LO118D Forelesning 6 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 6 (DM) Rekurrensrelasjoner

2 1 Rekurrensrelasjoner

3 Rekurrensrelasjoner En rekurrensrelasjon definerer det n-te elementet i en følge i forhold til de foregående elementene. Følgen startes ved å ta utgangspunkt i en eller flere initialbetingelser.

4 Rekurrensrelasjoner Definisjon En rekurrensrelasjon for følgen a 0, a 1,... er en ligning som relaterer a n til noen av sine forgjengere a 1, a 2,..., a n 1. Initialbetingelsene til følgen a 0, a 1,... er eksplisitte verdier gitt for en endelig mengde av følgens medlemmer.

5 Rekurrensrelasjoner Rekurrensrelasjoner, rekursive algoritmer og matematisk induksjoner er nært beslektet. En rekurrensrelasjon bruker tidligere verdier i en følge til å finne nåværende verdi. Rekursive algoritmer bruker mindre instanser av nåværende input til å prosessere nåværende input. Det induktive steget i matematisk induksjon antar at tidligere instanser av utsagnet er sant for å bevise det nåværende utsagnet.

6 Fibonacci-tallene Følgen av Fibonacci-tall er gitt av rekurrensrelasjonen: f n = f n 1 + f n 2, n 3 med initialbetingelsene: f 1 = 1, f 2 = 1

7 Oppsamlet rente Finn en rekurrensrelasjon for oppspart beløp A n etter n år.

8 Størrelse på potensmengde Vi husker at størrelsen på potensmengden er P(X ) = 2 n. Uttrykk dette med en rekurrensrelasjon.

9 Addisjonsprinsippet Anta at X i,..., X t er mengder og at den i-ende mengden X i har n i elementer. Hvis {X 1,..., X t } er en parvis disjunkt familie, så er antallet elementer som kan plukkes ut fra X 1 eller X 2 eller... eller X t n 1 + n n t

10 Mønster i strenger Vi definerer S n som antallet n-bit strenger som ikke inneholder mønsteret 111. Finn en rekurrensrelasjon for S n.

11 Multiplikasjonsprinsippet Hvis en aktivitet kan utføres i t etterfølgende steg og steg 1 kan utføres på n 1 måter, steg 2 utføres på n 2 måter,..., steg t utføres på n t måter, da er det totale antallet forskjellige aktiviteter n 1 n 2... n t.

12 Catalan-tallene Gitt at vi har et n n-rutenett. Vi starter i nederste venstre hjørne og går til øverste høyre hjørne, med restriksjonen at vi kun kan gå til høyre eller oppover. Antallet ruter, kalt gode ruter, kaller vi C n. Følgen av alle C n kaller vi Catalan-tallene. Vi kan uttrykke C n ved en rekurrensrelasjon.

13 Tårnene i Hanoi En berømt pusleoppgave er kalt Tårnene i Hanoi. Vi har tre tårn, der det første består av n skiver med gradvis mindre radius. Skivene skal flyttes enkeltvis fra det første tårnet til det tredje tårnet via det andre tårnet, men vi kan aldri ha en større skive over en mindre skive. Vi kan lage en rekurrensrelasjon for antall flytt som trengs.

14 Tårnene i Hanoi

15 Steg 1

16 Steg 2

17 Steg 3

18 Steg 4

19 Steg 5

20 Steg 6

21 Steg 7

22 Steg 8

23 Steg 9

24 Steg 10

25 Steg 11

26 Steg 12

27 Steg 13

28 Steg 14

29 Steg 15

30 Optimal løsning på tårnene i Hanoi Vi kan bevise med matematisk induksjon at rekurrensrelasjonen vår gir en optimal løsning.

31 Økonomisk spindelweb Vi kan anta en økonomisk modell der tilbud og etterspørsel er gitt ved lineære ligninger. Tilbud er gitt ved p = a bq der p er pris, q er kvantitet og a og b er positive parametre. Etterspørsel er gitt ved p = kq der p og q er samme som over, k er en positiv parameter.

32 Økonomisk spindelvev Vi antar at det er litt reaksjonstid mellom hvordan tilbud og etterspørsel utvikler seg. Det tar for eksempel tid å produsere varer. Vi deler tiden i diskrete intervaller, n = 0, 1,.... Basert på dette kan vi lage en rekurrensrelasjon mellom tilbud og etterspørsel.

33 Ackermanns funksjon Vi kan utvide definisjonen av rekurrensrelasjoner til å inkludere funksjoner over n-tupler av positive heltall. Ackermanns funksjon er et eksempel på det. Den er definert slik A(m, 0) = A(m 1, 1), m = 1, 2,... A(m, n) = A(m 1, A(m, n 1)), m = 1, 2,... n = 1, 2,... med initialbetingelsene A(0, n) = n + 1, n = 1, 2,...

34 Hvis vi har god tid Noen flere eksempler med matematisk induksjon: Vis ved hjelp av matematisk induksjon at n = 2 n+1 1 for ikke-negative heltall n. Vis ved hjelp av matematisk induksjon at n = n(n + 1)/2 for positive heltall n.

35 Neste gang Løsning av rekurrensrelasjoner