LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

Transkript

1 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel som beskriver atall korrekte svar på = 20 spørsmål på midtveiseksame (flervalgsoppgave). Betigelser for at X er biomisk fordelt: Vi ser på = 20 svar. For hvert svar sjekker vi om svaret er korrekt eller ikke. Sasylighete for at svaret er korrekt er fordi Ole tipper, og det er bare ett svar som m er korrekt blat m mulig svar. Dee sasylighete er de samme for alle svaree. De svaree er uavhegige av hveradre, side Ole tipper svaret på hvert spørsmål. Uder disse 4 betigelsee er X biomisk fordelt med parametere = 20 og p =. Dermed m er sasylighetsfordelige til X gitt ved puktsasylighete f(x), ( ) f(x) = p x ( p) x, x = 0,,..., x Sasylighete for å svare korrekt på mist 8 spørsmål fier vi eklest ved tabelloppslag (s 7 i formelsamlige). Vi gjør dette for de tre verdiee av m som er oppgitt, m = 2, 4, 5. (Grue til at disse tre verdiee er valgt er ku pga at de fies i tabelle...) m = 2 : P (X 8) = P (X 7 p = 0.5, = 20) = 0.32 = 0.87 m = 4 : P (X 8) = P (X 7 p = 0.25, = 20) = = 0.0 m = 5 : P (X 8) = P (X 7 p = 0.2, = 20) = = 0.03

2 Side 2 av 0 Forvetige til X er E(X) = p. Forvetet atall korrekte svar for m = 2, 4, 5 blir da: m = 2 : E(X) = 20 2 = 0 m = 4 : E(X) = 20 4 = 5 m = 5 : E(X) = 20 5 = 4 b) G = spørsmålet er fra de dele av pesum som Ole ka godt, M = spørsmålet er fra de dele av pesum som Ole ka middels godt, D = spørsmålet er fra de dele av pesum som Ole ka dårlig, K = Ole svarer korrekt på spørsmålet. Vediagram for de fire hedelsee: G M D K Sasylighete for at Ole svarer korrekt på et tilfeldig valgt spørsmål, P (K), fier vi vet å bruke setige om total sasylighet. Vi vet at G, M, D er e partisjo av utfallsrommet (det ser vi lett av vediagrammet og at summe av sasylighetee er ). P (K) = P (K G) + P (K M) + P (K D) = P (K G) P (G) + P (K M) P (M) + P (K D) P (D) = = 0.48 Bayes regel ka beyttes til å fie sasylighete for at spørsmålet var fra de dele av pesum som Ole ka dårlig, gitt at Ole svarte korrekt på spørsmålet. P (D K) = = P (K D) P (K) P (K D) P (D) = P (K) = 0.08

3 Side 3 av 0 Oppgave 2 Oljeutslipp a) La X være e stokastisk variabel som agir oljekosetrasjoe i et tilfeldig valgt utslipp av produksjosva. Vi atar at X er ormalfordelt med forvetig µ = 2.6mg/l og stadardavvik σ = 3.4 mg/l. Sasylighete for at oljekosetrasjoe i et tilfeldig valgt utslipp av produksjosva er midre e 30 mg/l: P (X < 30) = P (X 30) = P ( X µ ) σ 3.4 = P (Z 2.47) = Φ(2.47) = Sasylighete for at oljekosetrasjoe i et tilfeldig valgt utslipp overskrider mydighetees krav: P (X > 40) = P (X 40) = P ( X µ ) σ 3.4 = P (Z 5.4) = Φ(5.4) = = 0(tilærmet) Sasylighete for at oljekosetrasjoe i et tilfeldig valgt utslipp ligger iefor [µ 3σ, µ + 3σ]: P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = P (X µ + 3σ) P (X µ 3σ) = P ( X µ µ + 3σ µ ) P ( X µ µ 3σ µ ) σ σ σ σ = P (Z 3) P (Z 3) = Φ(3) Φ( 3) = = b) Vi har 24 uavhegige måliger av oljekosetrasjoe i produksjosva i løpet av et døg. Disse kaller vi X, X 2,..., X 24. Hver målig er ormalfordelt med forvetig µ = 2.6 og stadardavvik σ = 3.4. Gjeomsittet av de 24 måligee kaller vi X = X i. Side hver av de 24 måligee er ormalfordelte og de 24 måligee er uavhegige vil gjeomsittet også være ormalfordelt med følgede forvetig og varias: ( ) E X i = E(X i ) = µ = µ = µ ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 Var X i = Var(X i ) = σ 2 = σ = σ2

4 Side 4 av 0 Sasylighete for at gjeomsittet av disse måligee er lavere e 20 mg/l: P ( X < 20) = P ( X 20) = P ( X µ σ ) 24 = P (Z 2.30) = Φ( 2.30) = 0.0 Sasylighete for at ige av de 24 måligee er over 30 mg/l: P [(X 30) (X 2 30) (X 24 30)] = P (X 30) P (X 2 30) P (X 24 30) = [P (X i 30)] 24 = (0.9932) 24 = 0.85 c) Etter de ye resemetode har vi Y, Y 2,..., Y 6 som alle er ormalfordel med ukjet forvetig ν, og med stadardavvik τ, som i første omgag atas kjet, τ = 3.4 mg/l. Vi velger de koservative atakelse om at de ye resemetode ikke er bedre e de gamle og setter ν = 2.6 som ullhypotese. Hypotese som vi øsker å teste, µ < 2.6 velger vi som alterativ hypotese. H 0 : ν = 2.6 vs. H : ν < 2.6 Vi bruker Ȳ som estimator for ν og vi vil forkaste H 0 år Ȳ er lite (fordi da tror vi på de alterative hypotese). Vi vet at uder H 0 så er Z 0 = Ȳ 2.6 τ stadard ormalfordelt. Hvis vi skal forkaste H 0 år Ȳ er lite, vil vi også forkaste H 0 år Z 0 er lite og vi bestemmer oss for å forkaste H 0 år Z 0 k (Z 0 er dermed testobservatore vår). Videre bestemmer vi k slik at P (type I feil) = P (forkaste H 0 H 0 er sa) α. Isatt Z 0 k for hedelse forkaste H 0 og ν = 2.6 for hedelse H 0 sa : P (forkaste H 0 H 0 er sa) α P (Z k ν = 2.6) = α P (Ȳ 2.6 τ k ν = 2.6) = α Tallet k som har areal α til vestre i stadard ormalfordelige er kvatile z α, dvs. k = z α. i) Dvs. vi forkaster H 0 år Z 0 = Ȳ 2.6 τ z α

5 Side 5 av 0 ii) Alterativt ka vi løse ut forkastigsområdet over som τ Ȳ 2.6 z α For α = 0.0 er z 0.0 = Videre har vi Z 0 = Ȳ 2.6 τ bruke begge måtee for å skrive opp forkastigsområdet: = = 2.2. Vi ka i) Z 0 = 2.2. som er større e 2.326, og dermed gir det ikke forkastig. ii) Ȳ = 9.8 og forkastigsområdet 2.6 z α τ 3.4 = > 9.6 og vi forkaster ikke H 0. = 9.6 Her er Koklusjoe er at det vi har observert (eller oe verre) er gaske sasylig (har høyere sasylighet e 0.0) år H 0 er sa, og vi forkaster dermed ikke H 0. Lite digresjo: P verdie agir sasylighete for det vi har observert eller oe verre gitt at H 0 er sa (der verre hespeiler på de alterative hypotese). Vi har ikke forkastet H 0 på sigifikasivå 0.0, det betyr at det vi har observert eller oe verre har større sasylighet e 0.0 år H 0 er sa. Det betyr at p-verdie til teste vil være større e 0.0. Vi skal så ata at vi ikke kjeer stadardavviket τ, me at vi istede får vite at det empiriske stadardavviket for måligee var 2.6 mg/l. Vi ka dermed ikke leger basere oss på de stadard ormalfordelte Z 0, me må heller iføre e estimator for τ og eder opp med e testobservator, T 0, som er t-fordelt. Vi estimerer τ 2 med det empiriske stadardavviket, ˆτ 2 = (Y i Ȳ )2 og erstatter τ med ˆτ i Z 0 og får T 0 : T 0 = Ȳ 2.6 ˆτ som er t-fordelt med -frihetsgrader. Vi forkaster dermed H 0 år T 0 t α,. Setter vi i tall får vi at T 0 = = og t 0.0,5 = Dermed er 2.77 < 2.60 og vi forkaster H 0. Overgage fra kjet til ukjet stadardavvik førte til to edriger. Først så relaterte vi forkastigsområdet til e t-fordelig istedefor til e stadard ormalfordlig. t-fordelige har tygre haler e stadard ormalfordelige, og gresee for forkastigsområdet ble dermed mer ekstreme (vi flyttet oss legre til vestre for å få areal 0.0 edefor forkastigsgrese).

6 Side 6 av 0 Dette gjorde teste stregere (fordi vi har iført mer usikkerhet ved at vi ikke kjeer de sae verdie av τ). Dee edrige skulle tilsi at det ble eda vaskeligere å forkaste H 0. De adre edrige var at vi å satt i e estimert verdi for τ istedefor det vi trodde var de sae verdie. Nå viste det seg at de estimerte verdie var mye midre e de vi atok var de sae verdie. Dette betyr at de 6 måligee viste midre variasjo e et stadardavvik på 3.4 tilsier, og de 6 måligee gav et empirisk stadardavvik på 2.6. Dermed ble vi sikrere i vår sak. De to edrigee dro i motsatt retig, me de siste edrige var sterkere e de første. Dette førte til at vi å forkaster H 0 og meer at vi har sterke bevis for at de ye resemetode er bedre e de adre. d) For å fie et 95% kofidesitervall for µ baserer vi oss på at T = Ȳ ν ˆτ har e t-fordelig med frihetsgrader. Her lar vi α = P ( t α 2, T t α 2, ) = α P ( t α 2, Ȳ ν ˆτ t α 2, ) = α P (Ȳ t α 2, ˆτ ν Ȳ + t α 2, ˆτ ) = α P (ˆν L ν ˆν U ) = α Tallsvar: t α 2, = t 0.05,5 = ˆν L = ˆν U = = = % kofidesitervall for ν: [8.4, 2.2].

7 Side 7 av 0 Oppgave 3 Trafikktetthet X er tid mellom to bilpasseriger på e vei, og de kumulative fordeligsfuksjoe til X er gitt som F X (x). ( F X (x) = + x ) e x θ for x > 0, θ der θ > 0 er e parameter som spesifiserer trafikkmegde på veie som udersøkes. a) Sasylighete for at tide mellom to etterfølgede biler er høyst θ fier vi ved direkte isettig i de kumulative fordeligsfuksjoe. Side P (X x) = F X (x) er ( P (X θ) = F X (θ) = + θ ) e θ θ θ f X (x) = df X(x) dx = ( + )e = 2 e = 0.26 Vi fier sasylighetstetthete til X ved å derivere de kumulative fordeligsfuksjoe: ) e x θ ] = d ( dx [ + x θ = 0 (0 + θ ) x x e θ ( + = ( θ + θ + x θ 2 ) e x θ = x θ ) ( θ ) x e θ θ x 2 e θ Kommetar: dee fordelige er e Gamma-fordelig med parametre α = 2 og β = θ. b) Kumulative fordeligsfuksjoe F W (w) til W = 2X θ : F W (w) = P (W w) = P ( 2X wθ w) = P (X θ 2 ) = F X ( wθ wθ ) = ( + 2 2θ ) wθ e 2 = ( + w 2 ) w e 2 For å vise at W er kjikvadratfordelt med 4 frihetsgrader sammeliger vi sasylighetstetthete til W med sasylighetstetthete til e kjikvadratfordelig med 4 frihetsgrader. Først deriverer vi de kumulative fordeligsfuksjoe for W for å fie sasylighetstetthete til W. f W (w) = df W (w) = d dw dw [ ( + w 2 ) w e 2 ] = 0 (0 + 2 ) e w 2 ( + w = ( w 4 ) e w 2 = w 2 ) ( 2 ) w e 2 4 w e 2

8 Side 8 av 0 Deretter slår vi opp i formelsamlige for å se hvorda sasylighetstetthete til e kjikvadratfordelt størrelse med ν = 4 frihetsgrader ser ut. f Z (z) = 2 4/2 Γ(4/2) z4/2 e z 2 = 2 2 Γ(2) z2 e z z z 2 = 4 e 2 side Γ(2) =! =. Dermed ser vi at f W (w) = f Z (w), og W er kjikvadratfordelt med 4 frihetsgrader. Vi vet da at E(W ) = 4 og Var(W ) = 2 4 = 8. Alterativ fremgagsmåte: mometgeererede fuksjo eller trasformasjosformele. Forvetig og varias for X: ( ) W θ E(X) = E = θ 2 2 E(W ) = θ 2 4 = 2θ ( ) W θ Var(X) = Var = θ2 θ2 Var(W ) = = 2 2θ2 c) Skal fie sasylighetsmaksimerigsestimatore (SME) for θ basert på uavhegige måliger X,..., X. Vi ser først på rimelighetsfuksjoe, og side observasjoee er uavhegige fier vi de ved å multiplisere samme margialsasylighetstetthetee f X (x i ). Rimelighetsfuksjoe er gitt ved: L(θ) = L(θ; x,..., x ) = f(x,..., x ; θ) = f(x ; θ) f(x ; θ) x i x i = θ 2 e θ = x i θ 2 e P θ x i Tar logaritme: l(θ; x,..., x ) = l x i 2 l θ θ Fier maksimumspukt ved å derivere l-rimelighetsfuksjoe og sette lik 0. l = 0 2 θ θ + x θ 2 i x i

9 Side 9 av 0 Setter uttrykket lik 0, og får 2 + ˆθ x i = 0 ˆθ = 2 SME for θ blir da ˆθ = 2 X i. Forvetig og varias til ˆθ: E[ˆθ] = E(X i ) = 2 2 Var[ˆθ] = (2) 2 x i 2θ = θ Var(X i ) = (2) 2 E god estimator, ˆθ, er e estimator som er forvetigsrett, dvs. E(ˆθ) = θ, og har lite varias, dvs. Var(ˆθ) er lite. 2θ 2 = θ2 2 Vi liker veldig godt hvis variase miker år atall observasjoer som estimatore er basert på øker, og går mot 0 år atall observasjoer går mot uedelig (kosistet). SME-estimatore er forvetigsrett og har varias som miker (mot 0) år atall observasjoer øker. Ja, dette er e god estimator. d) Ma øsker å teste H 0 : θ = θ 0 mot H : θ > θ 0 for e gitt verdi θ 0 > 0 basert på testobservatore Y = 4ˆθ θ 0 Vi ser først på uttrykket for Y år vi setter i ˆθ: Y = 4ˆθ = 4 2 X i θ 0 θ 0 = 2 X i θ 0

10 Side 0 av 0 Uder H 0 (dvs. år H 0 er sa), vet vi fra pukt b) at W i = 2X i θ 0 er kjikvadratfordelt med 4 frihetsgrader. Side X i, i =,..., er uavhegige vil også W,..., W være uavhegige, og dermed vil Y = W i være kjikvadratfordelt med 4-frihetsgrader. Vi vil forkaste H 0 år det vi har observert er lite sasylig uder H 0, dvs. år ˆθ er stor. Det betyr at Y må være stor for at vi skal forkaste H 0. Vi fier e kostat k slik at vi kotrollerer Type-I feile på ivå α. P (type I feil) = P (forkaste H 0 H 0 er sa) α. Isatt Y k for hedelse forkaste H 0. P (forkaste H 0 H 0 er sa) α P (Y k θ 0 ) = α P ( 2 X i k θ 0 ) = α θ 0 Tallet k som har areal α til høyre i kjikvadratfordelige med 4-frihetsgrader kaller vi χ 2 α,4, dvs. k = χ 2 α,4. Dvs. vi forkaster H 0 år Y χ 2 α,4.