Grunnleggende Grafalgoritmer

Transkript

1 Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk

2 Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å kunne jobbe med grafer er ekstremt viktig. Vi skal i denne forelesningen ta en titt på noen av de grunnleggende grafalgoritmene. Når vi analyserer effektiviteten til en grafalgoritme på en gitt graf G = (V, E) så angir vi effektiviteten i forhold til størrelsene V og E. Vi har to størrelser i stedet for en slik vi har vært vant med. Når V og E står inne i en asymptotisk formel menes henholdsvis V og E (en forenkling av notasjonen). Gitt en graf G = (V, E) så vil pseudokoden i boka referere til settet med noder (vertices) som G.V og kantene (edges) som G.E.

3 Representere en Graf En graf kan være enten rettet (directed) eller urettet (undirected). Det finnes to vanlige måter å representere en graf på Nabolister (adjacency lists) Nabomatrise (adjacency matrix) Vi kommer til å ta i bruk begge representasjonene i dette kurset.

4 Nabolister Nabolister bruker som navnet antyder en lenket liste for å holde på alle naboene til nodene V i grafen. Vi bruker en array med V lister slik at hver node får hver sin egen liste. Node u sin liste inneholder alle nodene v slik at (u, v) E i.e. den inneholder alle nodene som er forbundet til u med en kant. Dette fungerer både for rettede og urettede grafer Boka kaller tabellen med lister for Adj og de refererer til denne tabellen for en gitt graf G med G.Adj. En kant kan i mange tilfeller ha en tilhørende vekt w. Denne kan enkelt integreres inn i et nabolisteoppsett (w : E R).

5 Plassbruk og Aksesstid for Nabolister Et grafrepresentasjon som bruker nabolister vil trenge Θ(V + E) plass i minnet. Dette er å foretrekke så lenge E er liten i forhold til V 2. Gir en effektiv representasjon for en graf med få kanter (sparse) Siden kantene er lagret som lenkede lister må vi gjøre lineære søk for å finne en kant. Det vil ta Θ(degree(u)) tid å finne alle naboene til u. Det vil ta O(degree(u)) tid å finne ut om en kant (u, v) E. degree brukes for å angi antallet kanter fra u.

6 Nabomatriser Nabomatriser bruker i stedet for en array med lenkede lister en todimensjonal tabell (en matrise) som kobler nodene sammen. Vi bruker da en V V matrise A med følgende koeffisenter. { 1 if (i, j) E a ij = 0 otherwise Vi kan integrere en vekt inn i dette oppsettet ved å bytte ut den boolske verdien med et flyttall e.g. { wij if (i, j) E a ij = 0 otherwise

7 Plassbruk og Aksesstid for Nabomatriser Nabomatriser krever mer plass enn nabolister, men de er også raskere i noen situasjoner. Vi trenger Θ(V 2 ) plass i minnet. Vi må kjøre en løkke gjennom alle noder for å finne nodene som er naboer til u i.e. en kjøretid på Θ(V ). Vi trenger ikke søke for å bedømme om en kant (u, v) eksiterer eller ikke i.e. en kjøretid på O(1).

8 Eksempel på Urettet Graf Figuren under viser en urettet graf og hvordan den ville blitt representert med henholdsvis nabolister og nabomatrise. Legg merke til at kanter går begge veier i en urettet graf.

9 Eksempel på Rettet Graf Figuren under viser en rettet graf og hvordan den ville blitt representert med henholdsvis nabolister og nabomatrise.

10 Bredde-Først Søk Bredde-først søk er den første elementære grafalgoritmen vi skal se på. Input er en graf G = (V, E) og en node s V som angir startnoden for søket. Output er v.d som angir minste antall kanter mellom s og v for alle v V. Algoritmen bygger et bredde-først tre ved å lagre forgjengeren til v i v.π. Settet med kanter {(v.π, v) : v s} danner treet

11 Ideen Bak Bredde-Først Søk Vi kan se for oss et bredde-først søk som en bølge som sende ut i alle retninger fra en startnode. Vi finner først alle de nodene som kan nås ved å gå over 1 kant fra s i.e. de er direkte naboer Så finner vi alle de nodene som kan nås ved å gå over 2 kanter fra s... Algoritmen benytter seg av en FIFO kø Q for å ivereta bølgefronten i.e noder som er oppdaget. v Q bare hvis noden har blitt truffet av bølgen men ikke forlatt den ennå.

12 Fargekoder Brukt i et Bredde-Først Søk Boka benytter seg av tre fargekoder, både for å holde styr på kjøringen og for å utlede et bevis for at algoritmen er korrekt. Hvite noder er uoppdagede noder (alle noder begynner som hvite, bortsett fra s). Grå noder er oppdagede noder som ikke er ferdig undersøkt i.e. nabonodene er ikke sjekket Svarte noder er nodene som er ferdig undersøkt. Disse fargekodene trengs strengt tatt ikke for at algoritmen skal fungere, men de kan hjelpe visualiseringen av hvordan den kjører.

13 Pseudokode for Bredde-Først Søk (BFS) Bredde-først søk algoritmen (BFS) uten fargekoder er listet under. Se boka for pseudokode med fargekoder.

14 Hvordan BFS Fungerer Figuren under viser hvordan BFS algoritmen kjører på en eksempelgraf.

15 Uformelt Bevis for at BFS er Korrekt Vi kan vise at Q aldri vil inneholde noder v med mer enn 2 forskjellige avstander i.e. verdier i v. d. Hvis det er to forskjellig verdier vil alltid de med lavest verdier ligge først. Dette gjør at disse nodene blir behandlet først. Hver node v for satt v.d bare en gang, og v.d er monotonisk stigende over tid. Det formelle beviset er litt mer komplisert. Se boka for hele beviset.

16 Analyse av BFS Vi kan først begynne med å merke oss at BFS ikke alltid vil nå alle nodene i G. Algoritmen legger til og tar ut hver node fra Q bare en gang, og Enqueue og Dequeue tar begge O(1). Vi undersøker kantene til hver node bare en gang (når noden tas ut av køen). Dette gir oss en kjøretid på O(V + E) for BFS algoritmen.

17 Bredde-Først Søk i Algoritmer Vi skal i de neste forelesningene ta for oss flere algoritmer som bruker søk som ligner bredde-først søk. Prim s minimumspenntre algoritme Dijkstra s korteste vei algoritme