Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Transkript

1 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = Tverrsummen til a er lik = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen til a. Da er a sum(a)(mod 9) Dvs. a er kongruent med sin tverrsum modulo 9. Bevis. Tallet a har et bestemt antall siffer. Her tenker vi oss at a har fire siffer. Beviset kan gjøres på tilsvarende måte hvis har et annet antall siffer. La de fire sifrene til a være x, y, z og u: a = xyzu. (f.eks. hvis a = 3758 er x = 3, y = 7, z = 5 og u = 8) Tallet a kan skrives som a = 1000x + 100y + 10z + u. mens tverrsummen sum(a) = x + y + z + u I følge definisjonen er a b(mod m ) hvis m går opp i (a b), dvs. m (a b). Her blir b = sum(a) og m = 9, og vi får da 1

2 a sum(a) = 1000x + 100y + 10z + u x y z u = 999x + 99y + 9z = 9(111x + 11y +z) Siden 9 er faktor betyr det at 9 går opp i (a sum(a)). Med andre ord er a kongruent med tverrsummen til a modulo 9: a sum(a)(mod 9). Gjentatt tverrsum. Den gjentatte tverrsummen til et tall a er det tallet vi får ved å ta tverrsummen til tverrsummen osv. til vi ender opp med et ensifret tall. Eksempel. La = Tverrsummen til a blir = 23. Tverrsummen til 23 = 5. Dette betyr at (mod 9). Stemmer det? Ja, fordi = 3753 = Vi ser at 9 er faktor og 9 går derfor opp i Følgelig er a og kongruent med den gjentatte tverrsummen til a modulo 9. Testing av svar i et regnestykke. La a og b være hele tall, og la g(a) være den gjentatte tverrsummen til a og g(b) den gjentatte tverrsummen til b. Da har vi a g(a)(mod 9) og b g(b)(mod 9). I følge regnereglene for kongruenser får vi a b g(a) g(b)(mod 9) 2

3 La f. eks. a = 3758 og b = 347. Tar vi den gjentatte tverrsummen av tallene får vi g(a) = 5 og g(b) = 5 Da blir g(a) g(b)= 5 5= 25 der tverrsummen blir = 7. Dette betyr at g(ab), dvs. den gjentatte tverrsummen g(ab) også må bli 7. Vi sjekker: = g( ) = g( ) = g(16) = = 7. Vi fikk som ventet 7 begge ganger. Hvis vi i utregningen av ab hadde fått et svar som ikke hadde 7 som gjentatt tverrsum, så må svaret være feil. Hvis vi imidlertid bytter om to siffer i et korrekt svar vil ikke denne testen avsløre det! Kongruensligninger La a, b og m være hele tall der m > 0. Da har vi følgende generelle kongruensligning: a x b(mod m) Vi skal finne en x der 0 x < m slik at kongruensen er sann. Eksempel La a = 3, b = 5 og m = 7. Løs ligningen 3x 5(mod 7) Vi kan bruke «prøving og feiling» for å finne x: 3

4 x = 4 er løsningen av 3x 5(mod 7) Kontrollsiffer anvendelse av kongruensregning Kontrollsiffer brukes for å unngå at tallkoder som brukes til å identifikasjon skrives feil. Eksempler på dette er blant annet fødselsnummer (11 siffer), kontonummer (11 siffer), KIDnummer for regninger, ISBN-nummer for bøker (10 eller 13 siffer). I oblig 2 tas ISBN-13 opp. Nå skal vi se på et tilsvarende eksempel med ISBN-10. Bokforlaget bestemmer de 9 første sifrene. Siffer nr. 10 er et kontrollsiffer. La de 9 første sifrene være s 1, s 2, s 3,.., s 9. Det tiende sifferet, s 10, bestemmes på denne måten: 9 s 10 = ( i=1 i s i )mod 11 = (1 s s s s 9 )mod 11 Når vi brukes mod 11, kan resten bli fra og med 0 til og med 10. Hvis resten blir 10 brukes vi isteden bokstaven x som er romertall 10, slik at 10 blir representert med bare et «siffer». 4

5 Eksempel Forrige utgave av vår lærebok i Diskret matematikk hadde følgende ISBN-kode: Vi får 9 s 10 = ( i=1 i s i ) mod 11 = ( ) mod 11 = ( ) mod 11 = 179 mod 11 = 3 Vi ser at siste siffer i ISBN-nummeret er 3 og det stemmer med utregningen vår. Kontrollsiffer anvendelse av kongruensregning Kontrollsiffer brukes for å unngå at tallkoder som brukes til å identifikasjon skrives feil. Eksempler på dette er blant annet fødselsnummer (11 siffer), kontonummer (11 siffer), KIDnummer for regninger, ISBN-nummer for bøker (10 eller 13 siffer). I oblig 2 tas ISBN-13 opp. Nå skal vi se på et tilsvarende eksempel med ISBN-10. Bokforlaget bestemmer de 9 første sifrene. Siffer nr. 10 er et kontrollsiffer. La de 9 første sifrene være s 1, s 2, s 3,.., s 9. Det tiende sifferet, s 10, bestemmes på denne måten: 9 s 10 = ( i=1 i s i )mod 11 = (1 s s s s 9 )mod 11 5

6 Når vi brukes mod 11, kan resten bli fra og med 0 til og med 10. Hvis resten blir 10 brukes vi isteden bokstaven x som er romertall 10, slik at 10 blir representert med bare et «siffer». Eksempel Forrige utgave av vår lærebok i Diskret matematikk hadde følgende ISBN-kode: Vi får 9 s 10 = ( i=1 i s i ) mod 11 = ( ) mod 11 = ( ) mod 11 = 179 mod 11 = 3 Vi ser at siste siffer i ISBN-nummeret er 3 og det stemmer med utregningen vår. Induksjonsbevis Problem. Vi skal bevise at summer av de n første oddetallene er lik n2, dvs. at n-1 = n 2 Induksjonsbevis handler om å vise at en påstand P(n) er sann for alle n 1. Beviset består at to trinn: Basistrinnet: Vi må vise at P(1) er sann. 6

7 Induksjonstrinnet: a) Vi antar at P(k) for et vilkårlig tall k 1 b) Vi viser at hvis P(k) er sann, så må P(k+1) være sann, dvs. P(k) P(k+1). Hvis basistrinnet og induksjonstrinnet er oppfylt, sier induksjonsprinsippet viser at P(n) er sann for alle n 1. Eksempel. La P(n) være påstanden om at n n-1 = i=1 (2 i 1) = n 2 Basistrinnet: P(1): = 1 = 1 2 er sant Induksjonstrinnet: a) Antar at P(k) er sann, dvs k-1 = k 2 b) Vi bruker så antagelsen til å vise at P(k + 1) er sann (2k-1) + (2(k+1)-1) = (2k-1) + (2k+2-1) = I følge 1. kvadratsetning er k 2 + 2k + 1 lik (k+1) 2 Dermed har vi vist at hvis P(k) er sann, så er også P(k+1) sann. Konklusjon: Induksjonsprinsippet gir at P(n) er sann for alle n 1. 7

8 Eksempel 2. La P(n) være påstanden at 6 går opp i (n 3 n) for alle n 1. Kan dette stemme? P(1): n 3 n = = 0 6 går opp i 0 er sant. P(2): n 3 n = = 6 6 går opp i 6 er sant. P(3): n 3 n = = 24 6 går opp i 24 er sant. P(4): n 3 n = = 60 6 går opp i 60 er sant. Induksjonsbevis Basistrinnet: P(1): n 3 n = = 0 6 går opp i 0 er sant. Induksjonstrinnet: a) Antar at P(k) er sann, dvs. at 6 går opp i (k 3 k) for alle k 1. b) Vi må bruke antagelsen til å vise at P(k+1) er sann, dvs. at 6 går opp i ((k+1) 3 (k+1)). ((k+1) 3 (k+1) = (k+1) 2 (k + 1) (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 k 1 8

9 Vi har at k og k+1 er nabotall og da må det ene av dem være partall siden partall og oddetall kommer annenhver gang i tallrekken. Dermed får 2 opp i k(k+1). Siden vi fra før har 3 som faktor går 2 3 = 6 opp i 3k(k+1). Vi har funnet at 6 går opp i k3 + k + 3k(k+1) og siden det er samme som (k+1) 3 (k+1) går 6 opp der. Følgelig har vi vist at hvis P(k) gjelder så gjelder også P(k+1). Konklusjon: Induksjonsprinsippet gir at P(n) er sann for alle n 1. Eksempel 3. La P(n) være påstanden at 3 går opp i (5 n 2 n ) for alle n 1. Kan dette stemme? P(1): = 5 2 = 3 3 går opp i 3 er sant. P(2): = 25 4 = 21 3 går opp i 21 er sant. P(3): = = 117 Induksjonsbevis Basistrinnet: P(1): = 5 2 = 3 3 går opp i 117 er sant. 3 går opp i 3 er sant. 9

10 Induksjonstrinnet: a) Antar at P(k) er sann, dvs. at 3 går opp i (5 k 2 k ) for alle k 1. b) Vi må bruke antagelsen til å vise at P(k+1) er sann, dvs. at 3 går opp i (5 k+1 2 k+1 ). 5 k+1 2 k+1 = 5 5 k 2 2 k = (3 + 2) 5 k k = 3 5 k k k = 3 5 k + 2(5 k 2 k ) Vi ser at 3 går opp i 3 5 k fordi 3 her er faktor og at 3 går opp i 2(5 k 2 k ) fordi dette er gitt i antagelsen. Følgelig har vi vist at hvis P(k) gjelder så gjelder også P(k+1). Konklusjon: Induksjonsprinsippet gir at P(n) er sann for alle n 1. 10