Abelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Wiles. Årets Abel-pris Robert Langlands
|
|
- Nora Hjelle
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Årets Abel-pris Robert Langlands
2 L for Langlands L-funksjoner
3 L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner
4 L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L-funksjoner er spesielle funksjoner av typen L(s) = a n /n s n=0
5 Tallteori Mye tåke, noen vakre men utilgjengelige topper. Møter L-funksjoner på vei til topps
6 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1
7 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1 Euler-produkt ζ(s) = p 1 (1 p s ) = (1 1/2s ) 1 (1 1/3 s ) 1...
8 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1 Euler-produkt ζ(s) = p 1 (1 p s ) = (1 1/2s ) 1 (1 1/3 s ) 1... Analytisk forlengelse til hele det komplekse tallplanet C, men med en enkel pol i s = 1
9 Alle L-funksjoners mor
10 Alle L-funksjoners mor Reell faktor og funksjonalligning: ξ(s) = π s Γ(s/2)ζ(s) ξ(1 s) = ξ(s)
11 Gamma-funksjonen Γ(s + 1) = sγ(s) Γ(1) = 1
12 Et sidesprang: Harald Bohr To mål mot Frankrike i semifinalen i London-OL 1908 Bohr-Landau teoremet og Bohr-Mollerup teoremet
13 To tinder Langlands under verdenskongressen i Helsinki 1978: There are two kinds of L-functions, and they will be described below: motivic L-functions which generalize the Artin L-functions and are defined purely arithmetically, and automorphic L-functions, defined by data which are largely transcendental.
14 To tinder Langlands under verdenskongressen i Helsinki 1978: There are two kinds of L-functions, and they will be described below: motivic L-functions which generalize the Artin L-functions and are defined purely arithmetically, and automorphic L-functions, defined by data which are largely transcendental.
15 To tinder Langlands under verdenskongressen i Helsinki 1978: There are two kinds of L-functions, and they will be described below: motivic L-functions which generalize the Artin L-functions and are defined purely arithmetically, and automorphic L-functions, defined by data which are largely transcendental.
16 To tinder Langlands under verdenskongressen i Helsinki 1978: There are two kinds of L-functions, and they will be described below: motivic L-functions which generalize the Artin L-functions and are defined purely arithmetically, and automorphic L-functions, defined by data which are largely transcendental.
17 To tinder
18 To tinder Automorfe representasjoner Galois representasjoner Knyttet til Fourier-analyse Knyttet til virkninger av Galois-grupper
19 To tinder Automorfe representasjoner Galois representasjoner Knyttet til Fourier-analyse Knyttet til virkninger av Galois-grupper Med samme L-funksjon!!
20 På kjempers skuldre Langlands program er en kjempemessige veibeskrivelse for tallteoriens utvikling en naturlig fortsettelse av en lang og kjempemessige historie.
21 André Weil André Weil og Atle Selberg i Oberwohlfach
22 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro.
23 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro. x = (x i 3)(x + i 3) G har to elementer, identiteten og kompleks konjugasjon.
24 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro. x = (x i 3)(x + i 3) G har to elementer, identiteten og kompleks konjugasjon. x 3 +x+a = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) for a Z generell vil G bestå av alle permutasjoner av de tre røttene.
25 Fronbenius-elementer For hvert primtall p finnes et Frobenius-element σ p i Galois-gruppen. Det styrer faktoriseringsegenskapene til f (x) modulo p. Ferdinand Georg Frobenius
26 Fronbenius-elementer Enten har x to røtter mod p; ie. to løsninger av kongruensen x polynomet splitter fullstendig. Modulo 7 splitter det fullstendig x mod 7 0 ±1 ±2 ±3 x 2 mod Frobenius element: σ 7 (x) = x
27 Fronbenius-elementer Enten har x to røtter mod p; ie. to løsninger av kongruensen x polynomet splitter fullstendig. Modulo 7 splitter det fullstendig x mod 7 0 ±1 ±2 ±3 x 2 mod Frobenius element: σ 7 (x) = x Eller det har ingen røtter polynomet forblir irredusibelt Modulo 5 har det ingen rot x mod 5 0 ±1 ±2 x 2 mod Frobenius-elementet: σ 5 (x) = x
28 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15
29 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene
30 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene Modulo 3: x 3 + x + 15 x 3 + x = x(x 2 + 1) mod 3 En rot, Frobenius elementet σ 3 er en ombytting av de to andre komplekse røttene
31 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene Modulo 3: x 3 + x + 15 x 3 + x = x(x 2 + 1) mod 3 En rot, Frobenius elementet σ 3 er en ombytting av de to andre komplekse røttene Modulo 5: x 3 + x + 15 x 3 + x x(x 2)(x + 2) mod 5 Tre røtter, σ 5 er identiteten
32 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Emil Artin
33 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Det karakteristiske polynomet til ρ(σ p ) med en liten forandring Emil Artin det(i ρ(σ p )p s )
34 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Det karakteristiske polynomet til ρ(σ p ) med en liten forandring Emil Artin det(i ρ(σ p )p s ) Artins L-funksjon (essensielt): L(s, ρ) = de fleste primtall p 1 det(i ρ(σ p )p s )
35 Artin s L-funksjoner Theorem (Brauer) En Artin L-funksjon L(s, ρ) har en meromorf forlengelse. Med reelle og ramifikatoriske faktorer tilfredsstiller den en funksjonalligning. Hypotese (Artin): Om ρ er ikke-triviell, er L(s, ρ) analytisk (har ingen poler).
36 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger.
37 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger. L(s, χ) = n χ(n)n s der χ er en Dirichlet-karakter
38 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger. L(s, χ) = n χ(n)n s der χ er en Dirichlet-karakter Theorem Gitt to relativt primiske hele tall a og q. Da finnes det uendelig mange primtall som er kongruent a modulo q. (Det vil si primtall på formen p = a + kn for et heltall k.)
39 Artin resiprositet Theorem Om G er abelsk og ρ er en karakter, så finnes en Dirichletkarakter slik at ρ(σ p ) = χ(p).
40 Berømt eksempel: Elliptiske kurver
41 Berømt eksempel: Elliptiske kurver
42 Berømt eksempel: Elliptiske kurver
43 Berømt eksempel: Elliptiske kurver Kubiske kurver y 2 = x 3 + ax + b med a og b hele tall.
44 Berømt eksempel: Elliptiske kurver Kubiske kurver y 2 = x 3 + ax + b med a og b hele tall. De er grupper toruser S 1 S 1
45 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p
46 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p.
47 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p. L-funksjonen til en elliptisk kurve: L(X, s) = p 1 1 a p p s + p 1 2s
48 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p. L-funksjonen til en elliptisk kurve: L(X, s) = p 1 1 a p p s + p 1 2s En Artin-L-funksjon: Tate-modul som Frobenius-elementet virker på. T q (E) = { x E q n x = 0 for en n }
49 Modulære former
50 Modulære former Gruppen GL(2, R) av 2 2-matriser med reelle koeffisienter ( ) a b GL(2, R) = { a, b, c, d R } c d virker på det øvre halvplanet z > 0 ved g(z) = az + b cz + d
51 Modulære former Gruppen GL(2, R) av 2 2-matriser med reelle koeffisienter ( ) a b GL(2, R) = { a, b, c, d R } c d virker på det øvre halvplanet z > 0 ved g(z) = az + b cz + d De med heltallskoeffisienter danner den modulære gruppen: ( ) a b SL(2, Z) = { a, b, c, d Z, ad bc = 1 } c d
52 Modulære former
53 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d
54 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d Eller fra en passende undergruppe Γ av SL(2, Z)
55 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d Eller fra en passende undergruppe Γ av SL(2, Z) Eksempel Γ(N) der elementene har øvre høyre hjørne b 0 mod N
56 Modulære former Fourier rekker Om f er modulær, vil f være periodisk: f (z) = f (z + N) (Bruk a = d = 1 og b = N, c = 0). Og den har en Fourier-rekke a n e 2πiz/N = a n q n n 0 n 0 Sjargongen vil at q = e 2πiz/N.
57 Modulære former L-funksjoner Fourier-koeffisienten brukes til å lage en L-funksjon L(s, f ) = n 0 a n n s At L(s, f ) har en funksjonal-ligning er ekvivalent med at f er en modulæt form.
58 Abelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Andrew Wiles Theorem Om E er en elliptiske kurve over Q (++++) finnes en modulær form f (++++) slik at L(f, s) = L(E, s) Andrew Wiles Wiles
59 Langlands Hypotese (Resiprositet): Til hver Galois representasjon korresponderer det en automorf representasjon med samme L-funksjon. Hypotese (Funktorialitet): Til hver homomorfi L G(C) L G (C) og hver automorfe G-representasjon korresponderer det en automorf G -representasjon med samme L-funksjon.
60 The end Det var det takk for meg!
Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats
Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats John Rognes Universitetet i Oslo Hamar, 15. september 2016 Andrew Wiles Det Norske Videnskaps-Akademi har besluttet å tildele Abelprisen for
DetaljerEksamensoppgave i TMA4150 Algebra
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerForelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
DetaljerObligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011
Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerCauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen
Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo Cauchys sats (Journal de L école polytechnique,
DetaljerRIEMANN-HYPOTESEN. John Rognes. 3. mai n s = p. 1 1 p s ) 1
RIEMANN-HYPOTESEN John Rognes 3. mai 2002 1. Riemann von Mangold formelen For komplekse tall s med realdel R(s) > 1, la ζ(s) = 1 n s = p n=1 ( 1 1 p s ) 1. Her løper produktet over alle primtall p. Euler
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte
DetaljerFERMATS SISTE TEOREM. John Rognes. Desember 1994
FERMATS SISTE TEOREM John Rognes Desember 1994 er 1. Den pythagoreiske læresetning La ABC være en rettvinklet trekant, med kateter a og b, og hypotenus c. Da (1) a 2 +b 2 = c 2 i følge den pythagoreiske
DetaljerMAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
DetaljerForslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5
Forslag til løsninger, TMA4150 Algebra, 29. mai 2018 Side 1 av 5 Oppgave 1 isomorfi, nemlig 24 = 2 3 3, så det finnes tre abelske grupper av orden 24 opp til Z 2 Z 2 Z 2 Z 3 ; Z 2 Z 4 Z 3 ; Z 8 Z 3. O
DetaljerOblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerSyklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017
Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammet Matematikk, studieretning Matematikk,
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen
DetaljerUtvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010
Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerHvis vi har informasjon om geometrien, hva vet vi da om den underliggende algebraiske strukturen?
Den første Abel-prisen er tildelt Jean-Pierre Serre, en av vår tids store matematikere. Serre er professor emeritus ved Collège de France i Paris. Han har gitt dyptgående bidrag til matematikkens utvikling
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 005 Løsningsforslag Øving 5 a) Vi skal undersøke stabilitet
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerHva forskes det på i matematikk i Norge idag?
Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? En populærvitenskapelig oversikt Geir Ellingsrud UiO 18. september 2014 Advarsel! Størrelsesorden NFR evaluerte matematisk forskning i Norge i 2011 ved de
DetaljerNoen tallteoretiske resultater av Fermat
Noen tallteoretiske resultater av Fermat Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Pierre de Fermat (1601/1607-1665) Fermats lille teorem Fermats rettvinklede teorem Fermats siste teorem Cubum autem in duos
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerPrimtallsteoremet og zetafunksjonen
Primtallsteoremet og zetafunksjonen Henrik Sommer Lektorutdanning med master i realfag Innlevert: Mai 203 Hovedveileder: Lars Peter Lindqvist, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerØvingsforelesning 7. Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18. TMA4140 Diskret Matematikk
Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18 Øvingsforelesning 7 TMA4140 Diskret Matematikk 15. og 17. oktober 2018 Dagen i dag Generaliserte permutasjoner
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
DetaljerLF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
DetaljerLøysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
DetaljerEksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.
Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører
Detaljer3.1. Formodninger om primtall.
15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)
DetaljerNotat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er
Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerAbstract. i x + a x +. a = (a x, a y ) z γ + 1 γ + z )
Abstract R, Aharonov-Bohm Schrödinger Landau level Aharonov-Bohm Schrödinger 1 Aharonov-Bohm R Schrödinger ( ) ( ) 1 1 L a = i + a = i x + a x + ( ) 1 i y + a y (1). a = (a x, a y ) rot a = ( x a y y a
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerLøsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerKJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm
KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerFermats siste teorem. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo
Fermats siste teorem Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo 3 8.198.204.823 Teorem (Wiles, 1993-95) Likningen x n + y n = z n Sir Andrew Wiles (1954-) har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n >
DetaljerGeometri på ikke-kommutative algebraer
Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerHøyder på elliptiske kurver og faktorisering. Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002
Høyder på elliptiske kurver og faktorisering Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002 2 Lenstras faktoriseringsalgoritme Faktoriseringsproblemet: n = p α 1 1 pα K K skal faktoriseres. Lenstras
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerHVOR MANGE PRIMTALL FINNES DET? KTH 9. Februar 96
Resume, referenser og matematikere HVOR MANGE PRIMTALL FINNES DET? KTH 9. Februar 96 Resume, referenser og matematikere. Resume Til tross for at vi alle vet at det finnes uendelig mange primtall kan spørsmålet
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerOppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID
OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerTOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET. John Rognes. 8. mai 2003
TOPOLOGISK K-TEORI OG BOTT PERIODISITET John Rognes 8. mai 2003 0. Ikke-kommutative rom og bunter Ved Gelfand Naimark korrespondansen svarer det et kompakt Hausdorff rom X til enhver kommutativ C -algebra
DetaljerOversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
DetaljerLøsningsforslag øving 4
TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u 5 2 0.
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Syvert P. Nørsett 7 59 5 45 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF545 NUMERISK LØSNING
DetaljerAtle Selberg On the zeros of the Zeta-function of Riemann DKNVS Forhandlinger
Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter (Kgl. Norske Vidensk. Selsk. Skr. 2011 (4), 139-146) Atle Selberg On the zeros of the Zeta-function of Riemann DKNVS Forhandlinger 1942 1 Nils A. Baas
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerLitt om diofantiske likninger
1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerEt noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans
Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerLøsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018
Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk Oppgave 1. ( 9 3 ) = 9 8 7 3 2 1 = 3 4 7 = 84 Høsten 2018 {1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, { 2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerLøsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017
Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller
DetaljerForelesningsplan M 117
Forelesningsplan M 117 Innledning Kan du gi et eksempel på et fenomen eller en prosess som er lineær? Har du eksempel på ikke-lineære fenomen? Hva er henholdsvis en ordinær (ODL) og en partiell differensialligning
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
DetaljerMasteroppgave Galois-teori
Masteroppgave Galois-teori Anders Fjogstad Universitetet i Stavanger 2011 Anders Fjogstad, Universitetet i Stavanger, 2011, Side 1 Sammendrag Problemstillingen for denne oppgaven er å sette seg inn i Galoisteorien
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
DetaljerEn gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017
En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn som en del av programspesialiseringen Matematikk under Lektorprogrammet
DetaljerMA2201/TMA4150 Vår 2018
MA2201/TMA4150 Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Seksjon 14 34 La G = n < og la H G være eneste undergruppe av G av orden m.
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
Detaljer