TMA4240 Statistikk Høst 2015

Transkript

1 TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha noen felles elementer. De fire hendelsene A B, A B, A B og A B er representert med skravert område i venndiagrammene i figur til. Figur : Venn-diagram for hendelsen A B Figur : Venn-diagram for hendelsen A B Vi kan skrive A B på en alternativ måte som A B. Dette kan også skrives som S\A B. Oppgave En eske inneholder 00 gjenstander som kan ha defekter av type A, type B og type C. Følgende ov-lsf-b. september 0 Side

2 TMA0 Statistikk Høst 0 Figur : Venn-diagram for hendelsen A B Figur : Venn-diagram for hendelsen A B defekter er oppgitt i oppgaven: Beskrivelse Symbol Antall Ingen defekt A B C 6 Har kun defekt av type A A B C Har kun defekt av type B A B C Har kun defekt av type C A B C 9 Har defekt av type A og B, ikke C A B C Har defekt av type A og C, ikke B A B C Har defekt av type B og C, ikke A A B C Har defekt av alle typer A B C La gjenstandene være nummerert,..., 00. Et naturlig utfallsrom er da S = {,,,..., 99, 00}. Venn-diagrammet for defekter av type A, type B og type C er vist i figur. Vi har videre Beskrivelse Symbol Antall Minst en type defekt A B C Bare en type defekt A B C A B C A B C 6 Minst to typer defekt A B A C B C 8 ov-lsf-b. september 0 Side

3 TMA0 Statistikk Høst 0 Figur : Venn-diagram for defekter av type A, type B og type C. ov-lsf-b. september 0 Side

4 TMA0 Statistikk Høst 0 Oppgave a Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt av binomialkoeffisienten n. k Her har vi n = 0 kniver, og skal velge ut k = av dem. Antall måter dette kan gjøres på er altså n 0 0! = = k!0! = 8. b Her spørres det etter sannsynligheten for at samtlige kniver i et tilfeldig utvalg på fire, har både hvitt skaft og rustfritt blad. For å finne denne sannsynligheten trenger vi å vite hvor mange av de totalt 0 knivene i skuffen som har begge egenskapene, altså hvor mange av knivene som er gunstige. Deler vi knivene inn i grupper med utgangspunkt i hvorvidt de har hvite skaft H og rustfrie blader R, får vi fire ulike knivtyper: RH : Både rustfritt blad og hvitt skaft, RH : Rustfritt blad, men ikke hvitt skaft, R H : Ikke rustfritt blad, men hvitt skaft, og R H : Verken rustfritt blad eller hvitt skaft. La #RH betegne antall kniver med både rustfritt blad og hvitt skaft, og tilsvarende for RH, RH og R H. Fra oppgaveteksten vet vi at: #RH + #RH + #R H + #R H = 0, #RH + #R H = 0, #RH + #RH = 8 #R H = 6 Løser vi likningssystemet får vi #RH + #RH + #R H = 0 6 = #RH = #RH + #RH + #RH + #R H #RH + #R H + #RH = = #R H = #RH + #R H #RH = 0 = 6 #RH = #RH + #RH #RH = 8 = Situasjonen illustreres av venndiagrammet i figur 6. Vi vil regne ut sannsynligheten for å trekke fire kniver med hvitt skaft og rustfritt blad som forholdet mellom antall gunstige utfall og antall mulige utfall. Antall mulige utfall er lik antall ulike måter å velge ut fire kniver fra en populasjon på 0, altså svaret fra deloppgave a, m = 8. Siden utvalgsstørrelsen er fire, og det bare finnes fire gunstige kniver, er antall gunstige utfall i dette tilfellet g = =. ov-lsf-b. september 0 Side

5 TMA0 Statistikk Høst 0 Figur 6: Venndiagram ov-lsf-b. september 0 Side

6 TMA0 Statistikk Høst 0 Sannsynligheten for å trekke fire kniver med hvitt skaft og rustfritt blad er dermed g m = 8 = c Antall mulige utfall er det samme som over, altså 0 m = = 8. For at et utfall skal være gunstig, må vi her trekke én av de #RH = knivene med både hvitt skaft og rustfritt blad, hvilket kan gjøres på! g = =!! = forskjellige måter. Videre må vi trekke to av de #R H = 6 knivene med verken hvitt skaft eller rustfritt blad. Antall måter å gjøre det på er 6 6! g = =!6! =. Den siste kniven i utvalget kan ikke tilhøre noen disse kategoriene, for da ville det ikke vært akkurat eller akkurat av de to første typene. Den siste kniven må derfor være blant de #R H + #RH = 6 + = 0 knivene som enten har hvitt skaft men ikke rustfritt blad, eller har rustfritt blad men ikke hvitt skaft. Dette kan gjøres på 0 0! g = =!0! = 0 ulike måter. Antall måter å trekke et utvalg på fire kniver som oppfyller alle tre betingelsene på en gang, blir da ifølge produktsetningen g = g g g = 0 = 600. Sannsynligheten for å trekke et utvalg som oppfyller de gitte betingelsene er altså g m = = 0.8. Oppgave Vi har at P A = P kron falsk + P kron ekte = P kron falskp falsk + P kron ektep ekte = + =. ov-lsf-b. september 0 Side 6

7 TMA0 Statistikk Høst 0 De to kastene er like, så P B = P A. P A B = P A B ekte + P A B falsk = P A B ektep ekte + P A B falskp falsk = + = 8. Vi finner at P AP B P A B, dermed er hendelsene avhengige. En alternativ løsning er å se på de komplementære hendelsene A og B : P A = P mynt falsk P falsk + P mynt ekte ekte = 0 + = Samme verdi gjelder også for P B, dvs. P B =. Videre har vi P A B = P B A P A = = 8 Hvis. kast er mynt, er den ekte mynten trukket først. Dermed er første tallet her. Dermed er P A B ikke lik P A P B, slik at A og B er avhengige. Da er også A og B avhengige. Oppgave Før man starter med å løse denne oppgaven er det naturlig å introdusere noe notasjon og formulere informasjonen gitt i oppgaveteksten ved hjelp av denne notasjonen. Vi definerer tre aktuelle hendelser, M: den tilfeldig valgte personen er mann, K: den tilfeldig valgte personen er kvinne, F : den tilfeldig valgte personen er fargeblind. Oppgaveteksten gir oss da at vi har følgende sannsynligheter, P M = 0., ov-lsf-b. september 0 Side 7

8 TMA0 Statistikk Høst 0 P K = 0., P F M = 0.0, P F K = Vi finner sannsynligheten P M F ; P M F = P M F P F P M P F M = P M P F M + P K P F K = = 0.9, der vi først har benyttet definisjonen av betinget sannsynlighet, deretter multiplikasjonssetningen for P M F og setningen om total sannsynlighet for P F, og til slutt satt inn de oppgitte sannsynligetene og regnet ut tallsvar. Oppgave 6 a Ett par, dvs kort med samme verdi og kort med ulike andre verdier. Det finnes verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter. Verdiene til de tre siste kortene kan velges på ulike måter etter at verdien på paret er valgt ut, har en tolv ulike verdier igjen. Hvert av disse tre kortene har mulige fargekombinasjoner. Tilsammen har en ulike måter å trekke ut kort fra. Dette gir P Ett par = = 0.6. Alternativt kan vi løse oppgaven på føgende måte: Vi vil ha en hånd kort med ulike tallverdier. Disse fire verdiene kan trekkes på måter. Av disse fire ulike verdiene skal en medgå i paret, denne verdien kan trekkes på måter. Videre kan paret ta konstellasjoner av sorter, mens hver av de tre verdiene som ikke medgår i paret kan ta enhver sort; muligheter. ov-lsf-b. september 0 Side 8

9 TMA0 Statistikk Høst 0 Tilsammen har vi da P Ett par = = 0.6. b To par, dvs to kort med en verdi, to kort med en annen verdi og ett kort med en tredje verdi. Vi har nå kombinasjoner av verdiene på parene, og de to kortene i hvert par kan kombineres på måter. Det siste kortet kan velges på ulike måter etter at verdiene på parene er valgt ut, har en ulike verdier igjen, og kortet har ulike fargekombinasjoner. Vi får dermed P To par = = Alternativt kan vi løse oppgaven på føgende måte: Vi vil ha en hånd kort med ulike tallverdier. Disse tre verdiene kan trekkes på måter. Av disse tre verdiene skal to medgå i hvert sitt par, disse kan trekkes på måter. Videre kan hvert par ta konstellasjoner av sorter, mens den resterende verdien som ikke medgår i parene kan ta enhver sort; muligheter. Tilsammen har vi da P To par = = c Tress, dvs tre kort med samme verdi samt to kort med to forskjellige verdier. De tre like kan ta verdier, og de kan kombineres på ulike måter. De resterende to kortene kan velges på ulike måter, der hvert kort har fargekombinasjoner. Dette gir P Tress = = 0.0. ov-lsf-b. september 0 Side 9

10 TMA0 Statistikk Høst 0 d Straight, dvs fem kort med verdier i rekkefølge uansett kortfarge. Vi har tilsammen 0 måter å lage en straight A, 6,..., 0 A. Hvert av de fem kortene kan velges blandt fire farger. P Straight = 0 = e Flush, dvs fem kort i samme farge. Det er fire farger i en kortstokk. Når en farge er valgt, må de fem kortene trekkes fra de verdiene. P Flush = = f Fullt hus, dvs ett par og tress. Ett par kan velges av tretten verdier, og tressen kan velges av de resterende. P Fullt hus = g Fire lange, dvs fire kort med samme verdi. De fire kortene tar en av verdier, og de kan kombineres på måter. Det resterende kortet velges fra mulige verdier med fire mulige fargekombinasjoner. P Fire lange = = h Straight flush, dvs fem kort i rekkefølge i samme farge. I hver farge har vi ti straighter, og det finnes fire farger. Dette gir P Straight flush = 0 = i Royal straight flush, dvs straight flush med ess som høyeste kort. Av hver av straightene er det bare en i hver farge som har ess på toppen. P Royal straight flush = = ov-lsf-b. september 0 Side 0