TMA4245 Statistikk Vår 2007

Transkript

1 TMA4245 Statistikk Vår 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har lært. Oppgavene skal besvares uten å bruke læreboka eller tabellen. Bestem det/de riktige svaret/svarene for hvert spørsmål. a) Hendelse Hva er en hendelse?. Et utfall som inntreffer sjelden 2. En mengde av enkeltutfall 3. Konvergens av relative hyppigheter 4. Et stokastisk forsøk som ikke kan gjentas under samme betingelser b) Disjunkte hendelser To disjunkte hendelser er. To hendelser som ikke kan inntreffe samtidig 2. To hendelser som bare kan inntreffe samtidig 3. To umulige hendelser 4. To hendelser som har minst ett enkeltutfall felles c) Kast en mynt to ganger. Da er det (når en ikke tar hensyn til rekkefølgen). mer sannsynlig å få to kron enn å få en mynt og en kron 2. mindre sannsynlig å få to kron enn å få en mynt og en kron 3. like sannsynlig å få to kron som å få en mynt og en kron d) Hvor mange tre-sifrede tall av tallene,2,3,4,5 fins det? a. Trekker med tilbakelegging, ordnet: b. Trekker uten tilbakelegging, ordnet: e) Betinget sannsynlighet La A og B være to disjunkte hendelser. Hva er da P (A B)? Ikke definert 4. P (A) + P (B) 5. 2 oving7-oppg-b 4. februar 2007 Side

2 f) Total sannsynlighet Setningen om total sannsynlighet sier: La A,... A r være en oppdeling av utfallsrommet S (dvs. at hendelsene A j er parvis disjunkte og tilsammen oppfyller hele utfallsrommet) og la B være en vilkårlig hendelse. Da gjelder:. P (B) = r j= P (A j)p (B A j ) 2. P (B) = r j= P (A j)p (A j B) 3. P (B) = r j= P (B j)p (A B j ) 4. P (B) = r j= P (A j)p (B A j ) 5. P (B A j ) = r j= P (A j)p (B A j ) g) Uavhengighet Hva vil det si at to hendelser A og B er uavhengige?. At de ikke kan inntreffe samtidig 2. At de ikke er disjunkte 3. At de er disjunkte 4. At P (A B) = P (A)P (B A) 5. At P (A B) = P (A)P (B) 6. At de forekommer i atskilte stokastiske forsøk 7. At A er inneholdt i B eller omvendt h) Diskret variabel En stokastisk variable sies å være diskret fordelt dersom:. Den har bare endelig mange mulige verdier 2. Den har endelig eller tellbart uendelig mange mulige verdier 3. De mulige verdier er tallene,2,3, De mulige verdier er mengden av alle reelle tall 5. De mulige verdier er et intervall [a, b] på tallinjen, der vi kan ha a = og/eller b = i) Kontinuerlig variabel En stokastisk variable sies å være kontinuerlig fordelt dersom:. Den har bare endelig mange mulige verdier 2. Den har endelig eller tellbart uendelig mange mulige verdier 3. De mulige verdier er tallene, 2, 3, De mulige verdier er mengden av alle reelle tall 5. De mulige verdier er et intervall [a, b] på tallinjen, der vi kan ha a = og/eller b = j) Punktsannsynlighet diskret variabel Punktsannsynligheten p(x) for en diskret stokastisk variabel X tilfredsstiller:

3 . p(x) > 0 for alle reelle tall x 2. p(x) > 0 for alle mulige verdier for X 3. p(x) > 0 for x =, 2, p(x) er en strengt voksende funksjon av x 5. p(x) er overalt ikke-avtagende som funksjon av x 6. x p(x) = k) Fordelingsfunksjon diskret variabel Fordelingsfunskjonen F (x) for en diskret stokastisk variabel X tilfredsstiller:. F (x) er definert for alle reelle tall x 2. F (x) > 0 for alle reelle tall x 3. F (x) > 0 for alle mulige verdier for X 4. F (x) > 0 for x =, 2, F (x) er en strengt voksende funksjon av x 6. F (x) er overalt ikke-avtagende som funksjon av x 7. x F (x) = 8. lim x F (x) = 9. F (0) = 0 l) Forventning og varians En stokastisk variabel X har punktsannsynlighet: p( ) = 0.5, p() = 0.5. En stokastisk variabel Y har punktsannsynlighet: p( 2) = 0.5, p(2) = X har mindre forventingsverdi enn Y 2. X har større forventingsverdi enn Y 3. X og Y har samme forventningsverdi, nemlig 0 4. X har mindre varians enn Y 5. X har større varians enn Y 6. X og Y har samme varians 7. SD(X) =, SD(Y ) = 2 m) Ved innføringen av bomringen i Trondheim vil 80% av bilistene ha køfri- brikke. For en gruppe på 0 bilister, hva er sannsynligheten for at alle har køfri-brikke? /0 = 0.08 n) En urne inneholder 7 røde og 5 grønne kuler. Trekk 3 kuler - og la X være antall grønne blant de 3. Mulige sannsynlighetsfordelinger for X kan være:. X er binomisk fordelt. 2. X er poissonfordelt. 3. X er hypergeometrisk fordelt. Skriv riktig tall (,2 eller 3) for fordeling i situasjonene nedenfor.

4 a.... De 3 kulene trekkes med tilbakelegging. b.... De 3 kulene trekkes uten tilbakelegging. o) Kontinuerlige variable La X være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x) og fordelingsfunksjon F (x). Sett ring rundt de utsagn nedenfor som er korrekte.. 0 f(x) for alle x. 2. f(x) 0 for alle x F (x) for alle x. 4. F (x) > 0 for alle x. 5. F (x) er en ikke-avtagende funksjon. 6. f(x) er en ikke-avtagende funksjon. 7. f(x) er stykkevis kontinuerlig 8. f (x) = F (x) for alle unntatt muligens endelig mange x. 9. F (x) = f(x) for alle unntatt muligens endelig mange x. 0. P (X = x) = 0 for alle verdier av x.. P (X = x) > 0 for alle unntatt muligens endelig mange x. 2. F (x) = x f(u)du. 3. f(x) = x F (u)du. 4. P (a < X b) = b a f(u)du. 5. P (a X b) = b a f(u)du. 6. P (a < X b) = F (b) F (a). p) Forventningsverdi og varians La X være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x) og fordelingsfunksjon F (x). Sett ring rundt de utsagn nedenfor som er korrekte.. E(X) = xf(x)dx 2. E(X) = x2 f(x)dx 3. E(X) = xf (x)dx 4. E(X) er alltid lik den verdi av x der f(x) er størst 5. Var(X) = x2 f(x)dx 6. Var(X) = x2 f(x)dx hvis E(X) = 0 7. Var(X) = (x E(X))2 f(x)dx 8. Var(X) = x2 f(x)dx [E(X)] 2 q) Eksponensialfordelingen Hva mener en med at eksponensialfordelingen ikke har hukommelse? (T eksp(λ)). Den er vanskelig å huske.

5 2. La T være levetiden til en lyspære. En ny lyspære har like stor sannsynlighet for å leve i 0 timer som en lyspære som virker etter 00 timer har å leve i 0 timer til. 3. P (T > y) = P (T > x + y T > x) 4. Parameteren λ endrer seg hele tiden. Eksponensialfordelingen husker ikke sin verdi av λ. r) Funksjon av stokastisk variabel La X være kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f X (x), og la Y = e X. Da blir sannsynlighetstettheten til Y:. f Y (y) = f X (e y )e y 2. f Y (y) = f X (ln y)e y 3. f Y (y) = f X (ln y) y s) La X være normalfordelt med forventningsverdi µ og varians σ 2. La Y = ax + b for gitte konstanter a og b. Sett ring rundt de riktige utsagn nedenfor.. Y er ikke nødvendigvis normalfordelt 2. Y er normalfordelt 3. Hvis a = /σ og b = µ/σ, så er Y standard normalfordelt 4. E(Y ) = aσ + b 5. E(Y ) = aµ + b 6. Var(Y ) = aσ 7. Var(Y ) = a 2 σ 2 8. Var(Y ) = aσ 2 + b 2 t) La X være normalfordelt med forventningsverdi µ og varians σ 2. Hvilken av følgende transformasjoner av X gir en standard normalfordeling (dvs. N(0,))?. Z = X µ σ 2. Z = X µ σ 2 3. Z = X µ µ 4. Z = X µσ u) La Φ(x) være fordelingsfunksjonen i standard normalfordelingen. Sett ring rundt de riktige utsagnene nedenfor.. Φ(x) = 2π e x Φ( x) = Φ(x) 7. Φ( x) = Φ(x) 2. Φ(x) = Φ( x) 5. Φ( x) = Φ(x) 8. Φ(0) = 0 3. Φ(0) = Φ(0) = 9. lim x Φ(x) = 0 v) La X og X 2 være diskrete stokastiske variable, hver med mulige verdier 0,, 2, 3,.... Sett ring rundt det riktige utsagnet nedenfor.. P (X 2 = 0 X = 0) + P (X 2 = X = 0) + P (X 2 = 2 X = 0) + P (X 2 = 3 X = 0) +... = 2. P (X 2 = 0 X = 0) + P (X 2 = 0 X = ) + P (X 2 = 0 X = 2) + P (X 2 = 0 X = 3) +... = w) La X og X 2 være to stokastiske variable, diskrete eller kontinuerlige. Sett ring rundt de korrekte utsagnene nedenfor.. Var(X + X 2 ) = Var(X ) + Var(X 2 )

6 2. Var(X + X 2 ) = Var(X ) + Var(X 2 ) + Cov(X, X 2 ) 3. Var(X + X 2 ) = Var(X ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X, X 2 ) 4. Var(X + X 2 ) = Var(X ) + Var(X 2 ) 2Cov(X, X 2 ) 5. Var(X + X 2 ) = Var(X ) + Var(X 2 ) hvis X og X 2 er stokastisk uavhengige 6. Cov(X, X 2 ) = E(X X 2 ) E(X )E(X 2 ) 7. Cov(X, X 2 ) = E(X X 2 ) hvis X og X 2 er stokastisk uavhengige 8. Cov(X, X 2 ) = E(X )E(X 2 ) hvis X og X 2 er stokastisk uavhengige 9. E(X X 2 ) = E(X )E(X 2 ) hvis X og X 2 er stokastisk uavhengige x) La X og X 2 være uavhengige stokastiske variable. La Y = X X 2 og Z = 2 (X +X 2 ). Sett ring rundt de riktige svarene nedenfor:. Var(Y ) = Var(X ) Var(X 2 ) 2. Var(Y ) = Var(X ) + Var(X 2 ) 3. Var(Z) = 2 (Var(X ) + Var(X 2 )) 4. Var(Z) = 4 (Var(X ) + Var(X 2 )) 5. Var(Z) = 4 Var(Y ) 6. Var(2Z) = Var(Y ) Oppgave 2 Simultanfordeling - Eksamen august 2006, oppgave 4 av 4 Simultanfordelingen, f(x, y), til de to diskrete stokastiske variablene X og Y er gitt i flgende tabell: y=0 y= y=2 x= x= x= Finn marginalfordelingen til X og til Y, og beregn forventning og varians til X og til Y. Beregn kovariansen mellom X og Y, Cov(X, Y ). Er X og Y uavhengige? Svaret skal begrunnes. Oppgave 3 a-d Oljeutslipp Eksamen 6. august 2004, oppgave 2 av 3, punkt a av

7 Oljeselskaper som er operatører på norsk kontinentalsokkel må hvert år rapportere forurensende utslipp til myndighetene. Under de fleste reservoarer ligger det en vannsone som etter noen tids produksjon trekkes opp i brønnene og blir en del av væsken som produseres på feltene. Vannet skilles fra oljen under produksjonen, men en del olje blir igjen i produksjonsvannet som slippes ut i sjøen. Myndighetene krever at oljekonsentrasjonen i produksjonsvann som slippes ut i sjøen skal være mindre enn 40 mg/l. Basert på dagens teknologi kan det antas at oljekonsentrasjonen i et tilfeldig valgt utslipp av produksjonsvann er normalfordelt med forventing µ = 2.6 mg/l og standardavvik σ = 3.4 mg/l. a) Finn sannsynligheten for at oljekonsentrasjonen i et tilfeldig valgt utslipp av produksjonsvann er mindre enn 30 mg/l. Hva er sannsynligheten for at oljekonsentrasjonen i et tilfeldig valgt utslipp overskrider myndighetenes krav? Finn sannsynligheten for at oljekonsentrasjonen i et tilfeldig valgt utslipp ligger innenfor [µ 3σ, µ + 3σ]. Oppgave 4 Sykehjemmet Eksamen 5. august 2004, oppgave 2 av 3 Vi ser på dødsfall om natten ved sykehjemmet Aftensol. Ved sykehjemmet er det tre sykepleiere i rene nattevaktstillinger, Anne, Bernt og Cecilie. Hver natt er en av dem på vakt gjennom hele natten, og det er da ingen andre ansatte tilstede ved hjemmet. Anne jobber i 00% nattevaktstilling, mens Bernt og Cecilie jobber i 50% nattevaktstillinger. Vi ser på en tilfeldig valgt natt og definerer følgende hendelser: A = Anne er på vakt, B = Bernt er på vakt, C = Cecilie er på vakt, D = det skjer et dødsfall. Anta at alle dødsfall er naturlige. Det er da rimelig å gå ut fra at sannsynligheten for dødsfall er den samme uansett hvilken sykepleier som er på vakt, dvs. at P (D A) = P (D B) = P (D C). Anta at den felles verdi for disse er a) Tegn de 4 hendelsene definert ovenfor i et venndiagram. Hva er sannsynlighetene P (A), P (B) og P (C)? Finn P (D). Er hendelsene D og C uavhengige? Begrunn svaret. I den siste tiden har det vært 0 dødsfall om natten ved sykehjemmet, og hele 7 av disse har skjedd når Cecilie har vært på vakt. Det er derfor satt igang etterforskning for eventuelt å avdekke om Cecilie har noe med dødsfallene å gjøre. Anta i det følgende at alle dødsfallene er naturlige, og at de har skjedd på forskjellige netter. La X være en stokastisk variabel som beskriver antall av n = 0 naturlige dødsfall som skjer på Cecilies vakter.

8 b) Forklar hvorfor det kan antas at X er binomisk fordelt med n = 0 og p = (Det er ikke tilstrekkelig å skrive opp de generelle forutsetningene for en binomisk fordeling, betingelsene må relateres direkte til situasjonen som er beskrevet.) Hva er sannsynligheten for at 7 eller flere av 0 dødsfall om natten skjer på Cecilies vakter? La oss tenke oss at det rundt om på sykehjem i Norge jobber 300 andre sykepleiere i tilsvarende stilling som Cecilie. Hva er sannsynligheten for at minst en av de 300 sykepleierne opplever at 7 eller flere av 0 naturlige dødsfall skjer på sine vakter? Gir svarene i dette punktet grunn til å styrke mistanken mot Cecilie? Begrunn svaret. Oppgave 5 Transport av masse Eksamen mai 2006, oppgave 2 av 4 En entreprenør har leid inn et transportfirma til å transportere masse bort fra en byggeplass. Det er to mulige veivalg fra byggeplassen til stedet der massen skal deponeres, gjennom eller utenom bykjernen. Av helse, miljø og sikkerhetshensyn velger entreprenøren at massen skal transporteres utenom bykjernen. Når oppdraget er ferdig har transportfirmaet kjørt 000 turer, og transportfirmaet informerer entreprenøren om at av de 000 turene har 5 blitt kjørt gjennom bykjernen og 995 er blitt kjørt utenom bykjernen. I løpet av transportperioden har entreprenøren ved 5 tilfeldig valgte transporter sjekket om transporten har skjedd gjennom bykjernen. La X være antall ganger, av de 5 transportene som ble sjekket, entreprenøren finner at massen er blitt transportert gjennom bykjernen. Hvilken fordeling har X? Begrunn svaret. Hvilken verdi av X har høyest punktsannsynlighet? Nå viser det seg at entreprenøren fant at i 5 av de 5 tilfellene han sjekket så ble massen transportert gjennom bykjernen. Hva er sannsynligheten for dette, dvs. P (X = 5)? Oppgave 6 Levetid til elektroniske komponenter Eksamen desember 999, oppgave 4 av 5, punkt a,b (av a-e) Levetiden (målt i måneder), X, til en del typer elektroniske komponenter har vist seg å følge en fordeling med sannsynlighetstetthet { x e x θ for x > 0 f(x) = 2θ 0 ellers, der θ er en parameter som beskriver kvaliteten til komponentene. Tilhørende kumulative fordelingsfunksjon er gitt ved { F (x) = e x θ for x > 0 0 ellers. I hele denne oppgaven antar vi at levetider til ulike komponenter er uavhengige. (6.)

9 [Hint: Du kan i denne oppgaven uten bevis benytte at 0 x α e x θ dx = 2θ 2α+2 Γ(2α + 2), for α >, θ > 0, der Γ(α) er gamma-funksjonen (se også tabell).] a) For θ = 2.0, finn sannsynligheten for at en elektronisk komponent av denne typen fremdeles skal funksjonere etter 0 måneder. Gitt at en komponent fremdeles funksjonerer etter 0 måneder, hva er sannsynligheten for at den også vil funksjonere etter 20 måneder dersom θ = 2.0? Vis at E(X) = 2θ 2. b) Et bestemt instrument inneholder to elektroniske komponenter, komponent A og komponent B. For at instrumentet skal funksjonere må begge de to elektroniske komponentene funksjonere. La X A betegne levetiden til komponent A og la X B være levetiden til komponent B. Levetiden til instrumentet blir dermed U = min(x A, X B ). Levetidene for begge komponentene er på formen gitt i ligning (6.), men med ulik kvalitetsparameter θ, dvs. komponent A har kvalitetsparameter θ A, mens komponent B har kvalitetsparameter θ B. Finn sannsynlighetstettheten for instrumentets levetid (uttrykt ved θ A og θ B ). Hva blir forventet levetid for instrumentet? Oppgave 7 Eksamen mai 2003, oppgave 3 av 3, punkt a,b av a-e Et apparat inneholder k like komponenter og fungerer bare dersom alle disse er i orden. Komponentenes levetider T, T 2,... T k er uavhengige og eksponensielt fordelte med parameter β (> 0), dvs. sannsynlighetstettheten er f(t) = β e t/β for t 0, 0 for t < 0. a) Finn den kumulative fordelingsfunksjonen for levetiden til en komponent. Hva blir P (T < 3) og P (2 < T < 4) når β = 5? b) La X betegne apparatets levetid. Vis at X er eksponensielt fordelt med parameter β/k. Hva blir apparatets forventede levetid når k = 4 og β = 5? Oppgave 8 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet Finn sannsynlighetsfordelingen til f(x) = { 2xe x 2 for x 0 0 ellers

10 a) U = X 2 b) V = 2X c) W = X 2 Oppgave 9 Levetid for lyspærer Eksamen august 2002, oppgave 3 av 3 To typer lyspærer, A og B, har levetider henholdsvis X og Y, der X og Y antas uavhengige. Videre antas at X har sannsynlighetstetthet f (x) og Y har sannsynlighetstetthet f 2 (y), der { f (x) = β e x/β for x 0 0 ellers, f 2 (y) = { β 2 e y/β 2 for y 0 0 ellers og β, β 2 > 0. a) Vis at forholdet mellom forventet levetid for pære A og forventet levetid for pære B er β /β 2. La U = X/Y være forholdet mellom levetidene og la V = Y. b) Finn simultan sannsynlighetstetthet for U og V. (Å finne simultanfordelingen er ikke pensum, men for de som vil prøve seg er teorem 7.4 et godt tips. Svaret er f U,V (u, v) = v β β 2 e u v β + β 2 u, v > 0 0 ellers. Resten av oppgaven er pensum, bruk f U,V (u, v) som oppgitt.) Vis at marginal sannsynlighetstetthet for U er { β β 2 g(u) = (β +β 2 for u 0, u) 2 0 ellers. c) Vis at E(U) er uendelig. Oppgave 0 Eksamen desember 999, oppgave 5 av 5 I en poissonprosess med intensitet λ, la X betegne tiden frem til første hendelse og la X 2 betegne tiden mellom første og andre hendelse. Som kjent er da X og X 2 uavhengige og eksponensialfordelte med forventning /λ (dette trenger ikke du vise). La Y betegne tiden frem til andre hendelse, dvs. Y = X + X 2. Vis at da er Y gamma-fordelt med parametre α = 2 og β = /λ, dvs. vis at sannsynlighetstettheten for Y er { λ f(y) = 2 ye λy for y > 0, 0 ellers.

11 Oppgave Oppgave 7. fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 7.3 fra læreboka. Oppgave 3 Oppgave 7.5 fra læreboka. Fasit 3. a) , 0, a) P(D)=0.06 b) 0.004, P (X = 5) = a) 0.206, 0.59 b) f(u) = (/θ A + /θ B )exp( u /2 (/θ A + /θ B ))/(2u /2 ), E(U) = 2(θ A θ B / (θ A + θ B )) 2 7. a) 0.452, b).25