Oppgavehefte om komplekse tall

Transkript

1 Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, 11. august Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller alle vanlige regneregler og i tillegg i = 1. Vi kan summere, subtrahere, multiplisere, dividere, konjugere og finne absoluttverdi som vist under. a) + i) i) = + i 1 + i = 1 + i + i = 1 + 5i b) + i) i) = + i + + i = 0 + 4i = 4i. Merk at det er vanlig å skrive i stedet for + 0i, i i stedet for 0 i, 0 i stedet for 0 + 0i, + i i stedet for + 1i, og så videre. c) 1 i) + i) = + i i i = + + i i = 7 1 i d) + 7i = 7i e) 1 4i)1 + 4i) = 1 + 4i 4i 16i = = 17 Merk at når man multipliserer et komplekst tall og dets konjugerte blir svaret er reelt tall. f) i i = i)+i) i)+i) = 6+4i i i 9+6i 6i 4i = 8+i 1 = i Trikset er å utvide brøken med den konjugerte til nevneren. g) 1 5i = = = 169 = 1 Oppgave 1.1 Regn ut og skriv på kartesisk form: a) + i) + 4i b) 7 i) + 5i) c) 1 i)1 + i) d) i i) e) 4+i +i 1

2 f) + i g) +41 i) i h) i) Oppgave 1. Løs ligningen og skriv svaret på kartesisk form: a) i + z = b) iz = + 4i c) z+ z i = 4 d) i)z + 4 = + i Oppgave 1. Regn ut absoluttverdien til følgende komplekse tall: 5 + 1i, 7i, 1 i, i, 5,, ,6018i og + 4i. Oppgave 1.4 Vis at formelen zz = z gjelder for alle komplekse tall z = a + ib. Argand diagram Eksempel.1 La z = + i og w = 1 + 5i. Vi skal markere disse to komplekse tallene som punkt i det komplekse plan. Argand diagram.) w 1 5i 4 z i Avstanden mellom z og w er absoluttverdien til differansen: z w = + i) 1 + 5i) = 4 i = 4 + ) = 5

3 Eksempel. I et Argand diagram er mengden av alle punkt z som oppfyller ligningen z 1 + i) = 4 alle punkt med avstand 4 fra 1 + i), det vil si en sirkel. 4 4 Oppgave.1 Marker følgende komplekse tall som punkt i et Argand diagram: + i, 4, i og 5i. Oppgave. Finn avstanden mellom punktene: a) 1 i og + i b) 5 og i c) + i og 7 + 4i Oppgave. Lag en skisse over punktene i det kompleske plan som oppfyller følgende ligninger: a) z = b) z = 1 c) z i = z + i d) Imz + i) =. Oppgave.4 Lag en skisse av punktene i det komplekse plan som oppfyller ulikhetene: a) z < 4 b) 1 < z 1 < c) z z + i.

4 Trigonometrisk form Oppgave.1 Skriv følgende tall på trigonometrisk form: a) i b) i c) 5 + 5i d) e) i. Oppgave. Skriv følgende tall på kartesisk form og marker dem som punkt i det komplekse plan. a) cos π + i sin π) b) 5cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) c) cos π ) + i sin π )) Oppgave. For generelle komplekse tall har man ikke eksakte verdier for argument og modulus. Bruk desimaltall for å skriv følgende komplekse tall på trigonometrisk form: a),45,1i b) + 4i c) 15,0 67,4i 4 Geometrisk tolkning av multiplikasjon Oppgave 4.1 Bruk DeMoivres formel til å regne ut følgende uttrykk: a) 1 + i) 8 b) + i) 5. c) 1 + i)009 Oppgave 4. La z = cos π 4 + i sin π 4 ) og w = cos π + i sin π ). Regn ut og skriv på trigonometrisk form. a) wz b) w z c) z w d) z5 w 4 4

5 5 Røtter For et kompleks tall z så kaller vi løsningene til ligningen w n = z de komplekse n te røttene til z. Antallet slike røtter er det samme som graden til ligingen, og vi nummererer røttene w 0, w 1,..., w n 1. En kan bruke de Moivres formel til å utlede en formel for n te røtter: Man skriver z på trigonometrisk form z = rcos θ + i sin θ), da er w k gitt som w k = n r cos θ + kπ + i sin θ + kπ ). n n Merk at ulike valg av argumentet θ kun resulterer i en annen nummerering av røttene. Eksempel 5.1 I dette eksempelet skal vi finne de komplekse tredjerøttene til z = 8i, og marker disse som punkt i det komplekse planet. Vi begynner med å skrive z = 8i på trigonometrisk form. Modulus finner vi som følger r = z = 0) + 8) = 64 = 8. Argumentet θ er en vinkel slik at r cos θ = 0 og r sin θ = 8. Den siste av disse gir sin θ = 1. Dermed er θ = π et argument til z. Vi skriver z på trigonometrisk form z = 8 cos π + i sin π ). Vi kaller tredjerøttene til z for w 0, w 1 og w. Modulus til en tredjerot er tredjeroten av modulus til z, mens argumentet til en tredjerot er en tredjedel av et argument til z. Vi har formelen w k = 8 π cos + kπ π + i sin + kπ Dette gir at tredjerøttene til z på trigonometrisk form er w 0 = cos π 6 + i sin π ) 6 w 1 = cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 w = cos π + i sin π ). ). 5

6 Ved å bruke eksakte verdier for de trigonometriske funksjonene kan vi skrive tredjerøttene på formen ) w 0 = + i1 = + i ) w 1 = + i1 = + i w = 0 i) = i. Slik ligger disse tredjerøttene i det komplekse planet: 1.5 w w w Oppgave 5.1 Finn de komplekse nte røttene til z når a) z = 4 og n = 4, b) z = 8i og n =, c) z = 8 i8 og n = 4, d) z = 1 og n = 6, e) z = + i og n =, 6

7 f) z = 9 og n =. Oppgave 5. Finn alle a) kvadratrøttene til 1 + i, b) tredjerøttene til 1 + i, c) fjerderøttene til 81i, d) sjetterøttene til 64. Oppgave 5. Mange oppgaver er laget slik at røttene til et kompleks tall kan uttrykkes med eksakte verdier for argument og modulus. Generelt er det ikke slik. Da kan man bruke desimaltall for agrument og modulus i stedet. a) Finn tredjerøttene til 1 + i og skriv svaret både på trigonometrisk form med desimaltall og på kartesisk form som desimaltall. Bruk kartesisk form til w 1 og regn ut w1. Hvor stor avrundingsfeil har du? b) Finn femterøttene til 4+7i og skriv svaret både på trigonometrisk form med desimaltall og på kartesisk form som desimaltall. 6 Ligninger Oppgave 6.1 Finn alle komplekse løsninger for den ukjente z: a) z = 5 + 1i b) z = + i c) 7 + 4i)z = 75. d) z + 1)z + + i) = 0 f) z z i = 0. Oppgave 6. La z være et ukjent komplekst tall. Løs ligningene ved annengradsformelen, og sjekk svarene. a) z + z + = 0 b) z z + 1 = 0 c) z i)z + 1 4i) = 0. 7

8 7 Blandede oppgaver Oppgave 7.1 Dersom a og b er positive reelle tall, så vet vi at ab = a b. Drøft om den samme formelen kan sies å gjelde for komplekse tall z og w, d.v.s. zw = z w? Hva med tilfellet z = 1 og w = 1? Oppgave 7. Utled ved hjelp av DeMoivres formel at cosθ) = cos θ cos θ sin θ. Hva er den tilsvarende formelen for sinθ)? Oppgave 7. Vis at summen av de n ulike nte røttene til et kompleks tall er w 0 + w w n 1 = 0. Hint: Det finnes et tall ζ slik at w k = ζ k w 0.) 8