser at vi da må ha at C. Oppgave 6 Gjør en forenkling av følgende uttrykk ved hjelp av lovene for mengdeteori: Vær oppmerksom på at det kan finnes andre veier for å komme fram til rett svar enn de jeg viser her. a) ( ) (rett svar: ) Fra oppgave 3b vet vi at Setter vi inn dette, får vi ( ) 7

8 enytter vi den assosiative lov for snitt, får vi at dette er lik ( ) v inversloven ser vi at uttrykket i parentesen er lik. Får da enytter vi dominansloven, finner vi at dette er b) ( C ) (rett svar: C ) Vi benytter først De Morgans lov på den første delen av uttrykket, og får ( ) ( C ) For enklere å kunne se det neste trinnet innfører vi nå en hjelpemengde definert ved D = og kan da skrive uttrykket som (setter inn for to steder): ( D ) ( D C ) ruker vi så den distributive loven, kan vi skrive dette som ( D D) ( D C ) ruker vi den kommutative loven på den første parentesen (bytter om på D og D), og deretter inversloven, finner vi at D D U, og vi skriver U ( D C ) Identitetsloven sier at en mengde snitt U er mengden selv, så dette kan da skrives D C Vi erstatter nå D med og får: ( ) C ) ruker vi De Morgans lov på den første parentesen, får vi C som er det søkte svaret. Ved hjelp av De Morgans lov, kan dette også skrives som C Oppgave 7 Ved en høyskole ble det foretatt en undersøkelse for å finne ut hvilke av de tre avisene Halden rbeiderblad, Dagbladet og studentene brukte når de skulle sette opp sine tippesystemer. Undersøkelse ga følgende resultat: v til sammen 100 studenter som satte opp tippesystem, svarte - 28 at de brukte Halden rbeiderblad (og evt. en av de to andre avisene) - 26 at de brukte Dagbladet (og evt. en av de to andre avisene) - 14 at de brukte (og evt. en av de to andre avisene) - 8 at de brukte både Halden rbeiderblad og Dagbladet (og evt. ) - 4 at de brukte både Halden rbeiderblad og (og evt. Dagbladet) - 3 at de brukte Dagbladet og (og evt. Halden rbeiderblad) - 2 at de brukte alle tre avisene Her må vi benytte prinsippet for inklusjon og eksklusjon. For tre mengder lyder dette: C = + + C C C + C 8

9 Her kan vi definere mengdene H som mengden av de studenter som benytter Halden rbeiderblad, D som mengden av de som benytter Dagbladet og som mengden av de som benytter. Vi kan tegne disse slik: H D Vi har da fra oppgaveteksten: Universet, dvs mengden av alle de 100 studentene som satte opp tippesystem: U = 100 De som brukte H: H = 28 De som brukte Dagbladet: D = 26 De som brukte : = 14 De som brukte både H og Dagbladet: H D = 8 De som brukte både H og : H = 4 De som brukte både Dagbladet og : D = 3 De som brukte alle tre avisene H D = 2 a) Hvor mange av studentene brukte minst én av avisene? H D 9

10 H D = H + D + - H D - H - D + H D = = 55 b) Hvor mange av studentene satte opp sitt tippesystem uten å bruke noen av de tre avisene? H D Mengden av studenter som ikke brukte aviser, er gitt ved H D U ( H D ) Kardinaliteten til denne mengden, er gitt ved H D U ( H D ) = 45 c) Hvor mange studenter brukte både Halden rbeiderblad og Dagbladet, men ikke? H D 10

11 Kardinaliteten er her gitt ved (H D) H D = 8 2 = 6 d) Hvor mange av studentene brukte både Dagbladet og, men ikke Halden rbeiderblad? H D ( D) H D = 3 2 = 1 e) Hvor mange av studentene brukte Dagbladet, men ingen av de to andre avisene? H D D (H D) ( D) + H D = = 17 Her er en oversikt over hvor mange som er i de ulike delene av mengdene: 11

12 H D