Obligatorisk oppgave 2

Transkript

1 Universitetet i Oslo MAT0 Obligatorisk oppgave Skrevet av: Sindre Rannem Bilden 4. oktober 04

2 Først utleder vi hva U T U tilsier, siden U kan skrives kan også U T skrives på formen U = [ u u n ] U T = u T. u T n der u T j er den transponerte av u j for j =,,n Matriseproduktet U T gir derfor en rekke skalarprodukter ved u T v = u v u T. [ u T ] u u T u n u u u u n u u n =..... =..... u T n u T n u u T n u n u n u u n u n Vi ser her at vi har to betingelser for at U skal være en semidiagonal matrise: U T U må være diagonal, som tilsier at u i u j = 0 der j i. Ortogonale vektorer gir akkurat denne egenskapen. U T U må også kun bestå av positive elementer langs hoveddiagonalen. Matematisk blir dette u j u j > 0. Dette løses ved å sette betingelsen u j 0 for j =,,n Ved å se på betingelsene opp mot resultatet av matriseproduktet, faller det ut at u j må være ulik nullvektor og være ortogonal på u i der i j. Da alle vektorer u j må være ortogonale og ulik nullvektor er alle u j j =,,n disse også lineært uavhengige. Da følger det fra Invertibel Matrise Teoremet at U er invertibel. Vi definerer matrisen U = [ u u n] T der alle u j skrives på formen u j = u j u j u j, j =,,n. For å sjekke om U er den inverterte matrisen til U ser vi på matriseproduktet U U U U = u T. [ u T ] u u T u n u u u n =.... u u u n. =..... u T n u T n u u T n u n u n u u n u n

3 Setter først inn for tilfellet utenfor hoveddiagonalen, u j u i der j i u j u i = 0 = 0 u j u j u j u j Setter så inn for hoveddiagonalen, u j u i der j = i u j u j u j u j = u j u j u j u j = Vi ser at dette tilsvarer identitetsmatrisen I og U = U t = π 6 t = π t = 5π 6 cos(t ) cos(t ) sin(t ) sin(t ) sin(t ) C = cos(t ) cos(t ) S = sin(t ) sin(t ) sin(t ) cos(t ) cos(t ) sin(t ) sin(t ) sin(t ) Når man setter inn verdier for t j j =,, får man matrisene C = 0 S = 0 hvor begge kan radreduseres til identitetsmatrisen, som tilsier lineært uavhengige vektorer. Ser også at alle vektorer er ulik nullvektor, som vil si at matrisene er semiortogonale. Ved bruk av det generelle uttrykket for den inverse matrisen gitt i Oppg. får vi matrisene C = 0 S = 0

4 t = linspace(pi/6,5 pi/6,8) C = zeros (8,8); S = zeros (8,8); I = eye (8); for i = :8 6 for j = :8 C(i, j ) = cos (( j ) t( i )); S(i, j ) = sin ( j t( i )); C notnull = true ; S notnull = true ; for j =:8 C sum = 0; S sum = 0; 6 for i=:8 C sum = C sum + abs(c(i, j )); S sum = S sum + abs(s(i, j )); if C sum == 0 C notnull = false ; if S sum == 0 S notnull = false ; 6 if and(c notnull, rref (C) == I ) disp ( C har ortogonale vektorer ulik nullvektor ) disp ( og er derfor invertibel ) C inv = zeros (8,8); for j = :8 cj = C(:, j ); C inv (:, j)=c(:, j )./( transpose ( cj ) cj ); C inv = transpose (C inv) 6 if and(s notnull, rref (S) == I ) disp ( S har ortogonale vektorer ulik nullvektor ) disp ( og er derfor invertibel ) S inv = zeros (8,8); 4 for j = :8 sj = S(:, j ); S inv (:, j)=s(:, j )./( transpose ( sj ) sj ); S inv = transpose (S inv) 46 diary ObOp. txt

5 Programmet skriver ut dette resultatet: Oblig Oppg t = C har ortogonale vektorer ulik nullvektor og er derfor invertibel C inv = S har ortogonale vektorer ulik nullvektor og er derfor invertibel S inv =

6 4 C = {,cos(t),cos(t),,cos(7t)} Om C består av ortogonale funksjoner vil C være lineært uavhengige og en basis for W C. Ortogonalitet kan påvises ved definisjonen på ortogonalitet for funksjoner: f,g = Vi kan se på C som et sett cosinusfunksjoner: b Da kan ortogonalitet vises med uttrykket under: a f(t)g(t) = 0 C = {cos(0t),cos(t),cos(t),,cos(7t)} cos(it), cos(jt) = π cos(x) kan skrives som en kompleks eksponentialfunksjon cos(x) = eix +e ix 0 cos(it)cos(jt) = 0 Siden i kommer i konflikt med indekseringen døpes indeks i til k. Den nye skriveformen gir integralet π 0 ( eikt +e ikt )( eijt +e ijt ) = π ( eit(k+j) +e it(k j) +e it(j k) +e it( k j) ) 0 4 = [ ] e it(k+j) π 4 i(k +j) + eit(k j) i(k j) + eit(j k) i(j k) + eit( k j) i( k j) 0 = [ ] e it(k+j) π 4 i(k +j) e it(k+j) i(k +j) + eit(k j) i(k j) e it(k j) i(k j) 0 = [ e it(k+j) e it(k+j) + eit(k j) e it(k j) ] π 4 i(k +j) i(k j) 0 = [ e iπ(k+j) e iπ(k+j) + eiπ(k j) e iπ(k j) e0 e 0 4 i(k +j) i(k j) i(k +j) + e0 e 0 ] i(k j) = [ e iπ(k+j) e iπ(k+j) + eiπ(k j) e iπ(k j) ] 4 i(k +j) i(k j) 5

7 Ved eulers formel kan e ix skrives e ix = cos(x)+isin(x) e iπ(k+j) = cos(π(k +j))+isin(π(k +j)) e iπ(k+j) = cos( π(k +j))+isin( π(k+j)) og tilsvare for det andre leddet. Når dette settes inn i uttrykket fås: = +j)+isin(π(k +j) cos( π(k +j)) isin( π(k+j)) [cos(π(k 4 i(k +j) cos(π(k j)+isin(π(k j) cos( π(k j)) isin( π(k j)) + ] i(k j) Sinusfunskjonene vil alltid være lik 0 siden ±π(k±j) vil være et helt antall π. = [ ] cos(π(k +j) cos( π(k +j)) cos(π(k j) cos( π(k j)) + 4 i(k +j) i(k j) Videre kan man se at både cos(π(k +j og cos( π(k +j)) kan skrives som ( ) (k+j), tilsvare for (k j). Da kan utrykket forenkles til = [ ( ) (k+j) ( ) (k+j) + ( )(k j) ( ) (k j) ] = 0 4 i(k +j) i(k j) Dermed er det vist at C er ortogonal og derfor lineært uavhengig, siden C spenner ut W C er C en basis for W C. 5 Matrisen til T C, med hensyn på C og ε kan skrives: C TC = [[ T(C ) ] ε [T(C 8 ) ] ] ε C (t ) C 8 (t ) C TC =.. C (t 8 ) C ε 8 (t 8 ) ε cos(0t ) cos(7t ) C TC = = C. cos(0t 8 ). cos(7t 8 ) C er koordinatmatrisen til T C og siden C er inverterbar (Oppg. ) er T C en isomorfi. 6

8 6 Når vi har y = ( g(t ),,g(t 8 ) ) R 8 som definerer punktene g C må gå gjennom for å oppfylle kravet til en midtpunkinterpolasjon av g. g C (t ) = g(t ),,g C (t 8 ) = g(t 8 ) Med andre ord må T C (g C ) = ( g(t ),,g(t 8 ) ) T C (g C ) = T C (T C (y)) T C (T C (y)) = T C(T ( C g(t ),,g(t 8 ) ) T C (T C (y)) = ( g(t ),,g(t 8 ) ) T C (g C ) = ( g(t ),,g(t 8 ) ) Ser så om g C tilfredstiller [ g C] C = C y [ g C ] C = [ T C (y)] C ] [ T C (y)] C = [ T C C [ y ]ε = [ T C Fra Notat ser bruker vi at [ TC ]C = [ ] T C og vet fra Oppg. 5 at [ ] T C C = C C [ g C ] C = C y ] C y 7

9 7 For at V l og V o skal være underrom må tre kriterier være oppfylt. a) Nullvektoren 0 i V ligger i V l og V o. b) V l og V o er lukket under addisjon. c) V l og V o er lukket under multiplikasjon med skalar. I oppgaveteksten er a) oppfylt, i tillegg kan b) og c) vises lett: b) f( t) = f(t) g( t) = g(t) h( t) = f( t)+g( t) h(t) = f(t)+g(t) = f( t)+g( t) = h( t) h(t) = h( t) c) f( t) = f(t) c R h = cf h(t) = cf(t) = cf( t) = h( t) h(t) = h( t) Tilsvare kan vises for f( t) = f(t), dermed er V l og V o underrom for V. 8

10 [T(f)](t) = f( t) V l = {f V T(f) = f} f l = ( ) f +T(f) Om f l ligger i V l må kravet om f( t) = f(t) være oppfylt for alle t. f l ( t) = Tilsvare for f o. Legges f l og f o sammen fås ( ) ( ) f( t)+f( ( t)) = f(t)+f( t) = fl (t) f l (t)+f o (t) = ( ) ( ) f(t)+[t(f)](t) + f(t) [T(f)](t) = f(t)+[t(f)](t)+f(t) [T(f)](t) = f(t) = f(t) Vi sjekker om f ( 6) stemmer godt for cos(t) og t på F 9

11 8 t list = linspace(pi/6,5 pi /6,8); 4 f = inline ( ( pi.ˆ t.ˆ). exp(t./(. pi )), t ); f ell = 0.5 ( f ( t list)+f( t list )); f o = 0.5 ( f ( t list) f( t list )); y c = (C inv ( f ell ) ) ; 9 y s = (S inv ( f o ) ) ; f 6 y c()+y c () cos(t)+y c () cos( t)+y c (4) cos( t )+... y c (5) cos(4 t)+y c (6) cos (5 t)+y c (7) cos(6 t)+y c (8) cos(7 t )+... y s () sin ( t)+y s () sin ( t)+y s () sin ( t)+y s (4) sin (4 t ) y s (5) sin (5 t)+y s (6) sin (6 t)+y s (7) sin (7 t)+y s (8) sin (8 t) start = pi ; stop = pi ; dt = 0.ˆ( ); 9 n = (stop start )/dt ; t = linspace(start, stop,n); h = figure ; plot(t, f (t), r,t, f 6 (t ), b ) 4 saveas (h, oppg8 plot, eps )

12 9 t list = linspace(pi/6,5 pi /6,8); f = inline ( t. exp(t/ pi ), t ); f ell = 0.5 ( f ( t list)+f( t list )); 6 f o = 0.5 ( f ( t list) f( t list )); y c = (C inv ( f ell ) ) ; y s = (S inv ( f o ) ) ; f 6 y c()+y c () cos(t)+y c () cos( t)+y c (4) cos( t )+... y c (5) cos(4 t)+y c (6) cos (5 t)+y c (7) cos(6 t)+y c (8) cos(7 t )+... y s () sin ( t)+y s () sin ( t)+y s () sin ( t)+y s (4) sin (4 t )+... y s (5) sin (5 t)+y s (6) sin (6 t)+y s (7) sin (7 t)+y s (8) sin (8 t) 6 start = pi ; stop = pi ; dt = 0.ˆ( ); n = (stop start )/dt ; t = linspace(start, stop,n); h = figure ; plot(t, f (t), r,t, f 6 (t ), b ) saveas (h, oppg9 plot, eps )