Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
|
|
- Stine Rønning
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s 1 1 ps 2 gcd(a, b) =p min(t 1,s 1 ) 1 p min(t 2,s 2 ) 2 p min(t n,s n ) n 2 ps n n,så For eksempel, ut fra 42 = og 27 = 3 3 = for vi at gcd(42, 27) = 2 min(1,0) 3 min(1,3) 7 min(1,0) = =3 Teorem 9 For alle ikke negative heltall a og alle positive heltall b gcd (a, b) =gcd(b, gcd (b, a mod b)) 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 20 Bevis: Vi skal vise at gcd(a, b) oggcd(b, a mod b) deler hverandre og derfor, i følge teoremet, må de være like(siden de begge er ikke negative). Førstskalviviseatgcd(a, b) gcd(b, a mod b). Hvis d =gcd(a, b), så harvid a og d b. Mena mod b = a ba/bc b. Derfor må d (a mod b). Altså er d gcd(b, a mod b), d.v.s., gcd(a, b) gcd(b, a mod b) Nå skalviviseatgcd(b, a mod b) gcd(a, b). La d =gcd(b, a mod b). Da må d b og d (a mod b). Siden a = ba/bc b + (a mod b), så era en lineær kombinasjon av b og a mod b. Derford a. Siden d a og d b, såfår vi at d gcd(a, b) eller gcd(b, a mod b) gcd(a, b) 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 21
2 Nå kan vi presentere en algoritme som ble beskrevet i Elementer av Euklid (ca. 300b.c.). Dette er en rekursiv algoritme som baseres direkte på det forrige teoremet. Vi regner at input a og b ikke er negative heltall. Dette er nok siden gcd(a, b) =gcd( a, b ). euclid(a, b) : if b == 0 then return a else return euclid(b,a mod b) 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 22 Eksempel 4 Vi skal kjøre euclid algoritmen for å finne gcd(42, 27). gcd(42, 27) = euclid(42, 27) = euclid(27, 42 mod 27) = euclid(27, 15) = euclid(15, 27 mod 15) = euclid(15, 12) = euclid(12, 15 mod 12) = euclid(12, 3) = euclid(3, 12 mod 3) = euclid(3, 0) = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 23
3 Utvidet Nå skal vi utvide slik at vi også skalfinne x og y slik at d =gcd(a, b) =ax + by. Algoritmen utvidet-euclid tar vilkårlige hele tall a og b, og leverer resultat iformen(d, x, y). utvidet-euclid(a, b) if b =0 then return (a, 1, 0) d 0,x 0,y 0 utvidet-euclid(b, a mod b) (d, x, y) (d 0,y 0,x 0 ba/bc y 0 ) return (d, x, y) 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 24 Forklaring til Utvidet Hvis b =0,så leverer algoritmen d = a, x =1ogy = 0. Dette er riktig svar fordi d =gcd(a, 0) = a og d = a 1+b 0. Hvis b 6= 0,så beregner algoritmen d 0 =gcd(b, a mod b). Derfor er d 0 = bx 0 +(a mod b)y 0. Av samme grunn som i forrige algoritme er d =gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) =d 0.Derforerd = d 0 = bx 0 +(a mod d)y 0 = bx 0 +(a ba/bc b)y 0 = ay 0 + bx 0 ba/bc by 0 = ay {z} 0 + b(x 0 ba/bc y 0 ). {z } x y Det betyr at dersom d =gcd(a, b) =ax + by, skalvivelgex = y 0 og y = x 0 ba/bc y september 2005 c Vladimir Oleshchuk 25
4 Eksempel 5 Vi skal kjøre utvidet-euclid algoritmen for å finne gcd(42, 27). utvidet-euclid(42, 27) a b ba/bc d x y Derfor gcd(42, 27)=3= ( 3). 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 26 Definition 2 Anta at a og b er heltall og n er et positiv heltall. Da skriver vi a b (mod n) hvis n (a b) sier at a kongruent b modulo n. Anta at a og b er slike at a = q 1 n+r 1 og b = q 2 n+r 2,hvor0 r 1 n 1 og 0 r 2 n 1. Da a b =(q 1 n + r 1 ) (q 2 n + r 2 )=n(q 1 q 2 ) (r 1 r 2 ) Derfor n (a b) hvis og bare hvis r 1 r 2 = 0. Eller a b (mod n) r 1 = r 2 Det betyr at a = b + kn for noen k Z. Vi kan finne ut at 21 1(mod5), 21 3(mod6), 21 0(mod7). 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 27
5 Vi definerer følgende delmengder av Z: [0] = {..., 2n, n, 0,n,2n,...} = {0+nk k Z} [1] = {..., 2n +1, n +1, 1,n+1, 2n +1,...} = {1+nk k Z} [2] = {..., 2n +2, n +2, 2,n+2, 2n +2,...} = {2+nk k Z}... [n 1] = {..., n 1), 1,n 1, 2n 1, 3n 1,...} = {(n 1) + nk k Z} Hver t Z kan bli presentert som t = qn + r, 0 r<n.derfor t [r] eller [t] =[r]. Vi betegner delmengde Z n = {[0], [1],...,[n 1]} Derfor,videreskalvipresentereZ n = {0, 1,...,n 1}. På mengdez n operasjoner + n og n kan defineres ved hjelp av tabeler. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 28 Følgende tabeller presenterer eksempler av operasjoner i Z Eksempel. Beregne (i Z 16 ) = mod 16 = 15. Derfor = 15 (i Z 16 ). 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 29
6 Operasjonsegenskaper Operasoner + n og n på Z n tilfredsstiller de fleste egenskaper som de har i vanlig aritmetikk: 1. Summering (addisjon) er lukket, i.e., for alle a, b Z n,a+ n b Z n 2. Summering er kommutativ, i.e., for alle a, b Z n,a+ n b = b + n a 3. Summering er assosiativ, i.e., for alle a, b, c Z n, (a + n b)+c = a + n (b + n c) 4. 0 er additiv identitet, i.e.,for hvert a Z n,a+ n 0=0+ n a = a 5. Invers til hvert a Z n relativt + er lik n a, i.e.,forhvert a Z n,a+ n (n a) =(n a)+ n a =0 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk Multiplikasjon er lukket, i.e. for alle a, b Z n,ab Z n 7. Multiplikasjon er kommutativ, i.e., for alle a, b Z n,a n b = b n a 8. Multiplikasjon er assosiativ, i.e., for alle a, b, c Z n, (a n b) n c = a n (b n c) 9. 1 er multiplikativ identitet, i.e., for hvert a Z n,a n 1=1 n a = a 10. Multiplikasjon distribueres over summering, i.e., for alle a, b, c Z n, (a + n b) n c = a n c + n b n c og a n (b + n c) n a = a n b + n a n c. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 31
7 Eksempel 1: VISA kort IBM har utviklet en metode for å kontrollere enkelte feil i identifikasjonstall. Det brukes, bl.a., i VISA kort. Metoden er følgende. Funksjonen σ : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} defineres på følgende måte: x σ (x) For hver sekvens av sifrere a 1 a 2...a n 1 tilsettes kontroll siffer a n slik at σ (a 1 )+a 2 + σ (a 3 ) σ (a n 1 )+a n 0(mod10), hvis n =2k, k Z + a 1 + σ (a 2 )+a σ (a n 1 )+a n 0(mod10), hvis n =2k +1,k Z september 2005 c Vladimir Oleshchuk 32 Eksempel 2: Norsk personnummer Det finnes metoder basert på samme ideen for å kontrollere to feil i identifikasjonstall. For eksempel, et norsk persjonnummer består av 11 sifrere a 1 a 2...a 10 a 11 hvor de siste siferne må være slik at følgende tilfredstilles: 3a 1 +7a 2 +6a 3 + a 4 +8a 5 +9a 6 +4a 7 +5a 8 +2a 9 + a 10 0(mod11) og 5a 1 +4a 2 +3a 3 +2a 4 +7a 5 +6a 6 +5a 7 +4a 8 +3a 9 +2a 10 +a 11 0(mod11) Med en slik metode er det mulig å kontrollere alle ankelt feil og nesten alle dobbelt feil. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 33
8 Endelige grupper En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det finnes et element e S slik at e a = a e = a for hvert a S 3. for alle a, b, c S, a (b c) =(a b) c 4. for hvert element a S finnes et entydig element b S slik at a b = b a = e Hvis, i tilleg, operasjon er kommutativ, dvs a b = b a, da kalles (S, ) kommutativ eller abelsk gruppe. Hvis (S, ) er en gruppe og S er en endelig mengde da kalles (S, ) en endelig gruppe. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 34 Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. Siden (Z n, + n ) er en gruppe, additiv invers alltid eksisterer, d.v.s., vi kan trekke fra elementer i Z n. For eksempel, (a b)modn =(a +( b)) mod n =(a +(n b)) mod n. Vi beregner (11 18) mod 31 som (11 + ( 18)) mod 31 = (11 + (31 18)) mod 31 = ( ) mod 31 = 24 mod 31 På den andre siden kunne vi også haberegnet (11 18) mod 31 = ( 7) mod 31 = (31 7) mod 31 = 24 mod september 2005 c Vladimir Oleshchuk 35
9 Eksempel: ikke gruppe La oss se på (Z n, n) når n =7. Fra tabellen som presenterer (Z 7, 7) kan vi se at 0 ikke har noe invers element siden 0 7 a = a 7 0=06= Derfor kan vi konkludere at (Z 7, 7) ikkeergruppe september 2005 c Vladimir Oleshchuk 36 La oss betegne med Z n mengden av alle elementer fra Z n som er relativ primisk til n : Z n = {[a] n [a] n Z n og gcd (a, n) =1} Da er Z7 = {1, 2,...,6} og Z p = {1, 2,...,p 1} hvor p er et primtall. Andre eksempel er Z 12 = {1, 5, 7, 11}. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Systemet (Z n, ) kallesenmultiplikativ gruppe modulo n. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 37
10 Eksempel: multiplikativ gruppe Følgende tabell presenterer den multiplikativ gruppe ³ Z 12, september 2005 c Vladimir Oleshchuk 38 Euler s φ-funksjon Systemet (Z n, n) er en endelig gruppe. Antall elementer i (Z n, n) er lik antall tall i mengde {1, 2,...,n 1} som er innbyrdes primiske med n. Vi skal skrive Z n = φ (n), hvor φ (n) betegner antall positive helltall som er mindre enn n og som er relativt primiske med n. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 39
11 Eksempel: Euler s φ-funksjon Denne funksjonen kalles Euler s φ-funksjon og er definert for alle helltall n 1. Euler s φ-funksjon defineres for hvert helltall n 1 slik at φ (n) betegner antall positive helltall som er mindre enn n og som er relativt primiske med n. Laossberegneφ (n) forn =1, 2, 3,...,15: φ (1) = 1 φ (2) = 1 φ (3) = 2 φ (4) = 2 φ (5) = 4 φ (6) = 2 φ (7) = 6 φ (8) = 4 φ (9) = 6 φ (10) = 4 φ (11) = 10 φ (12) = 4 φ (13) = 12 φ (14) = 6 φ (15) = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 40 Eksempel: Shift Siffer Eksempel 6 Shift Siffer. La oss definere Shift Siffer over Z 26 (siden den engelske alfabetet har 26 bokstaver). Krypteringsfunksjonen skal være Dekrypteringsfunksjonen blir e K (x) =x + K mod 26,x Z 26 d K (y) =y K mod 26,y Z 26 Det er enkelt åseatd K (e K (x)) = x for hver x Z 26. For å kryptere engelsk tekst skal vi først definere en korespondanse mellom bokstaver og tall fra Z 26. For K=3 cypher kalles Ceasar Cypher og ble brukt av Julius Ceasar. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 41
12 For eksempel, kan være som følgende: A 0, B 1,...,Z 25. Dette er gitt i tabelen: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Hvis K =12svarerordetMATEMATIKKtil og den krypterte teksten med K =12blir som tilsvarer ordet YMFQYMFUWW. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 42 Eksempel: Affine Siffer Eksempel 7 Affine Siffer Vi definerer såkalt Affine Siffer over Z 26. Krypteringsfunksjonen blir e K (x) =(ax + b)mod26, a,b Z 26 og dekryptering betyr å finne x fra y ax + b (mod 26). Det betyr at vi bør kunne finne løsningen av en slik ligning eller ax y b (mod 26). Vi skal se at en slik løsning finnes hvis gcd (a, 26) = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 43
13 Teorem 12 Kongruens ax b (mod n) har en entydig løsningen for hver b Z n hvis og bare hvis gcd(a, n) =1. Definition 3 Anta at a Z n. Multiplikativ invers til a, betegnes med ³ a 1 mod n,ogeretelementa 1 Z n slik at aa 1 a 1 a 1(modn). For eksempel, 5 1 mod 13 = 8 fordi 5 8 1(mod13). Da kan vi definere divisjon i Z n som a/b a b 1 (mod n). 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 44 Beregning sv multiplikativ invers i Z n Eksempel 8 Hvordan kan vi fine multiplikativ invers? Hvis gcd(a, b) =1,så ax + by =1.Fra (ax + by)modb =1modb og (ax + by)modb = ax mod b + by mod b = ax mod b følger at ax mod b =1modb Derfor x = a 1. Vi kan finne slik x ved hjelp av utvidet-euclid. 21. september 2005 c Vladimir Oleshchuk 45
14 Oppgave 1 Beregn 28 1 mod 75. Ved hjelp av utvidet Euklides algoritmen skal vi finne x, y slike at gcd(28, 75) = 28x +75y =1. a b ba/bc d x y Vi har at gcd(28, 75) = 28 ( 8) =1. Derfor 28 1 mod 75 = 8mod75=(75 8) mod 75 = september 2005 c Vladimir Oleshchuk 46
Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerIntroduksjon i tallteotri med anvendelser
Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
Detaljerb) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
DetaljerLøysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerPrimtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.
Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Seksjon 4.1 6 Dersom a c og b d, betyr dette at det eksisterer heltall s og t slik at c
DetaljerDiskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
DetaljerOversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger
Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerNotat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er
Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerOblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen
DetaljerSøking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen
Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Indeksering av
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerEksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse
2004-10-25 Eksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse 1 Et blokkchiffer med blokklengde l og nøkkellengde s består av to funksjoner Ẽ (krypteringsfunksjonen) og D (dekrypteringsfunksjonen)
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
DetaljerModell: en binær symmetrisk kanal. binær: sendes kun 0 eller 1
Modell: en binær symmetrisk kanal binær: sendes kun eller 1 symmetrisk: sannsynlighet av transmisjonsfeil p er samme for som for 1 Teorem. La c Z n 2. Dersom en melding c overføres via en binær symmetrisk
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerTuringmaskiner.
Turingmaskiner http://www.youtube.com/watch?v=e3kelemwfhy http://www.youtube.com/watch?v=cyw2ewoo6c4 Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerIngen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519
Eksamen 2. desember 2014 Eksamenstid 4 timar IR201712 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1.......................................................................................
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerKOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.
KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1
Detaljer1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
DetaljerEt noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans
Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerForelesning 10 torsdag den 18. september
Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se
DetaljerIl UNIVERSITETET I AGDER
Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI
OFFENTLIG-NØKKELKRYPTOGRAFI S. O. SMALØ Abstract. I dette notatet, som skal inngå som pensum i etterog viderutdanningskurs i datasikkerhet, vil vi gi en kort innføring i oentlig-nøkkel-kryptogra med illustrasjoner
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerKommentarer til Eksamen IM005 - V02
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerProblemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X
Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerKJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm
KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerKLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerFASIT/LF FOR EKSAMEN TMA4140, H07
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 FASIT/LF FOR EKSAMEN TMA440, H07 Oppgave (0%) Benytt matematisk induksjon til å vise at for alle heltall n. n i i!
DetaljerINF 4130 / / Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger:
INF 4130 / 9135 29/8-2012 Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger: Tre stykker, som må godkjennes. Frister: 21. sept, 26. okt, 16. nov Andre, «nærliggende»
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerMAT1030 Forelesning 17
MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte
DetaljerFilbehandling Tekstfiler
1 Kunnskap for en bedre verden TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Python: Repetisjon tekstfiler rekursjon Terje Rydland - IDI/NTNU 2 Filbehandling Tekstfiler 3 Prosessen for filoperasjoner i Python
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
DetaljerINF1020 Algoritmer og datastrukturer
Dagens plan Hashing Hashtabeller Hash-funksjoner Kollisjonshåndtering Åpen hashing (kap. 5.3) Lukket hashing (kap. 5.4) Rehashing (kap. 5.5) Sortering ut fra en hashing-ide (side 66-68) Bøttesortering
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerKAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting
KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting Logikk er sentralt både i matematikk og programmering, og en innføring i de enkleste delene av logikken er hovedtema i dette kapitlet I tillegg ser vi litt
DetaljerIngen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = = 10 =
Eksamen. desember 205 Eksamenstid 4 timar IR2072 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve.......................................................................................
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},
DetaljerLØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en
DetaljerEmnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 016 Seksjon 5 4 a) Ved å observere at 18 4 + 7, 19 3 4 + 7, 0 4 5 og 1 3 7 så ser vi at P(18),
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTo nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner
To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Kontaktperson under eksamen: Steffen Viken Valvåg Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: INF-1100 Innføring i programmering og datamaskiners virkemåte Dato: Tirsdag 8. desember 2015 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Teorifagbygget, Hus 1 Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet
DetaljerOversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
DetaljerMAT1030 Forelesning 2
MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi
DetaljerEt ekstremt ufullstendig oppslagsverk for TMA4185 Kodeteori
Et ekstremt ufullstendig oppslagsverk for TMA4185 Kodeteori Ruben Spaans May 21, 2008 1 Pensum Pensumliste: ˆ Kapittel 1: Hele, unntatt 110 ˆ Kapittel 2: 21, 24 (singleton upper bound og MDS), 27 (Gilbert
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMer om representasjon av tall
Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder
DetaljerKryptogra og elliptiske kurver
Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerDirekte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).
Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerOppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3
Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01
DetaljerDette er altså et slags produkt av undermengder. Man sjekker lett at dette produktet har en assosiativitetsegenskap 1,nemlig:
Kvotientgrupper En helt sentral konstruksjon i gruppeteorien er dannelsen av kvotienten av en gruppe G med en normal undergruppe. I et spesialtilfelle har vi allerede gjort denne konstruksjonen, nemlig
DetaljerAlle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem.
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
DetaljerObligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011
Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.
Detaljer