Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen"

Paul Hermansen
6 år siden
Visninger:

1 Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo

2 Cauchys sats (Journal de L école polytechnique, Vol. 17, 1815) La f = f(x 1,..., x n ) være en funksjon i n variable. For et vilkårlig n-tuppel (x 1,..., x n ) lar vi f Σ (x) = {f(x σ(1),..., x σ(n) ) σ Σ n } være mengden av verdier f antar når vi gjennomløper alle permutasjoner σ Σ n av tallene 1, 2,..., n. La m = f Σ (x) være antall elementer i denne mengden. Dersom m < p, hvor p er det største primtallet som er mindre enn eller lik n og hvor vi antar p > 3, så er m = 1 eller m = 2.

3 Abel om Cauchy i 1826: Cauchy is mad and there is nothing that can be done about him, although, right now, he is the only one who knows how mathematics should be done.

4 Et eksempel f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 x 2 + 2x 2 x 2 3 3x 1 f Σ (x) = {f(x 1, x 2, x 3 ), f(x 1, x 3, x 2 ), f(x 2, x 1, x 3 ), f(x 2, x 3, x 1 ), f(x 3, x 1, x 2 ), f(x 3, x 2, x 1 )} Eksempel: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1 gir f Σ (x) = {2, 2, 3, 3, 4, 4}

5 Bevis for Cauchys sats, hovedtrekk: (i) Dersom m < p n (p primtall), så er f = fσ for alle σ som oppfyller σ p = I. (ii) For p 5 har vi ( p)(1p[p 1] ) = (132) dvs. enhver 3-sykel er et produkt av 2 p-sykler. (iii) Vi har og (132) = (12)(32) (12)(34) = (123)(314) mao. alle 3-sykler kan skrives som et produkt av to 2-sykler og alle produkter av 2-sykler er også produkter av 3-sykler.

6 Konklusjon: (iv) For største primtall p n har vi f = fσ for alle σ med σ p = I (følger fra (i)), derfor f = fσ for alle σ med σ 3 = I (følger fra (ii)), og videre fτ 1 τ 2 = f for alle 2- sykler τ 1 og τ 2 (følger fra (iii))og derfor må f være symmetrisk eller anta to verdier, f(x) og f(τ(x)) for en eller annen 2-sykel τ.

7 Abels sats for uløsbarhet av 5. gradslikningen (Selvbekostet trykt pamflett, 1824) Det finnes ingen algebraisk formel for løsning av den generelle 5. gradslikningen, dvs. vi kan ikke finne en formel for løsningene som er satt sammen av algebraiske funksjoner (summer, produkter, rotuttrykk) med utgangspunkt i koeffisientene i likningen.

8 Formler for løsning av likninger 2. gradslikning: Andregradslikningen x 2 2ax + b = 0 har løsning x = a + ɛ(r) 1 2 hvor R = a 2 b og ɛ 2 = gradslikning: Tredjegradslikningen x 3 + 3px + 2q = 0 har løsning x = ω(r) 1 ω 2 p q + q 2 + p 3(R)2 hvor R = q + q 2 + p 3 og ω 3 = gradslikning: Fjerdegradslikningen x 4 = px 2 + qx + r løses ved å kombinere løsningene av 2. og 3. grads likningene.

9 Abels bevis: (I) -1. Antar at alle likninger kan løses, legger opp til et reductio ad absurdum-bevis: vår antakelse skal føre til en motsigelse. 0. Antar at alle likninger kan løses ved en algebraisk formel, også likningen P (y) = y 5 ay 4 + by 3 cy 2 + dy e = 0

10 Abels bevis: (II) 1. Algebraiske forpostfektninger, kan skrive løsningene som y = p + Rm 1 + p 2 Rm p m 1 R m 1 m hvor p, p j og R er på samme form som y, og de tilsvarende uttrykkene i disse igjen er på samme form osv. Til slutt ender vi opp med at uttrykkene er rasjonale funksjoner i koeffisientene til den opprinnelige likningen. I tillegg er alle funksjonene rasjonale funksjoner i røttene til den opprinnelige likningen og den siste R-en er en symmetrisk funksjon i røttene.

11 Abels bevis: (III) 2. Viser at m Ser på R, som er en symmetrisk funksjon i de fem røttene, det betyr at R 1 m tar m verdier. Cauchys teorem gir at m = 5, m = 2 eller m = Viser at m = 5 og m = 1 er umulig, dvs. m = 2. Tvinges dermed til å studere funksjoner på formen (p + p 1 S 1 2) 1 m hvor Cauchys teorem etter noen omveier gir oss at m = 5.

12 Abels bevis: (IV) 4. Et generelt argument gir oss likheten (p+p 1 S 1 2) 1 5 = 1 5 (y 1+α 4 y 2 +α 3 y 3 +α 2 y 4 +αy 5 ) hvor permutasjoner av røttene gir oss 10 verdier på venstre side og 120 verdier på høyre side, en motsigelse. QED.

13 Bemerkning 1. Hvorfor går dette bra for 3.grads likningen? I det tilfellet har vi p = 3 som er unntakstilfellet i Cauchys teorem, dvs. i resonnementet over ville vi fått likheten (p + p 1 S 1 2) 1 3 = 1 3 (y 1 + α 2 y 2 + αy 3 ) hvor begge sider gir 6 verdier når vi permuterer røttene.

14 Bemerkning 2. Forbindelse med Galois-teori. Venstresiden i den avgjørende likheten sier at algebraisk løsbarhet er ekvivalent med oppløsbar Galois-gruppe med sykliske kvosienter, i dette tilfellet av orden 10. Høyresiden sier at Galoisgruppa til en generell 5. gradslikning er hele symmetrigruppa og Cauchys teorem sier at denne gruppa ikke er oppløsbar fordi A 5 er simpel og ikke-abelsk. Dette er faktisk opphavet til begrepet abelsk gruppe, det er nettopp Galois-gruppene med abelske kvosienter som svarer til likninger som er algebraisk løsbare.

15 Referanse: Peter Pesic: Abels bevis, å løse det uløselige. Athene forlag, 2005

Like dokumenter

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.