KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
|
|
- Petra Guttormsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette går, der etter trekkes resten av fra det minste så mange ganger dette går, og slik fortsettes det. Dersom den siste resten er én enhet er de to opprinnelig tallene innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker. Dersom to tall AB og CD er primiske til hverandre, vil bare én enhet gå opp i begge, for dersom de to ikke er primiske til hverandre, vil et tall (forskjellig fra null) gå opp i begge. Anta at et tall, E, går opp i begge. Ved divisjon (gjentatt subtraksjon) av AB med CD, vil vi få AF som rest der AF = AB DG (og DG er et multiplum av CD). AF < CD Ved divisjon av DG med AF, finner vi på tilsvarende måte resten GC - og videre ved divisjon av FH med GC, finner vi AH. A Da E går opp i CD, og BF er et multiplum av CD, må E gå opp i BF. Da E går opp i BA, vil den og gå opp i resten AF, dvs BA - BF. H F C Men, som vi husker, går E også opp i CD, derfor går E opp i CG, dvs CD - DG. G Siden CG går opp i FH, går E også opp i FH. Og som vi husker, E går opp i AF, da vil E også gå opp i resten AH, men siden denne er en enhet, må E også være en enhet dvs = 1. B D E Euklid s setning, Euklids algoritme, fra Bok 7 Hvordan man finner største felles divisor (mål) for to ulike tall som ikke er innbyrdes primiske. Euklid gir så dette beviset på geometrisk form (tilsvarende som for setning 1)der de impliserte størrelse er representert ved linjestykker I dette beviset går Euklid frem som i setning 1, inntil han finner et tall AB som går opp i foregående med rest CD, slik at CD går opp i AB, og dermed er en enhet. Siden tallene ikke er innbyrdes primiske, må denne enheten, største felles divisor, være forskjellig fra 1. Euklid s setning sier oss at for et hvert tallpar, k og n, finnes det to andre tall r og q, slik at vi har k = r n + q og at denne formen er unik, dvs det finnes ingen andre tall enn r og q som har denne egenskapen.
2 Oversatt til tall, kan Euklid s algoritme vises slik: Vi skal finne største felles divisor for tallene 43 og 11. Vi finner at 3 er det største multiplum av 11 mindre enn 43, resten blir = 3 x Vi ser at dersom 43 og 1 har en felles divisor, må denne også være divisor i 90. Ved å finne resten ved divisjon av 11 med 90, finner vi en ny rest som har divisor felles med 90. Vi ser at 90 går 1 gang opp i 11 med som rest 11 = 1 x 90 + Vi ser at går 3 ganger opp i 90 med 1 som rest 90 = 3 x + 1 Videre har vi at 1 går 1 gang opp i med 10 som rest = 1 x 1 + Siden går opp i 1, må være største felles divisor Det er for øvrig interessant at i Arithmetika angir Nichomachus (ca 140 e.kr) samme regel og sier om algoritmen at den vil ende med en enhet eller med det samme tall (største felles divisor) og han gir dette eksemplet: Med hensyn på 1 og 49, trekker jeg det minste fra det første, så trekker jeg 1 fra differensen 8 og får differensen 7 - så trekker 7 fra 8 og får 14 som han igjen trekker 7 fra - og fortsetter så, men 7 kan ikke trekkes fra 7(!) Vi må oppfatte ham her som ender med det samme tall. Lineære diofantiske ligninger Hvilke hele tall kan vi lage som sum av multipla av heltallene a og b? Eventuelt kan vi spørre om hvilke multipla av to hele tall kan i sum bli lik et tredje helt tall c. Dette problemet tilsvarer ligningen (1) nedenfor der x og y er hele tall. (1) ax + by = c a, b, c Z Dersom tallene ikke er for store, kan vi løse (1) ved inspeksjon dvs innsetting og prøving, men dersom tallene er store, blir denne metoden for tidkrevende. Ligningen ovenfor kaller vi en lineær diofantisk ligning siden de ukjente er lineære, dvs i første potens. Diofant (ca. 0 f.kr) er kjent for sine arbeider over kvadratiske og kubiske ubestemte ligninger i hele tall. Vi kjenner arbeidene hans fra det nevnte verket Aritmetika
3 Fra funksjonsteorien vet vi at ligningen svarer til en rettlinjet graf dersom x og y er reelle tall. Løsningene av ligningen for hele tall tilsvarer punkter på linjen. Vi finner disse punktene på linjen gitt ved funksjonsuttrykket: () a c y = x + b b Det er umiddelbart lett å se at et krav for at ligningen (1) har minst én løsning, er at c er et multiplum av (a, b), største felles divisor av a og b og motsatt - om c ikke er et multiplum av (a, b), har ligningen ingen løsning. Delelighetsreglene sier at venstre side alltid er delelig med (a, b). Ligningen kan derfor ikke ha heltallige løsninger i fall høyre side, c, ikke er delelig med (a, b). Vi skal nå se på en teknikk for å løse en lineær diofantisk ligning, og tar et talleksempel: (3) x + y = 3 Vi løser imidlertid først en hjelpeligning: (4) x + y = 1 Nå har vi : = dvs = + 1 og vi ser () 1 = 1 + (- ) Dvs hjelpeligningen har en løsning x = 1 og y = - Vi multipliserer ligningen (4) ovenfor med 3 på begge sider og får: (6) 3 = 3 + (- 6) Dvs at utgangsligningen (3) har løsningen x = 3 og y = -6, som vi kan kontrollere ved innsetting. Dette er imidlertid bare én løsning. Har (3) andre løsninger og i så fall hvilke? Vi antar at den alminnelige løsningen av (3) har formen: (7) x = 3 + α og y = -6 + β. Innsatt i ligning (3) gir dette oss: (8) (3 + α) + (-6 + β)= 3 Ut fra (6) finner vi denne ligningen for α og β: (9) α + β = 0 som gir oss: (10) β = α
4 Ligningen (9) sier oss at vi finner løsninger når α er et multiplum av. Som eksempel kan vi velge α = 4, dermed blir β = -10. Vi finner nå ved innsetting i (7) løsningen x =7 og y = -16. Vi kan nå skrive den alminnelige løsningen tilsvarende (7) på formen; (11) x = 3 + m og y = m Et annet ord for c er en lineærkombinasjon av a og b. Vi kan skrive (1) ax + by = (a,b) Vi ser på ligningen (13) 19x + 7y = 1 Vi har nå (14a) 19 = 7 + = (14b) 7 = 1 + = (14c) = = 1 - Nå nøster vi oss tilbake ved å starte med siste ligning (14c), sette inn for fra ligning (14b): (1) 1 = 1 - (1 7-1 ) Deretter setter vi inn for fra første ligning (14a) og får: (16) 1 = 1 [1 19-7] - (1 7-1 [1 19-7] ) Nå har vi fått 1 som lineærkombinasjon av 19 og 7 og regner ut: 1 = = (1 + ) 19 ( + + 4) 7 = Dermed har vi: (17) (-8) = 1 Ved multiplikasjon på begge sider med et vilkårlig tall M, finner vi løsningen av (18) 19x + 7y = M som x = 3M og y = -8M Generelt gjelder at vi kan forkorte med felles faktor inntil koeffisientene til x og y er innbyrdes primiske. Vi har og løsningen av ligning (19) (19) 19x0 + 7 y0 = 0 som er oppfylt for x 0 = 7 y0 = 19
5 (19 og (18) gir oss den fullstendige løsningen (1) av den diofantiske ligningen (0) (0) 19x y = M (1) x = x + M y = y 8M Bhaskara s metode Vi skal nå se på en alternativ løsningsmetode for lineære diofantiske ligninger oppkalt etter den indiske matematiker Bhaskara og starter med ligningen () 19x + 7y = 1 Vi har da en funksjonell sammenheng mellom x og y: (3) y = 19 x +1 7 Vi spalter så ut multipla av 7 fra første ledd: (4) y = ( 14 + ) x + 1 x + 1 = x Siden både y og -x er et hele tall, må også brøken være et helt tall, vi kaller denne m Vi har nå: () x +1 m = x + 1 = 7m 7 Vi kan skrive denne på formen (6) som er en ny Diofantisk ligning. (6) x + 7m = 1 Her anvender vi divisjonslemmaet nok en gang (7) x = 7 m + 1 m + 1 = m + Som etter samme resonnement som ovenfor, brøken er et heltatt, gir oss (8) m + 1 = n som vi kan skrive på formen (9) m + n = 1
6 (30) m = n + 1 n + 1 = n + som igjen gir: (31) n + 1= k n = k + 1 Av denne ligningen finner vi m n + 1 ( k + 1) + 1 (3) m = n + = ( k + 1) + (3) m= k (k ) k + (33) x = ( k ) + = k + + = 7k ( 7k + 3) + 1 (34) y = = 19k 8 7 Vi finner dermed løsningen (x, y)= ( 7k + 3, 19k 8). Husk at her ser vi på løsningen av ligning med høyreside = 1 og ikke M Vi skal til slutt se hvordan vi kan konvertere en kongruensligning til en diofantisk ligning. Vi skal også se hvordan vi kan løse kongruensligninger ved en alternativ metode. (3) mx b (mod p) mx np = b tilsv mx np = 1 Kongruensligningen 17 x 6 (mod 9) kan alternativt løses som vist nedenfor. Forklar hvert av stegene. 17x 6 (mod 9) 9x 9 (mod 9) 9x 17x 9 6 (mod 9) 1x 3 (mod 9) 17x 1x 6 3 (mod 9) x 1 (mod 9) 30x 7 (mod 9) x 43 (mod 9) x 0 = 14 (mod 9) Vi ser at dette svarer til følgende: (36) ax c (mod y) yx 0 (mod y) Slik at vi kan omformulere problemet som å finne to tall m og n slik at: (37) ( ma nb) = 1
7 KAPITTEL 11. KRYPTOGRAFI Additive og multiplikative koder Vi skal her se på noen enkle former for kryptografering. Kryptografering vil si at et tegn i den originale teksten, klarteksten, oversettes til et annet tegn ved en prosess som er kalt koding eller kryptografering 1. Den omvendte prosessen som vi kaller dekryptograffering fører det kodede tegnet tilbake til det opprinnelige. Det finnes flere systemer for kryptografering. Det første prinsippet vi skal to for oss er en additiv kode. Her får hver bokstav et nummer. Den kodede bokstaven til en nøkkel- bokstav blir da en bokstav med nummer lik nøkkelbokstavens nummer pluss et fast tillegg. Dersom vi nummerer bokstavene 1,, osv fra A, og bruker tillegg 4 vil vi kode EUKLID som IYOPMH E + 4 = 9 I U = Y K = 1 O L = 16 P I = 13 M D = 8 H Vi får imidlertid et problem. Når vi har 9 bokstaver i alfabetet og nummeret til den kodede bokstaven blir større enn 9. Det er da vi kan benytte oss av kongruensregning. Nå nummeret til nøkkelbokstaven er m, og tillegget er d, finner vi nummeret til den kodede bokstaven n, som m + d = n (mod 9) Vi får imidlertid et bedre system ved å bruke en multiplikativ kode. Da multipliserer vi nøkkelbokstavens nummer med en fast faktor. Vi skal se på dette systemet: A 1 1 = 1 1 (mod 9) O B 1 = 30 1 (mod 9) A E 1 = 7 17 (mod 9) Q L 1 1 =180 6 (mod 9) F Både den additive og den multiplikative kode kan forbedres ved at tillegg og faktor ikke er faste, men varierer enten periodisk eller i et på forhånd avtalt mønster. E 7 = 3 6 (mod 9) F U 1 9 = (mod 9) 0 K 11 = (mod 9) V L 1 7 = 84 6 (mod 9) Z I 9 9 = 81 3 (mod 9) W D 4 = 8 8 (mod 9) H 1 Et annet navn på kryptograffering er chifrering tilsvarende dechifrering. En kodet tekst kalles også chiffer.
8 Et annet prinsipp for kryptografi er permutasjon dvs at numrene for bokstaver i alfabetet systematisk kastes om. La oss si at en gruppe på bokstaver f eks HERON som svarer til numrene , utsettes for en omkastning : H 8 18 R E 8 H R 18 1 O O 1 14 N N 14 E En slik omkastning er gitt ved en kodenøkkel eller krypterings-nøkkel. På tilsvarende måte må det finnes en omvendt omkastning, en dekodenøkkel eller en dekrypteringsnøkkel. I det følgende skal vi forenkle alfabetet noe og bare se på de fem første bokstavene, A,B,C,D,E, F som vi nummererer 1,, 3, 4,, 6 Vi lar nå numrene være eksponenter i potenser av 3 og regner modulo 7. Da finner vi denne tabellen, her er 3n m (mod 7): n n m Fra denne tabellen, krypteringsnøkkelen, kan vi konstruere en dekrypteringsnøkkel. Vi skal nå se hvordan vi kan bruke teorien for Diofantiske ligninger til dekryptere en kodet melding der vi vet multiplikator. Vi antar nå at vi kjenner multiplikator = 17. Vi koder nå først N som har nummer = 38 = Nå vet den som får den krypterte meldingen at den kodede bokstaven er F som har nummer 6. Det gir kongruensligningen: 17a 6 (mod 9) som vi kan skrive som den diofantiske ligningen: 17a + 9 b = 6 17x + 9 y = 1 som igjen svarer til den diofantiske ligningen der a = 6x og b = 6y 17x + 9 y = 1 9 = = = = = + = 1 = =
9 Så nøster vi oss tilbake: 1 = = (17 1) (1 ) = = 17 3(9 17) + 4(17 1) = = (9 17) = Dette gir oss løsningen av den partikulære ligningen: (a, b) = (7, 4) I tillegg kommer løsningene av: 17e + 9f = 0 Dermed finner vi for den fullstendige løsningen x = 7 + 9n y = 4 17n For å finne en x som ligger i mengden {1,..,9} setter vi n = Da finner vi x = 14 Det vi har benyttet oss av her, er at vi kan overføre en kongruensligning til en diofantisk ligning som vi har en løsningsalgoritme for. En annen måte for å danne krypteringsnøkler finner vi ved å se på multiplikasjonstabeller modulo et primtall. Vi skal se på dette og starter med å sette opp addisjons- og multiplikasjonstabeller for kongruensregning. Tabellene for regning modulo er ganske enkle. For regning modulo 3 finner vi for addisjon og multiplikasjon: Addisjon x Multiplikasjon x Ser vi på tabellutsnittet for [1, ] for multiplikasjonstabellen ser vi at dette er en permutasjon av 1,. Vi vil undersøke dette nærmere og tar for oss multiplikasjon modulo som er et primtall og ser bare på tabellutsnittet for [1,, 3, 4]
10 I tabellen nedenfor som altså gir rester ved divisjon med av produkter der faktorene er innehold i {1,, 3, 4}, finner vi dette: Vi ser nå at tabellen gir alle permutasjoner av {1,,3,4}. Vi ser også at tabellen er symmetrisk om begge diagonalene. Hvorfor? Vi ser også at dersom vi betrakter en rad som en bestemt permutasjon av {1,,3,4}, vil en bestemt av de andre radene gi den motsatte eller inverse permutasjonen. Hva er sammenhengen? Vi ser at å multiplisere med og deretter med 3, fører tilbake til utgangspunktet. x 3 = 6 x 1 (mod ) Vi skal gå litt nøyere inn på dette og bruker en større tabell 6 x 6 modulo 7. Vi har satt opp tabellen nedenfor: Vi ser at denne tabellen også er symmetrisk om begge diagonalene Vi ser også at gangerekkene er permutasjoner av elementene {1,,3,4,,6} Nå beskriver vi på en permutasjon ved en tabell eller en vektor: f eks [1,,3,4,,6] og den permutasjonen vi får frem ved å multiplisere hvert ledd med tallet n, beskriver vi som: T(n) [1,,3,4,,6], f eks: T() [1,,3,4,,6] = [,4,6,1,3,] Vi gjør nå to slike operasjoner og ser hva som skjer: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3)[,4,6,1,3,] =[6,,4,3,,1] som vi ser er T(6) [1,,3,4,,6] Vi forsøker to andre operasjoner: T(3)T() [1,,3,4,,6] = T(3) [,3,1,6,4,] = [1,,3,4,,6] som vi ser er T(1) [1,,3,4,,6] T(4) T(3) [1,,3,4,,6] = T(4) [3,6,,1,,4] = [,3,1,6,4,] som vi ser er T() [1,,3,4,,6] T(6) T(4) [4,1,,,6,3] = T(6) [4,1,,,6,3] = [3,6,,,1,4] som vi ser er T(3) [1,,3,4,,6] Vi ser at vi har sammenhengen: T(m) T(n) = T(k) der vi har m n k (mod 7)
11 Vi kan nå stille opp disse transformasjonene i en tabell T() T(3) T(4) T() T(6) T() T(4) T(6) T(1) T(3) T() T(3) T(6) T() T() T(1) T(4) T(4) T(1) T() T() T(6) T(3) T() T(3) T(1) T(6) T(4) T() T(6) T() T(4) T(3) T() T(1) Vi ser her at vi har at T() er invers til T(4) og omvendt T(3) er invers til T() og omvendt videre er T(6) invers til seg selv. Vi skal se at slike sammenhenger også gjelder for produkter som er potenser: n Vi ser på potenser av modulo m (mod ): n n m n Vi ser så på potenser av 3 modulo 7 3 m (mod 7) Vi ser at i begge tilfelle danner restene en følge av permutasjoner av tallene opp til p Public Key systemer Vi skal til slutt gi et eksempel på et såkalt Public Key system RSA systemet. Dette er oppkalt etter de tre som konstruerte det i 1977, Ron Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman. Poenget ved det hele er at noe av systemet er offentlig. Prinsippet kan illustreres slik: jeg legger en melding i en eske og låser den med en hengelås (delkode) som jeg har nøkkel til så sender jeg den til mottager som låser den med en ny hengelås (delkode) som mottager har nøkkel til så sender mottager den tilbake til sender som låser opp sin hengelås og sender esken på nytt til mottager som låser opp sin hengelås. Vi illustrerer dette med et eksempel, men først repeterer vi Euler s teorem: Vi husker at vi der definerte en ϕ(n) som antall naturlige tall mindre enn n som ikke har felles faktor med n. Vi husker også at for et primtall p, har vi ϕ(p) = p 1 Dersom vi har to primtall p og q, kan vi vise at ϕ(p q) = (p 1)(q -1) Nå kan vi skrive Euler s teorem på denne formen: ( pq) ( p 1)( q 1) a ϕ = a 1 (mod pq) Der a og pq ikke har felles faktor.
12 Her kommer eksemplet. Ada vil etablere en hemmelig kode med Bo. Hun velger først to primtall, f eks 7 og 13, som har produkt 91. Av tallet 91 som altså er et sammensatt, finner hun ϕ(91)= 7. Der etter velger hun to tall slik at produktet får 1 til rest ved divisjon med ϕ(91)= 7, f eks 9 og, som har produkt 14. Vi har da: 14 = Nå offentliggjør hun de to tallene 91 og 9. Det er disse som er public keyes Bo skal nå sende en melding til Ada og krypterer f eks 3 som (mod 91) Når Ada dekrypterer 3, går hun frem slik: 61 3 (mod 91) Forklaringen på denne prosessen er: (3 9 ) = 3 14 = = (3 7 ) mod (91) Poenget med denne krypteringen er at man velger så store primtall at det i praksis blir svært vanskelig (nærmest umulig innenfor de tidsmarginer man har) å dekomponerere det sammensatte tallet svarende til 91 de aktuelle primtallene. Feilrettingskoder. Alle bøker klassifiseres etter den såkalte ISBN koden. Denne koden består av et 10 sifret tall. Vi kan kontrollere denne koden ved hjelp av kongruensregning. Vi skriver de 10 sifrene som { x 1, x, x3,..., x10} Kontrollen ligger nå i at denne kongruensligningen skal være oppfylt x + x + 3x x 0 (mod 11) Vi skal se på et eksempel. Number Theory av Andrews har ISBN nummer: Setter vi dette inn i ligningen, finner vi summen 09 som er Denne koden er et eksempel på en feilrettingskode. Den er konstruert på en slik måte at dersom det gjøres en feil ved overføringen av koden, vil kontrollen som oftes avsløre denne.
13 Det norske personnummersystemet er en tilsvarende feilrettingskode. Personnummeret vårt består av 11 sifre, de seks første er fødselsdato og de tre neste er et personlig nummer som skiller mellom mennesker født på samme dato. De to siste er kontrollsiffer og regnes slik: x 8 + x (mod 11) 10 x1 + 4x + x3 + 10x4 + 3x + x6 + 7x7 + 6x8 9 9 x 6 + x (mod 11) 11 x1 + 7x + 8x3 + 9x4 + 4x + x6 + 6x7 + 7x8 + 8x De tre kontrollsifrene må velges slik at man unngår å få 10 som rest ved divisjon med 11, Aktuell litteratur er: Tallteori Reinert Rinvold Caspar Forlag Alt er tall Viggo Brun Universitetsforlaget Elementær Talteori Trygve Nagell Almquist & Wicksell Theory of Numbers George Andrews Dover Books The Code Book Simon Singh Anchor Books The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerKoder. Kristian Ranestad. 8. Mars 2005
i kryptering 8. Mars 2005 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerKODER I KLASSEROMMET
KODER I KLASSEROMMET Kristian Ranestad 28.02.2001 Dette heftet er utarbeidet til klasseromsprosjektet ved Matematisk institutt, UiO. I dette prosjektet inngår det halvdags kurs for lærere i forskjellige
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerKryptering Kongruensregning Kongruensregning i kryptering Litteratur. Hemmelige koder. Kristian Ranestad. 9. Mars 2006
i kryptering 9. Mars 2006 i kryptering i kryptering i kryptering En hemmelig melding Kari sender til Ole den hemmelige meldingen: J MPWF V siden responsen er litt treg prøver hun påny med: U EVOL I Nå
DetaljerKryptografi, del 2. Aslak Bakke Buan, Ole Enge
Aslak Bakke Buan, Ole Enge Kryptografi, del 2 Offentlig-nøkkel kryptografi Anta du vil handle på internett og blir bedt om å oppgi kredittkortnummeret ditt. Du stoler kanskje på at nettstedet du vil handle
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerOFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI
OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
Detaljerb) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2016 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Sjekk om følgende tall er delelig med 9: 654, 45231, 1236546 Løsning: Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
Detaljer3 Største felles faktor og minste felles multiplum
3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
Detaljer3.1. Formodninger om primtall.
15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerLitt om diofantiske likninger
1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerDiskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerForelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori
Forelesningsnotater SIF 5021 Algebra og tallteori V-02. Et kort innføring med eksempler fra kodeteori Sverre O. Smalø I forbindelse med elektronisk digital kommunikasjon vil kommunikasjonskanalen av og
Detaljer1 Primtall og divisorer
Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen
DetaljerEmnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerIntroduksjon i tallteotri med anvendelser
Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerEksempler på praktisk bruk av modulo-regning.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er
Detaljer1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
DetaljerForord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe
Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet
DetaljerProsent- og renteregning
FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
DetaljerTALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.
TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og
DetaljerLikninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?
side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerØving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
DetaljerNavn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643
Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig
DetaljerRegning med tall og algebra
Regning med tall og algebra Dette er en variert samling av oppgaver. De kan alle løses ved algebraisk, men det fins også andre måter å løse dem på. Man kan bruke kvadratsetningene, potensregning, prosentregning
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerPrimtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.
Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som
DetaljerObs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her,
Oppgave 1 b 3b Hva er 3a 8a b hvis a 2? A 5 B 7 C 8 D 24 E 70 Er det nødvendig å finne tall for a og b? Hvor i uttrykket finnes a b? b Hva blir verdien av første ledd når a 2? Skriv om potensen i andre
Detaljer1. Cæsarchiffer er en av de enkleste krypteringsteknikkene. Hva går teknikken ut på?
Prøve i kryptografi Navn: Karakter: Poeng: /30 Lykke til! Hjelpemidler: Viskelær og skrivesaker Teknologi i praksis, fre. 23. september Del 1 Flervalgsoppgaver Sett ring rundt alternativ A, B, C eller
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerI dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.
Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner
DetaljerEneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014
Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet
DetaljerIl UNIVERSITETET I AGDER
Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerNAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerEksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse
2004-10-25 Eksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse 1 Et blokkchiffer med blokklengde l og nøkkellengde s består av to funksjoner Ẽ (krypteringsfunksjonen) og D (dekrypteringsfunksjonen)
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
Detaljerb) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................
DetaljerINF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi
INF1040 Oppgavesett 14: Kryptering og steganografi (Kapittel 19) Husk: De viktigste oppgavetypene i oppgavesettet er Tenk selv - og Prøv selv - oppgavene. Fasitoppgaver 1. Krypter følgende strenger ved
DetaljerLØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en
Detaljer3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på?
3. kurskveld Gjennomgang av hjemmeleksa Hvilke tall tenker jeg på? Læreren tenker på to etterfølgende tall mellom 1 og 10. To elever får en lapp med hvert sitt av de to tallene. Elev A: Jeg vet ikke hvilket
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen
DetaljerDiofantiske likninger Peer Andersen
Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerKLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
DetaljerLæreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:
Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.
DetaljerKryptogra og elliptiske kurver
Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
DetaljerREGEL 1: Addisjon av identitetselementer
REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................
DetaljerMAT Notat om RSA-kryptografi
MAT4000 - Notat om RSA-kryptografi Erik Bédos Vår 2008 Abstract Dette notatet er et tillegg til heftet i elementær tallteori. Det omhandler anvendelser av tallteorien i kryptografi, med spesiell vekt på
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerTema. Beskrivelse. Husk!
Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.
Detaljer