Løsningsforslag: MAT 1110 Obligatorisk oppgave 2, V-12

Transkript

1 Løsningsforslag: MAT 0 Obligatorisk oppgave, V- Oppgave a Siden f har en annenderivert, må både funksjonen selv og dens deriverte være kontinuerlige, og det sikrer at vi i regningene nedenfor har 0 0 -uttrykk: fa + h fa + fa h lim L H f a + h f a h lim h 0 h h 0 h L H f a + h + f a h lim f a h 0 der vi i den siste overgangen har brukt at den annenderiverte er kontinuerlig. b Hvis vi erstatter x t og y t med henholdsvis xt+h xt+xt h yt+h yt+yt h h i og, og også erstatter likhetstegnet med for å markere den lille feilen vi gjør, får vi ligningene xt + h xt + xt h 8xt + 9yt h yt + h yt + yt h h 9xt 8yt + 7 Ganger vi med h og omgrupperer leddene, får vi med en feil som er liten sammenlignet med h xt + h xt xt h 8xth + 9yth yt + h yt yt h + 9xth 8yth + 7h Dette betyr at x og y nesten tilfredsstiller differensligningen i oppgaveteksten. Vi må også se på initialbetingelsene. At x0 og y0 tilsvarer åpenbart at X og Y. Bruker vi tilnærmingene x 0 xh x0 h y yh y0 0 h ser vi at xh x0 + h + h og yh y0 h h som stemmer godt med initialverdiene X + h og Y h til differensligningene. Løsningene x og y til systemet og er derfor nær ved å tilfredsstille både differensligningene og initialbetingelsene, og det er derfor naturlig å tro at løsningene X og Y til differensligningene er gode tilnærminger til x og y. c Programmet kan f.eks. se slik ut. h og

2 function[x,y] ObligN X[,+*0^-]; Y[,-0^-]; for n:n*0^ Xn+*Xn-Xn--8*Xn*0^-6+9*Yn*0^-6; Yn+*Yn-Yn--8*Yn*0^-6+9*Xn*0^-6+7*0^-6; end De to første linjene angir initialverdiene, mens løkken beregner resten av løsningene rekursivt. d Kjører vi kommandosekvensen [X,Y]Oblig0; plotx hold on ploty, r får vi figuren nedenfor med Y øverst i rødt og X i svart. Vi har allerede sett at løsningene av differensligningssystemet er gode tilnærmelser til løsningene av det opprinnelige systemet -, og siden skrittlengden er 0, passer antall iterasjoner med intervallet [0, 0]. Oppgave a Ligningen får vi ved å sette inn: x x t t 8xt + 9yt y t 9xt 8yt xt 0 + Axt + c 9 8 yt 7 og initialverdien følger direkte fra definisjonen av xt. b Dette er bare å gange ut: 8 9 Aa a

3 8 9 Ab b c En basis er en samling vektorer som både er lineært uavhengig og spenner ut hele rommet. Siden matrisen [a, b] har en trappeform som har pivotelementer i alle søyler og alle rader, er begge disse 0 betingelsene oppfylt. For å skrive vektorene i oppgaven som lineærkombinasjoner av a og b, må 0 vi løse ligningene xa + yb d, der d er hhv. c, x0 og 7 x 0. Disse ligningene kan vi løse som et simultant ligningssett: Dette betyr at c 7 7 a 7 b, x0 a b og x 0 a + b. d Bruker vi at a og b er egenvektorer og at c 7 a 7 b, får vi og u ta + v tb x t Axt + c Auta + vtb + c utaa + vtab + c 9uta 7vtb + 7 a 7 b 9ut + 7 a + 7vt 7 b Siden a og b er lineært uavhengige, kan bare være like dersom u ta + v tb 9ut + 7 a + 7vt 7 b u t 9ut + 7 og dermed har vi ligningene våre. og v t 7vt 7

4 Vi må også se på intialbetingelsene. Siden vi både har x0 u0a + v0b og ifølge punkt c x0 a b, må u0 og v0. Tilsvarende har vi at siden x 0 u 0a + v 0b og x 0 a + b, så må u 0 og v 0. e Ifølge formelen i oppgaveteksten, må u være på formen ut Dette gir C sin 9t + D cos 9t + C sint + D cost u t C cost D sint Initialbetingelsene gir følgende ligninger for C og D: Dette betyr at D 0, C 6 og u0 + D u 0 C ut + 6 sinx Helt tilsvarende regninger for v gir oss den generelle løsningen med initialbetingelsene vt + E sin t + F cos t v0 + F v 0 E, 4

5 og vi får f Per definisjon er Altså er xt ut + vt ut vt vt + 6 sin t xt yt uta + vtb + 6 sinx + 6 sin t + 6 sinx 6 sin t xt + 6 sinx + 6 sin t yt + 6 sinx 6 sin t Vi kan plotte disse funksjonene i samme koordinatsystem ved å gi MATLABkommandoene: t0:0^-:0; x+/6*sin*t+sqrt/6*sin*sqrt*t; y+/6*sin*t-sqrt/6*sin*sqrt*t; plott,x hold on plott,y, r Resultatet ser du nedenfor. Kommentar: Jeg har valgt oppdelingen av t- aksen slik at den passer med skrittlengden i oppgave. Det er uten betydning her, men blir nyttig i oppgave. Oppgave : Figurene i d og f fremstiller henholdsvis X, Y og x, y, men tidsaksen er forskjellig. Siden vi har valgt samme skrittinndeling 0 og intervall [0, 0] i begge tilfeller, har alle disse vektorene samme antall komponenter, og det går greit å trekke dem fra hverandre. Vi får derfor frem differansene rett og slett ved å skrive plotx-x og ploty-y. Resultatet ser du nedenfor den første figuren viser X x, den andre Y y og den tredje viser begge grafene med Y y i rødt. I alle tilfeller er feilene av størrelsesorden

6 Kommentar: Mange har i oppgave fått en figur som ser noe slikt ut: Dette skyldes sannsynligvis at de har latt den analytiske løsningen løpe over intervallet [, 0] istedenfor [0, 0], men i mange tilfeller er det umulig å se fra besvarelsen hva som egentlig er gjort. Dette er dårlig føring; det skal fremgå fra besvarelsen hva som faktisk er tastet inn slik at eventuelle feil kan oppdages og rettes. Slike krav gjelder ikke bare på obliger, men generelt i arbeidslivet faglig arbeid skal dokumenteres på en måte som gjør at resultatene kan etterprøves. Det er bedre å legge ved for mye programkode enn for lite! 6