TMA4245 Statistikk Vår 2015

Transkript

1 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for ateatiske fag Øving nuer, blokk I Løsningsskisse Oppgave X er hypergeoetrisk fordelt ed N 000 turer, k turer kjører transportfiraet gjenno sentru og N k 99 uteno sentru, og vi tar en stikkprøve av størrelse n Betingelser: Et tilfeldig utvalg av størrelse n tas uten tilbakelegging fra N enheter Her: et tilfeldig utvalg av n turer sjekket blant N turer so totalt kjøres De N enhetene deles inn i to grupper, k suksesser og N k fiaskoer Her: k turer kjøres gjenno sentru og N k 99 turer kjøres uteno sentru X er antallet suksesser blant de n Her: X er antall turer gjenno sentru av de n turene so ble sjekket Punktsannsynligheten i hypergeoetrisk fordeling, N 000, k, n er gitt so: 99 P X x x x og ulige verdier for x er 0,, 2, 3, 4, P X Siden P X å x 0 være den verdien av x so gir høyest punktsannsynlighet siden suen av alle punktsannsynligheter er kan ingen annen punktsannsynlighet være større enn P X Til saenligning er sannsynligheten for å vinne 7 rette i lotto Koentar : Når N er stor i forhold til n boka nevner so toelfingerregel at n/n 00, og her er jo / så kan binoisk fordeling brukes so en tilnæring til hypergeoetrisk fordeling når vi regner ut sannsynligheter Da gjør vi n forsøk og i hvert ov-lsf-b 7 februar 20 Side

2 forsøk sjekker vi o transporten skjer gjenno bykjernen, p k N 000 er sannsynlighet for transport gjenno bykjernen, og X er antall transporter gjenno bykjernen for de n undersøkt Da kan punktsansynligheten til X tilnæres ed n P X x k x N x k N nx x 000 x 000 x Videre er tilnæret: P X 0 P X Koentar 2: Denne oppgaven er basert på en henvendelse fra en tidligere bygg-student, og er basert på faktiske forhold Dog, transportfiraet sa først at alle 000 turene var kjørt uteno bykjernen og kun etter at de be øtt ed fakta på at stikkprøve av turer viste transport gjenno bykjernen så inforerte de o at det kun var akkurat disse turene av de 000 so hadde blitt kjørt gjenno bykjernen La oss tenke oss at vi ser på dette so en hypotesetest, der vi ønsker å finne ut o det er grunn til å tro at transportfiraet har kjørt er enn k av turene gjenno bykjernen: H 0 : k vs H : k > P -verdien til testen ville vært å regne ut P X so vi har gjort i oppgaven, og denne er 2 0 3, so ville ført til at vi forkastet nullhypotesen og ville tro at flere enn transporter var kjørt gjenno bykjernen Men, dette var ikke ed i oppgaven Oppgave 2 Vi ser på en tilfeldig valgt natt og definerer følgende hendelser: A Anne er på vakt, B Bernt er på vakt, C Cecilie er på vakt, D det skjer et dødsfall Og antar at alle dødsfall skjer naturlig a Venndiagra for de fire hendelsene: C B A D Siden det bare er Anne, Bernt og Cecilie so jobber på sykehjeet o natten vil hendelsene A, B og C utgjøre en partisjon av utfallsroet, og vi å ha at P A + ov-lsf-b 7 februar 20 Side 2

3 P B + P C Dette ser vi også av venndiagraet Siden Bernt og Cecilie jobber like ofte å P B P C Siden Anne jobber dobbelt så ofte so hver av Bernt og Cecilie å P A 2 P B 2 P C Vi utrykker alt ved P B P A + P B + P C 2 P B + P B + P B P B 02 Dered har vi at P A 0 P B 02 P C 02 For å regne ut P D kan vi bruke setningen o total sannsynlighet Vi vet at A, B, C er en partisjon av utfallsroet P D P D A + P D B + P D C P D A P A + P D B P B + P D C P C Definisjonen av uavhengighet sier at C og D er to uavhengige hendelser hvis og bare hvis P D C P D, dvs at tilleggsinforasjon ikke endrer bildet Vi ser fra utregningene over at P D C P D 006, og C og D er dered uavhengige hendelser Intuitivt vil uavhengighet av C og D følge av antagelsen o naturlig død b X er en stokastisk variabel so beskriver antall av n 0 naturlige dødsfall so skjer på Cecilies vakter Betingelser for at X er binoisk fordelt: Vi ser på n 0 dødsfall For hver dødsfall sjekker vi o Cecilie var på vakt eller ikke Sannsynligheten for at Cecilie er på vakt gitt at det har skjedd et dødsfall er P C D P C 02, og denne sannsynligheten er det sae for alle de n dødsfallene De n dødsfallene er uavhengige siden de er naturlige og vi antar dered at det ikke er snakk o sittsoe sykdoer eller epideier Under disse 4 betingelsene er X antall naturlig dødsfall på Cecilies vakter binoisk fordelt ed paraetere n 0 og p 02 Dered er sannsynlighetsfordelingen til X gitt ved punktsannsynligheten fx, n fx p x p nx, x 0,,, n x ov-lsf-b 7 februar 20 Side 3

4 Sannsynligheten for at 7 eller flere av 0 dødsfall o natten skjer på Cecilies vakter finner vi enklest ved tabelloppslag s 3 i forelsalingen, P X 7 P X La Y være en stokastisk variabel so angir antall sykepleiere blant 300 sykepleiere so opplever flere enn 7 dødsfall på sine vakter av totalt 0 dødsfall Y vil dered være binoisk fordelt ed n 300 og p 0004 Sannsynligheten for at inst en av de 300 sykepleierne opplever at 7 eller flere av 0 naturlige dødsfall skjer på sine vakter er gitt so P Y 300 P Y P Y Selv o det er lite sannsynlig bare 4 proille at det skjer 7 av 0 naturlige dødsfall på Cecilies vakter, er det svært sannsynlig 70 prosent at inst 7 av 0 dødsfall kan skje på vakten til en av sykepleierne i Norge so jobber i sae stillingstype so Cecilie Disse observasjonene styrker ikke istanken ot Cecilie Analogi: Hver uke er det so regel noen so får 7 rette i Lotto, selv o dette har en forsvinnende lav sannsynlighet for hver Lotto-spiller Oppgave 3 a Antall ulige tallkobinasjoner blir Sannsynligheten for å gjette riktig blir da p 0000 X er geotrisk fordelt ed paraeter p 0000 fordi det er bare to ulige utfall, gjette riktig eller feil, ed konstant sannsynlighet, hvert gjett er uavhengig av de forrige gjettene, og X er antall gjett til og ed først suksess riktig gjett P X x p p x P X b Antall åter å plassere to 7-tall blandt 4 posisjoner er Antall ulige siffer på to gjenværende posisjoner er geotrisk fordeling 9, , 3 Dette gir ov-lsf-b 7 februar 20 Side 4

5 Dered blir X geoetrisk fordelt ed p /486, Forventet tid til første vinner blir dered E[X] p /2 in 243 in 4 tier 3 inutter c Utfallsroet til Y {, 2, 3,, } Definerer hendelsen F i : Innringer nuer i gjetter riktig kode der i, 2,, Setter opp sannsynligheten P Y y P F c F c 2 F c y F y P F y F c F c 2 F c yp F c F c 2 F c y P F y F c F c 2 F c y P F c y F c F c 2 F c y2 P F c 2 F c P F c y y y 2 2 Da blir fy P Y y for y, 2,, Forventet tid til noen vinner preien: Forventet tid blir da EY y y fy + 2 EY /2 in + 4 y y + 2 y y in 2 in 4 sec Oppgave 4 a Når rosinene er unifort fordelt i pakken, vil en tilfeldig valgt rosin befinne seg i den første porsjonen ed sannsynlighet /, siden det er andelen av den totale engden frokostblanding i pakken so utgjør den første porsjonen Dette gjelder uavhengig for hver av de n rosinene, slik at X blir binoisk fordelt ed paraetre n og /, X Bin n, ov-lsf-b 7 februar 20 Side

6 Hvis den første prosjonen inneholder x rosiner, er det n x rosiner igjen so fordeler seg på de øvrige porsjonene Den betingede fordelingen til X 2 gitt at X x er dered binoisk ed paraetre n x og /, [X 2 X ] Bin n x, Første prosjon inneholder inst en rosin ed sannsynlighet P X P X 0 n Krever vi at denne sannsynligheten skal være større enn eller lik β, får vi følgende ulikhet, so kan løses ed hensyn til n, P X β n β n β n log log β n log β log Ulikheten snur fra nest siste til siste linje fordi log / < 0 b X og X 2 er ikke uavhengige Jo flere rosiner so er inneholdt i den første porsjonen, jo færre rosiner vil en forvente å finne i den andre porsjonen Korrelasjonskoeffisienten ello X og X 2 er negativ, siden en økning i den ene variabelen er forbundet ed en forventet reduksjon av den andre Den negative saenhengen blir særs tydelig når 2, slik at X + X 2 n Den siultane punktsannsynligheten til X og X 2 er P X x, X 2 x 2 P X x P X 2 x 2 X x n x nx n x 2 nx x 2 x x 2 n n x x x n 2 x x 2 n x nx x 2 2 nx x 2 x, x 2, n x x 2 n x 2 nx x 2 x, x 2, n x x 2 Variablene X, X 2 og i3 X i n X X 2 følger den ultinoiske sannsynlighetsfordelingen ed paraetre n og p /, /, 2/ T nx x 2 ov-lsf-b 7 februar 20 Side 6

7 c Forventingsverdien til indikatorvariabelen Y er EY 0 P Y 0 + P Y P Y P X 0 TMA424 Statistikk n Siden arginalfordelingene til Y, Y 2,, Y er like, har vi EY i EY for i 2, 3,,, so gir EW E Y i EY i EY n Variansen til Y er i i VarY 0 EY 2 P Y 0 + EY 2 P Y n 2 n + n 2 n n [ n + n ] }{{} n 2n Kovariansen ello Y og Y 2 er CovY, Y 2 EY Y 2 EY EY 2 y y 2 P Y y, Y 2 y 2 EY 2 y 0 y 2 0 Variansen til W er VarW Var Y i P Y, Y 2 EY 2 P Y P Y 2 Y P X 0 2 P X 0P X 2 0 X 0 P X 0 2 n 2 n [ n ] 2 2 n 2n i VarY i + i i CovY i, Y j j i j VarY + CovY, Y 2 [ n ] 2n [ 2 n ] 2n + n ov-lsf-b 7 februar 20 Side 7