PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10

Transkript

1 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 Lars Sydnes, NITH 9. april 2014

2 NOE Å STUSSE PÅ? Quadratic probing i Hash-tabell: ( ) 2 i + 1 p = p + ( 1) i+1 2 Underforstått forutsetning: Heltallsaritmetikk Riktig formel: p = p + ( 1) i+1(i + 1)2 4

3 I. INTRODUKSJON TIL GRAFER

4 GRAFER Man bruker sjelden grafer eksplisitt som datastruktur Abstraksjon av praktiske problemer i mange sammenhenger. Grafer bare dukker opp! Grafer brukes gjerne til å fremstille relasjoner mellom data. Representasjon av struktur i datasettet.

5 GRAFER TERMINOLOGI node kant rettet kant vektet kant 3.4 vektet rettet kant 3.4

6 GRAFER TERMINOLOGI Urettet graf: Kantene har ikke retning. Rettet graf: Kantene har retning: Fra A til B. Ikke-vektet: Kantene har ikke vekt. Vektet: Kantene har vekt. Kalles gjerne Nettverk. Ulike kombinasjoner: Nettverk (Urettet vektet graf) Rettet nettverk (Rettet vektet graf) Rettet graf (Rettet ikke-vektet graf) Urettet graf (Ikke-vektet urettet graf)

7 NETTVERK D 1 4 A 3 2 B 1 C

8 RETTET NETTVERK D 1 4 A 3 2 B 1 C

9 RETTET GRAF D A B C

10 URETTET GRAF D A B C

11 II. EKSEMPLER

12 EKSEMPEL: REFERANSER EN RETTET GRAF Oversikt over referanser: Double another Object obj void main Integer number funksjon Object data

13 EKSEMPEL: REFERANSER OG GARBAGE COLLECTOR Sett obj = null i main: Double another Object obj void main Integer number funksjon Object data Søppelåndteringen (gc) kan nå gjøre jobben sin og slette obj. Men, den må unngå å slette number

14 EKSEMPEL: MULIG GARBAGE COLLECTOR Resultat: void main Integer number funksjon Object data Søppelhåndteringen må m.a.o forstå referansenettverket på en eller annen måte.

15 G C HVA MED DENNE? o2 main o1 o3 o2 main o1 o3 Man må forstå helheten i referansenettverket for å forstå at o1,o2,o3 skal frigjøres fra minnet.

16 ANDRE EKSEMPLER Datanettverk: Vektet graf der vekten reflekterer overføringskapasiteten, f.eks antall sekunder pr. MB. Geometriske nettverk: Posisjoner og veier i en spill-verden. Vekt = avstand. Flyplasser og flyruter. Vekt = pris. Avhengighet mellom operasjoner: Rettet graf. Kant fra A til B når operasjonen B forutsetter at A er fullført.

17 EKSEMPEL: MODELL AV FLYPLASSNETTVERK Ålesund Trondheim 599 Bergen 549 Oslo Problemstillinger Kan vi komme oss fra Ålesund til Trondheim? Hvordan? Hva er den billigste veien fra Ålesund til Trondheim?

18 III. GRAF-ALGORITMER

19 TRAVERSERING Vi ønsker å besøke alle nodene i en graf. Hvor skal vi starte? Rekkefølge? public Iterator<Node> iterator(){ /*...*/ } Trær er eksempler på grafer, og vi har Bredde først = Level order Dybde først = preorder, postorder

20 TRAVERSERING BREDDE FØRST Vi starter i en villkårlig utvalgt node. Besøk alle naboene til startnoden (avstand = ett steg). Besøk naboene til naboene (avstand = to steg) Besøk alle nodene i avstand 3, avstand 4, et.c.

21 TRAVERSERING DYBDE FØRST Vi starter i en villkårlig utvalgt node. Vi går til det første barnet. Vi går til det første barnebarnet... Vi går til det andre barnet Vi går til det andre barnets første barnebarn...

22 Dybde først vs Bredde først Et uhyre viktig begrepspar!

23 TRAVERSERING KODE Å forstå et dataprogram. (i) Rettet graf av referanser (Objekter, funksjoner) som det gjøres operasjoner på. (ii) Ulike deler av koden skrives, presenteres og leses sekvensielt (av mennesker og maskin) Tenker du dybde først eller bredde først når du skriver kode?

24 TOPOLOGISK SORTERING Grafen: Nodene representerer operasjoner. Kantene representerer avhengigheter: Kant fra A B dersom B forutsetter A. Praktisk problem: Lag en plan for å utføre operasjonene sekvensielt. Abstrakt problem: Legg elementene i en rettet graf på en rekke som respekterer retningen på kantene. Hvis vi har en kant fra A til B, så skal A komme før B. (Eksempel på tavle.)

25 MINIMUM SPANNING TREE 399 Ålesund Trondheim Ålesund 579 Trondheim Bergen 549 Oslo Bergen 549 Oslo Nettverk Minimalt genererende tre Prims algoritme: Bygge et minimalt genererende tre. Start med et tomt tre. Velg en utgangsnode. Legg denne til treet. Den korteste veien som utgår fra treet legges til treet. Gjenta dette til alle nodene er med i treet.

26 PRIMS ALGORITME: Ålesund Trondheim Ålesund Trondheim Bergen 549 Oslo Bergen 549 Oslo Ålesund Trondheim Ålesund Trondheim Bergen 549 Oslo Bergen 549 Oslo

27 PRIMS ALGORITME: DATASTRUKTURER Vi må holde styr på: Selve treet. (En graf) Alle kantene som går ut fra treet. F.eks i prioritetskø.

28 FINN KORTESTE VEI (PATHFINDING) Finn korteste vei fra A til B. I graf (uten vekter): Bruk bredde først-traversering med utgangspunkt i A. Første gangen B dukker opp, har vi funnet den korteste veien. I vektet graf: Dijkstras algoritme: Variant av bredde først-søk. Bygg alle mulige veier med utgangspunkt i A. Arbeid på det korteste alternativet. Fortsett arbeidet helt til det dukker opp en vei som ender i B. A -algoritmen: Forbedret variant av Dijkstras algoritme. Brukes når vi kan estimere avstandene.

29 DIJKSTRAS ALGORITME: ÅLESUND TIL TRONDHEIM Ålesund Trondheim Ålesund Trondheim Bergen 549 Oslo Bergen 549 Oslo Ålesund Trondheim Ålesund Trondheim Bergen 549 Oslo Bergen 549 Oslo

30 DIJKSTRAS ALGORITME: IMPLEMENTASJON Hvilke noder har vi allerede besøkt? Hva er den korteste tilgjengelige veien? Alternativene kan legges i en prioritetskø (heap). HashSet<Node> visited; PriorityQueue<Paths> paths;

31 WORST CASE-ANALYSE Når vi må vurdere alle kantene. La V være antall noder i grafen og E antallet kanter. Vi undersøker maksimalt V veier. Heap kjøretid O(log V ) for lagring og henting av veier. Dette skjer maksimalt E ganger kjøretid O(E log V )

32 A*-ALGORITMEN: KORTESTE VEI FRA A TIL B Ny ingrediens: Estimat min(a, B) for korteste mulige avstand mellom A og B. Dijkstras algoritme bedømmer en vei kun etter lengden. A D W E A*-algoritmen bedømmer denne veien etter Lengde(A-D-W-E) + min(e, B).

33 A*-ALGORITMEN: EKSEMPEL. Ålesund Trondheim 599 Bergen 249 Stavanger Oslo A*-algoritmen vil ikke ta Stavanger i betraktning, siden avstanden mellom Stavanger og Trondheim er så stor: Minsteprisen er for stor (la oss si 500)

34 IV. REPRESENTASJON AV GRAFER IMPLEMENTASJON

35 NABOSKAPSLISTER ADJACENCY LISTS Som lenkede implementasjoner av trær En mengde noder Hver node har en liste over naboene sine. Fint hvis det er mange noder og få forbindelser.

36 NABOSKAPSMATRISE ADJACENCY MATRIX En array noder: Node[] noder; En dobbel-array med forbindelser: boolean[][] undirectededges; double[][] directededges; Læreboka diskuterer implementasjon av urettet graf Nå: La oss se på implementasjon av en vektet graf/ nettverk Network.java

37 V. OPPGAVER

38 OPPGAVER Arbeid videre med implementasjon av Network Arbeid videre med path finding: Dybde først søk, Bredde først søk, Dijkstras algoritme A -algoritmen. Materiale: Graph.java Div graf-relatert java-kode. airports.txt Flyplassnettverk points.txt Punkter i planet