Hva forskes det på i matematikk i Norge idag?

Transkript

1 Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? En populærvitenskapelig oversikt Geir Ellingsrud UiO 18. september 2014

2 Advarsel!

3 Størrelsesorden NFR evaluerte matematisk forskning i Norge i 2011 ved de matematiske instituttene ved universitetene: Stavanger Agder Oslo Bergen NTNU Tromsø UMB Høyskoler og institutter ikke med. Totalt er antallet i overkant av 300 Til sammenligning har AMS medlemmer

4 Kjerneområdene NFR evaluerte de tre områdene: Matematikk Ren & Anvendt Mekanikk Statistikk Men ikke: Didaktikk Fysiske miljøer Beregningsmiljøer etc. etc....

5 Matematikk et mangehodet troll Matematikk Algebra Logikk Kommutativ algebra Gruppeteori Ikkekommutative Galoisteori Geometri Topologi Differen- sialge- Algebraisk Analytisk geometri Symplektisk geometri Hyperbolsk geometri Analyse Reell analyse Kompleks analyse PDE Operatoralgebraer Funksjonalanalyse Harmonisk analyse Tallteori Analytisk tallteori Algebraisk tallteori Diofantiske ligninger p-adisk analyse Rasjonal approksimasjon

6 Anvendt matematikk Anvendt matematikk Teoretisk fysikk Matematikk Teoretisk matematikk Implementasjon Andre fag Partielle differensialligninger Beregninger Endelig-element-metoden IKT Anvendelse Mange sterke miljøer i Norge.

7 Ta din favorittligning: Maxwells ligninger som styrer elektromagnetisme: E = 0 B = 0 E = B t, B = 1 c 2 E t.

8 Schrödingers ligning: Eller kanskje ih t Ψ = ( h2 2µ 2 + V )Ψ Eller Yang-Mills ligning som er styrende for standardmodellen: µ F a µν + gf abc A µb F c µν = 0

9 Eller Navier-Stokes fra hydrodynamikken: v ρ + v v = p + T + f. t

10 Eller hvorfor ikke Darcy-Stokes? Simulerer strøm av spinal-væske µk 1 u p = f in Ω d u = g in Ω d u ν = 0 on Ω Ω d 2µ (ɛ(u)) p = f u = g u = 0 in Ω s in Ω s on Ω Ω s

11 Kompleks geometri Mange dimesjoner Mangfoldigheter! Endelig-element-metoden

12 Rullende kuler Konfigurasjonsrommet SO(3) SO(3) har ingen global parametrisering Behandles som en mangfoldighet Finite element exterior calculus

13 Et sammentreff i 1931 To meget berømte artikler Dirac om magnetiske monopoler og Hopf om Hopf-fibrasjonen. Gauge-teori og mangfoldigheter gjør sitt inntog.

14 Analyse Analyse Kompleks analyse Harmonisk analyse Operator algebraer Funksjonal analyse PDE Stokastisk analyse En variabel Flere Tallteori variable Tidfrekventensial Pluripo- analyse analyse Ikkekommutatimeka- Kvante- geometri nikk Dirichletrekker og tallteori

15 Dirichlet-rekker og Hardy-rom Analytiske funksjoner i enhetsdisken er fundamentale i matematikken De danner en serie Hardy-rom H p. ( sup 1 2π 0<r<1 2π 0 f ( re iθ) ) p 1 p dθ <.

16 Dirichlet-rekker og Hardy-rom Dirichletrekker er ekstremt viktige i tallteori. D(s) = n=1 a n n s Riemanns ζ-fuksjon: ζ(s) = n n s De konvergerer ikke i sirkler, men i halvplan: Rs > s 0. ( ) 1 sup f (σ + iτ) p p dτ 0<σ <

17 Itôs lemma: Black-Scholes ligning Stokastisk analyse dx t = µ t dt + σ t db t f t + σ2 S 2 2 f f + rs rf = 0. 2 S2 S

18 Algebra-algebraisk geometri Algebra/Geometri Projektiv geometri Enumerativ geometri Deformasjonsteori Kommutativ algebra Elliptiske kurver Ikkekommutativ teori spesielle varieteter modulrom Homologisk algebra tallteori Endelige algebraer potenssumvarieteter Symplektiske varieteter Calabi Yau kryptografi Homolgisk algebra

19 Representasjonsteori Endelig gruppe G. Hvordan kan den realiseres som matrisegruppe? Eksempel: G = {1, g} med g 2 = g = En algebra: {a + bg a, b R} med regneregel (a + bg)(c + dg) = ac + bd + (ad + bc)g.

20 Elliptiske kurver kryptografi Norsk kryptografis grand old man Tallteoretiker Personnummersystemet Selmer-kurver Selmer-grupper Selmer-senetert

21 Elliptiske kurver kryptografi En elliptiske kurve er kort og godt en tredjegradskurve Y 2 = X 3 + ax + b Eller f. eks Selmers kurve 3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0

22 Elliptiske kurver kryptografi I klassiske public key kryptosystemer, f. eks RSA-systemet brukes regning modulo store primtall. Elliptiske kurver gir andre og mer komplekse grupper.

23 En gjenganger En kubisk flate har nøyaktig 27 linjer

24 En Calabi-Yau mangfoldighet x x x x x 5 5 = , , , Studerer rommet av linjer, (eller av kjeglesnitt eller av kubiske kurver) på andre varieterer; f. eks. det geometriske stedet i C 4 der F (x, y, z, w) = 0 og F er et kubisk polynom.

25 Topologi Algebraisk topologi Algebraisk K -teori Elliptisk kohomologi Motivisk homotopiteori Brave new rings Kromatisk homotopy teori Algebraisk tallteori Rødskift

26 Algebraisk K -teori Aritmetikkens fundamentalsetning: n = p e 1 1 pe per r. Er ikke alltid gyldig. Svikter for tall av typen n + m 5; det vil si for ringen R = Z ( 5) 2 3 = (1 + 5)(1 5)! K -teoretikere uttrykker dette ved å si at K 0 (R) 0. De har mere på lur: K 0 (R),K 1 (R),..., K n (R),....

27 Slutt