Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Transkript

1 Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut L I beviset for denne proposisjonen, måtte vi være ganske kreativ for å regne ut L 3 23 L5 23. Korollar Korollar gir oss muligheten til å unngå dette helt, som følger. (1) (mod 23), L = L (2) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 3 23 L (3) 23 3 (mod 4) 3 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 23 = L (mod 3), L 23 3 = L2 3. Det følger fra Korollar at L2 3 = 1. Dermed er L 3 23 = L 23 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. (4) følger det fra Korollar at 5 1 (mod 4), L 5 23 = L (mod 5), L 23 5 = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 5 = L (mod 3), 1

2 L 5 3 = L2 3. Det følger fra Korollar at L2 3 = 1. Dermed er L 5 23 = L 23 5 = L 3 5 = L 5 3 = L 2 3 = 1. Det følger fra (1) (4) at L = L = L 3 23 L 5 23 = 1 ( 1) = 1. Således er 84 ikke en kvadratisk rest modulo 23. Merknad Metoden nevnt i Merknad for å regne ut L a p, for et hvilket som helst heltall a et hvilket som helst primtall p slik at p > 2, kan nå gjøres fullkommen. (1) Finn først et heltall r slik at a r (mod p) r < p. Da fastslår Proposisjon at L a p = L r p. (2) Dersom r = 1, er L a p = 1. Finn ellers en primtallsfaktorisering p 1 p t til r. Da fastslår Proposisjon at L r p = L p 1 p... L pt p. (2) Regn ut hvert av Legendresymbolene L p 1 p, L p 2 p,..., L pt p. (3) For å regne ut L p i p, hvor i t, benytt Korollar om p i = 2. Benytt ellers Korollar for å få enten at L p i p = L p p i eller L p i p = L p p i. (4) Gjennomfør Steg (1) Steg (4) for å regne ut L p p i. Merknad Vær forsiktig: Korollar kan benyttes kun når vi ønsker å regne ut L q p, hvor både p q er primtall. Hvis vi trenger å regne ut L n p, hvor n ikke er et primtall, må vi finne en primtallsfaktorisering til n benytt da Proposisjon Dette kan lett glemmes hvis vi har jobbet med en rekke primtall i løpet av et bevis, men et heltall som ikke er et primtall dukker plutselig opp, som kan godt hende! Eksempel La oss se igjen på Proposisjon 5.6.3, hvor vi regnet ut L (1) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 4 59 L (2) Ut ifra Proposisjon er L 4 59 = 1. 2

3 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (3) 59 3 (mod 4) 7 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 59 = L (mod 7), L 59 7 = L (mod 4) 3 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 7 = L (mod 3), L 7 3 = L1 7. Ut ifra Proposisjon er L1 7 = 1. Dermed er Det følger fra (1) (3) at L 7 59 = L 59 7 = L 3 7 = ( L 7 3) = ( L 1 3) = ( 1) = 1. Således er 28 en kvadratisk rest modulo 59. L = L 4 59 L 7 59 = 1 1 = 1. Merknad Metoden er svært effektiv til med om vi jobber med ganske store heltall, som følgende proposisjoner viser. Proposisjon Heltallet 2457 er ikke en kvadratisk rest modulo Bevis. Vi har: 3491 er et primtall. Vi gjør følgende observasjoner. (1) En primtallsfaktorisering til 2457 er: Ut ifra Proposisjon er da (2) Ut ifra Proposisjon er L = L = L L L L

4 (3) Vi har: (mod 4) 3 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 3), L = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er (4) Vi har: L = L = L 2 3 = ( 1) = (mod 4) 7 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 7), L = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 5 7 = L (mod 5), L 7 5 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 5 = 1. Dermed er L = L = L 5 7 = L 7 5 = L 2 5 = ( 1) = 1. 4

5 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (5) Vi har: (mod 4) 13 1 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 13), L = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 13 = L (mod 7), L 13 7 = L 6 7. Legendresymbolet L 6 7 kan regnes ut på flere måter: vi kan for eksempel benytte primtallsfaktoriseringen 2 3 til 6, regne ut deretter L 2 7 L3 7. Fortest er å observere istedenfor at 6 1 (mod 7). Ut fra Proposisjon er da L 6 7 ( 1) = ( 1) 3 = 1. Dermed er Det følger fra (1) (5) at = L 1 7. Ut ifra Proposisjon er L 1 7 = L = L = L 7 13 = L 13 7 = L 1 7 = 1. L = L L L L = ( 1) = 1. Således er 2457 ikke en kvadratisk rest modulo Proposisjon Heltallet 1003 er en kvadratisk rest modulo Bevis. Vi har: 1549 er et primtall. Vi gjør følgende observasjoner. (1) En primtallsfaktorisering til 1003 er: Ut ifra Proposisjon er da L = L ( 1) = L L L

6 (2) Ut ifra Proposisjon er L = ( 1) 2 = ( 1) 774 = 1. (3) Vi har: (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 17), L = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 17 = 1. Dermed er (4) L = L = L 2 17 = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 59), L = L Ut ifra Proposisjon er L = L = L3 59 L5 59. (5) Vi har: 3 3 (mod 4) 59 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L 3 59 = L (mod 3), L 59 3 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er L 3 59 = L 59 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. 6

7 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (6) Vi har: 5 1 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L 5 59 = L (mod 5), L 59 5 = L 4 5. Ut ifra Proposisjon er L 4 5 = L22 5 = 1. Dermed er L 5 59 = L 59 5 = L 4 5 = 1. Det følger fra (1) (6) at L = L L L = = 1. Således er 1003 en kvadratisk rest modulo Proposisjon Kongruensen 2x x (mod 63533) har to løsninger som ikke er kongruent til hverandre modulo 63533, slik at enhver annen løsning er kongruent modulo til én av disse to. Bevis. Heltallet er et primtall. Vi har: La oss regne ut L (1) Ut ifra Proposisjon er (2) = L = L = L L L (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 11), L = L

8 (3) Ut ifra Proposisjon er Ut ifra Proposisjon er L = 1. (4) følger det fra Korollar at (5) Det følger fra (2) (4) at (6) L 8 11 = L = L L (mod 8), L 2 11 = 1. L = L = L 8 11 = L L 2 11 = 1 ( 1) = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 23), L = L (7) 7 3 (mod 4) 23 4 (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 23 = L (mod 7), L 23 7 = L2 7. følger det fra Korollar at L 2 7 = 1. (8) Det følger fra (6) (7) at (9) 7 7 (mod 8), L = L = L 7 23 = L 23 7 = L 2 7 = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 29), L = L

9 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (10) 29 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 23), L = L6 23. (11) Ut ifra Proposisjon er (12) følger det fra Korollar at L 2 23 = 1. (13) L 6 23 = L = L 2 23 L (mod 8), 3 3 (mod 4) 23 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 23 = L (mod 3), L 23 3 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er (14) Det følger fra (9) (12) at Det følger fra (1), (8), (14) at L 3 23 = L 23 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. L = L = L = L = L 6 23 = L 2 23 L 3 23 = 1 1 = 1. L = L L L = ( 1) ( 1) 1 = 1. Således er 7337 en kvadratisk rest modulo Ut ifra Korollar , konkluderer vi at kongruensen 2x x (mod 63533) har to løsninger som ikke er kongruent til hverandre modulo 63533, slik at enhver annen løsning er kongruent modulo til én av disse to. 9

10 Proposisjon Kongruensen har ingen løsning. Bevis. Heltallet 6427 er et primtall. Vi har: La oss regne ut L (1) Ut ifra Proposisjon er 173x 2 27x 5 0 (mod 6427) ( 27) ( 5) = L = L = L L (2) 59 3 (mod 4) (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 59), L = L (3) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 5 59 L (4) følger det fra Korollar at 5 1 (mod 4), L 5 59 = L (mod 5), L 59 5 = L4 5. Ut ifra Proposisjon er L4 5 = L22 5 = 1. Dermed er L 5 59 = L 59 5 = L 4 5 = 1. 10

11 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (5) følger det fra Korollar at 11 3 (mod 4) 59 3 (mod 4), L = L (mod 11), L = L4 11. Ut ifra Proposisjon er L4 11 = L = 1. Dermed er L = L = L 4 11 = 1. (6) Det følger fra (2), (4), (5) at (7) L = L = L = L 5 59 L = 1 ( 1) = (mod 4) (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 71), L = L (8) 37 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 37), L = L (9) Ut ifra Proposisjon er (10) L = L = L 2 37 L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 37 = 1. 11

12 (11) 37 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 17), L = L3 17. (12) 17 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 17 = L (mod 3), L 17 3 = L2 3. følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. (13) Det følger fra (11) (12) at (14) Det følger fra (7) (10) (12) at 3 3 (mod 8), L = L = L 3 17 = L 17 3 = L 2 3 = 1. L = L = L = L = L = L 2 37 L = ( 1) ( 1) = 1. Det følger fra (6) (14) at L = L L = 1 ( 1) = 1. Således er 4189 ikke en kvadratisk rest modulo Ut ifra Korollar , konkluderer vi at kongruensen 173x 2 27x 5 0 (mod 6427) har ingen løsning modulo Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 Merknad Teorem , Korollar 5.9.2, Korollar er så svært viktige teoretiske verktøy. Flere proposisjoner som ligner på følgende kan for eksempel bevises. Proposisjon La n være et naturlig tall. Det finnes et primtall p slik at p > n p 7 (mod 8). 12

13 5.11 Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 Bevis. La q være produktet av alle de primtallene som er mindre enn eller like n, som er kongruent til 7 modulo 8. Ut ifra Teorem 4.3.3, finnes det et naturlig tall t primtall p 1,..., p t slik at 8q 2 1 = p 1 p t. Vi gjør følgende observasjoner. (1) Anta at det finnes et naturlig tall i slik at i t p i = 2. Da er p 1 p t = (p 1 p i 1 p i+1 p t ) 2, altså har vi: Da er (2) Det følger fra (1) at Imidlertid er 2 p 1 p t. p 1 p t 0 (mod 2). 8q (mod 2). 8q (mod 2). Ut ifra Proposisjon , kan det ikke være sant at både 8q (mod 2) 8q (mod 2). antakelsen at p i = 2 fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at det ikke er sant at p i = 2. Derfor er p i > 2 for alle de naturlige tallene i slik at i t. (3) La i være et naturlig tall slik at i t. Vi har (4q) 2 2 = 2 ( 8q 2 1 ) = 2p 1 p t = (2p 1 p i 1 p i+1 p t ) p i. Dermed har vi: p i (4q) 2 2. Derfor er (4q) (mod p i ), altså er (4q) 2 2 (mod p i ). Dermed er 2 en kvadratisk rest modulo p i, altså er L 2 p i = 1, for hvert naturlig tall i slik at i t. 13

14 (4) For hvert naturlig tall i slik at i t, følger det fra (3) Korollar at enten p i 1 (mod 8) eller altså enten eller p i 7 (mod 8), p i 1 (mod 8) p i 1 (mod 8). (5) Anta at p i 1 (mod 8) for alle de naturlige tallene i slik at i t. Da er altså er Imidlertid er p 1 p t 1 (mod 8), 8q (mod 8). 8q (mod 8). Ut ifra Proposisjon , kan det ikke være sant at både antakelsen at 8q (mod 8) 8q (mod 8). p i 1 (mod 8) for alle de naturlige tallene i slik at i t fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at det finnes et naturlig tall i slik at i t p i 1 (mod 8), altså p i 7 (mod 8). (6) Anta at p i n. Ut ifra definisjonen til q, har vi da: p i q. Ut ifra Korollar følger det at p i q 8q, altså p i 8q 2. 14

15 5.11 Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 (7) 8q 2 1 = p 1 p t, har vi: p i 8q 2 1. Ut ifra Korollar har vi da: p i ( 8q 2 1 ). (8) Det følger fra (6), (7), Proposisjon at p i 8q 2 ( 8q 2 1 ), altså at p i 1. (9) Det kan ikke være sant at både p i 1 p i > 2. antakelsen at p i n fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at p i > n. Merknad Med andre ord fastslår Proposisjon at det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8. Eksempel La oss gå gjennom beviset for Proposisjon når n = 32. Det finnes tre primtall som er mindre enn eller likt 32 som er kongruent til 7 modulo 8, nemlig 7, 23, 31. La q være produktet av disse primtallene, altså q = Da er 8q 2 1 likt Beviset for Proposisjon fastslår at ett av primtallene i en primtallsfaktorisering av 8q 2 1, altså av , er større enn 32. Vi har: = , både er primtall. Det er riktignok sant at > 32. Merknad Vi har nå sett flere eksempler på proposisjoner som ligner på Proposisjon : Teorem 4.4.2, Proposisjon 4.4.9, Oppgave??, Proposisjon Utgangspunktet for bevisene for alle disse proposisjonene er beviset for Teorem Vi har benyttet stadig dypere resultater for å gjennomføre et lignende argument i de andre tilfellene. Faktisk finnes det uendelig mange primtall som er kongruent til r modulo m for hvilke som helst naturlige tall m r slik at sfd(m, r) = 1. Dette kalles Dirichlets teorem, er et dypt resultat. En ny tilnærmingsmetode behøves for å gi et bevis for Dirichlets teorem, det vil si et bevis som virker for alle de mulige tilfellene samtidig. Ett av bevisene benytter teorien for L-funksjoner i analytisk tallteori. Det finnes både algebraiske analytiske varianter av L-funksjoner, teorien for dem er ett av de viktigste temaene innen dagens forskning i tallteori. 15

16

17 Oppgaver O5.1 Oppgaver i eksamens stil Merknad. Benytt kvadratisk gjensidighet i løpet av svarene dine på Oppgave 9 Oppgave 10. Oppgave O Heltallet er et primtall. Er en kvadratisk rest modulo 17827? Oppgave O Hvor mange løsninger (slik at ingen par av disse er kongruent til hverandre) har kongruensen 81x 2 44x 2 0 (mod 3461)? Oppgave O (Valgfritt, men anbefalt). Løs Oppgave 2-4 i Øving 9 ved å benytte kvadratisk gjensidighet. Oppgave O (Valgfritt, men anbefalt). Gjør følgende. (1) La p være et primtall slik at p > 2. Bevis at L 2 p eller at L 2 p = 1 ellers. p 1 (mod 8) p 3 (mod 8), = 1 dersom enten (2) La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p > n p 3 (mod 8). Med andre ord, bevis at det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 3 modulo 8. Tips: La q være produktet av alle de primtallene mindre enn eller like n som er kongruent til 3 modulo 8, benytt en primtallsfaktorisering til q Benytt så (1). 17