LO118D Forelesning 10 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori

2 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer

3 Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad mellom to noder. Vi antar at vektene er positive og at grafen er sammenhengende. Dijkstras algoritme løser dette problemet.

4 Dijkstras algoritme Dijkstras algoritme, del 1 Denne algoritmen finner den korteste veien fra node a til node z i en sammenhengende, vektet graf. Vekten til kanten (i, j) er w(i, j) > 0, og merkelappen til node x er L(x). Når algoritmen terminerer er L(z) lengden på den korteste veien fra a til z. Input: En sammenhengende, vektet graf der alle vektene er positive, nodene a og z. Output: L(z), lengden på den korteste veien fra a til z.

5 Dijkstras algoritme Dijkstras algoritme, del 2 1 dijkstra(w, a, z, L) { 2 L(a) = 0 3 for alle noder x a 4 L(x) = 5 T = mengden/av/alle/noder 6 //T er mengden av noder hvis korteste avstand fra a 7 //ikke er funnet

6 Dijkstras algoritme Dijkstras algoritme, del 3 8 while (z T ) { 9 velg v T med minst L(v) 10 T = T {v} 11 for hver x T som er nabo med v 12 L(x) = min{l(x), L(v) + w(v, x)} 13 } 14 }

7 Teorem Teorem Dijkstras algoritme er korrekt og finner lengden av en korsteste vei fra a til z.

8 Teorem Teorem Med input bestående av en n-noders, enkel, sammenhengende, vektet graf er kjøretiden for Dijkstras algoritme i verste tilfelle Θ(n 2 ).

9 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer

10 Nabomatrise En graf kan representeres med en nabomatrise. Man starter med å velge en ordning av nodene og merke radene og kolonnene i matrisen med denne ordningen. Elementet i rad i, kolonne j, i j, er antallet kanter insident på i og j. Hvis i = j så er elementet på denne plassen to ganger antallet løkker insident på i.

11 Antall veier av lengde n Man kan bruke nabomatrisen A til en graf til å finne antallet veier av lengde n. Elementet i, j i A n gir antallet veier fra i til j av lengde n.

12 Teorem Teorem Hvis A er nabomatrisen til en enkel graf, er element i, j i A n lik antallet veier av lengde n fra node i til node j, n = 1, 2,....

13 Insidensmatrise En graf kan også representeres med en insidensmatrise. Man starter med å merke radene med nodene og kolonnene med kantene (i tilfeldig rekkefølge). Element v, e er 1 hvis kant e er insident på node v, 0 ellers.

14 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer

15 Isomorfisme Definisjon Grafene G 1 og G 2 er isomorfe hvis: Det finnes en bijeksjon f fra nodene i G 1 til nodene i G 2. Og det finnes en bijeksjon g fra kantene i G 1 til kantene i G 2. Slik at en kant e er insident på v og w i G 1 hvis og bare hvis kanten g(e) er insident på f (v) og f (w) i G 2 Funksjonene f og g kalles en isomorfisme til G 1 og G 2.

16 Teorem Teorem Grafene G 1 og G 2 er isomorfe hvis og bare hvis nabomatrisene deres er like for en eller annen ordning.

17 Korollar Korollar La G 1 og G 2 være enkle grafer. Da er følgende utsagn ekvivalente: 1 G 1 og G 2 er isomorfe. 2 Det finnes en bijeksjon f fra mengden av noder i G 1 til mengdene av noder i G 2 som oppfyller følgende: Nodene v og w er naboer i G 1 hvis og bare hvis nodene f (v) og f (w) er naboer i G 2.

18 Invarianter Gitt grafene G 1 og G 2. Hvis G 1 har en egenskap som G 2 ikke har, men som G 2 ville hatt hvis grafene var isomorfe, så kalles den egenskapen en invariant. Eksempler på invarianter er: Antallet noder og kanter Nodenes grad Antall enkle sykler av lengde n Man kan påvise at to grafer ikke er isomorfe ved å finne en invariant grafene ikke deler.

19 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer

20 Planar graf Definisjon En graf er planar hvis den kan tegnes i et plan uten at noen kanter krysser hverandre.

21 Flater En sammenhengende graf deler et plan inn i flater. En flate karakteriseres av sykelen som omkranser den. Vi har følgende formel for flater, noder og kanter: f = e v + 2

22 Serier og seriereduksjon Definisjon Hvis en graf har en node v av grad 2 og kanter (v, v 1 ) og (v, v 2 ) der v 1 v 2, så sier vi at de to kantene er i serie. Vi utfører en seriereduksjon ved å fjerne noden v og bytte ut kantene (v, v 1 ) og (v, v 2 ) med kanten (v 1, v 2 ).

23 Homeomorfisme Definisjon Grafene G 1 og G 2 er homeomorfe hvis G 1 og G 2 reduseres til isomorfe grafer ved flere påfølgende seriereduksjoner.

24 Teorem Teorem (Kuratowskis teorem) En graf G er planar hvis og bare hvis den ikke har en subgraf som er homeomorfisk med K 5 eller K 3,3.

25 Teorem Teorem (Eulers formel for grafer) Hvis G er en sammenhengende, planar graf med e kanter, v noder og f flater, da er f = e v + 2