PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7

Transkript

1 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014

2 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR

3 TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse går fra foreldrenode til barnenode. Én Rot: Den eneste foreldreløse noden. Ett eller flere blader (leafs): Noder uten barn.

4 TRÆR: TERMINOLOGI R (rot) Nivå 0 A (indre) B (indre) C (blad) Nivå 1 D (indre) E (blad) F (indre) G (blad) Nivå 2 I (blad) J(blad) Nivå 3 D er barn av A Følger som R,A,D,I og R,B,F,J kalles veier i treet (paths) Veien R,A,D,I har lengde 3 A er forgjenger til både D,E og I (ancestor) D,E og I kalles etterfølgere til A (descendants) Dette treet har høyde 3

5 KLASSIFISERING AV TRÆR Høyde: Største veilengde i treet. Orden: Det maksimale antallet barnenoder pr. node. Binære trær: Trær av orden 2. Balanserte trær: Alle bladene befinner seg på de to nederste nivåene. Komplette trær: Balanserte trær der alle bladene i nest nederste nivå befinner seg til venstre. Fulle trær: Alle noder har maksimalt antall barn, alle blader på ett nivå.

6 BALANSERTE TRÆR: Ikke balansert: Balansert:

7 KOMPLETTE TRÆR: Ikke komplett: Komplett:

8 FULLE TRÆR Ikke fullt: Fullt:

9 II. HVOR MØTER VI TRÆR?

10 VI MØTER TRÆR OVER ALT Eksplisitt: Søketrær Heaps Eksempler som ExpressionTree (i læreboka) Implisitt / Tilnærmelsesvis Programmering, Arv: Rot = Object, Foreldre-barn-relasjon = arv mellom klasser Sammensatte grafiske brukergrensesnitt: Hovedvindu = rot, interaksjonsdetaljer = blader Andre sammensatte objekter: Computer-algebra / Syntaktiske trær. Abstrakt: QueenSolver: Valgmulighetene kan organiseres i et tre. Valgtrær

11 KONKRETE TRÆR: J A V A.U T I L.TR E EMA P... class TreeMap<K,V>... {... Entry<K,V> root;... static class Entry<K,V>.. { // DATA: K key; V value; } // STRUCTURE: Entry<K,V> left = null; Entry<K,V> right = null; Entry<K,V> parent; }...

12 TREEMAP: TreeMap som oversikt over antallet lenker inn i domene: facebook = 44 aften = 32 nith = 65 msn = 56 Hvorfor sprer vi dataene utover i et tre?

13 OPPGAVE: KARTLEGGING AV TREEMAP Kan vi måle treets høyde? høyde under node = 1 + maks(høyde under barnenoder) Andre målinger: Antall blader Antall indre noder Kode-eksempel

14 EKSEMPEL PÅ ENKEL ALGEBRAPAKKE Symbol x = symbol("x"); Symbol y = symbol("y"); Symbol z = symbol("z"); Expression expr1 = new Product(y, new Constant(2)); Expression expr2 = new Product(z,x); Expression expr3 = new Sum(expr1, new Sin(expr2)); Sum Prod y 2 Sin Prod x z expr3 = 2y + sin(xz)

15 MANIPULERING AV TRÆR MANIPULERING AV SYNTAKS Prod Sum a Sum Prod Prod b c a b a c a*(b+c) a*b+a*c Evaluering av uttrykk: Evaluér venstre undertre Evaluér høyre undertre Kombinér resultatet

16 TRÆR I J A V A.CO L L E C T I O N S TreeSet: Beholder Mengde -> ingen dubletter Søketre -> Effektiv lagring og søk. TreeMap Avbildining -> (key,value)-par Søketre -> Effektiv lagring og søk. PriorityQueue Prioritetskø -> viktige objekter sniker Heap -> Effektiv innsetting, Effektiv fjerning av minste element.

17 III. TRAVERSERING AV TRÆR

18 Å BESØKE ALLE NODENE I ET TRE R A B C D E F G I J Bredde eller dybde først? (Jfr. WebCrawler) Depth first Level-order (bredde først) Foreldre eller barn først? Preorder: node, venstre, høyre Inorder: venstre, node, høyre Postorder venstre, høyre, node

19 ITERATORER: ITERATOR, ITERABLE package java.util; public interface Iterator<E> { boolean hasnext(); E next(); void remove(); } package java.lang; import java.util.iterator; public interface Iterable<E> { Iterator<T> iterator(); }

20 TO IMPLEMENTASJONER AV I T E R A T O R() Hjelpeliste: Legg treets elementer inn i en liste. Returnér listens iterator. Tips: Bruk rekursive funksjoner Egen iterator-klasse: La iteratoren ha direkte tilgang til nodene. Mer om dette i Lab 7.

21 IV. SØKETRÆR

22 SØKETRÆR Struktur for lagring og søk etter data som kan ordnes. Eksempler: tall, strenger Objekter som er Comparable. Krav a b = a < b eller a > b Java: Dette betyr at equals skal kunne implementeres omtrent slik: public boolean equals(other){ return this.compareto(other) == 0 }

23 BINÆRT SØK VS. SØKETRÆR Binært søk: Besøk det midterste elementet. Gå til høyre eller venstre Gjenta prosedyren med høyre eller venstre halvdel Søketre: left < node <= right Besøk roten. Gå til høyre eller venstre. Gjenta prosedyren med høyre eller venstre undertre

24 BINÆRT SØK VS SØKETRÆR Binært søk: 1,4,5,7,8,9,12,16,19,24,27,35,45 1,4,5,7,8,9 16,19,24,27,35,45 1,4,5 8,9 16,19,24 35, Søketre:

25 SØKETRÆR: INNSETTING

26 SØKETRÆR: INNSETTING

27 SØKETRÆR: INNSETTING

28 SØKETRÆR: INNSETTING

29 SØKETRÆR: INNSETTING def add(newnode,rootnode): if (newnode > rootnode) if (rootnode.right = None) rootnode.right = newnode else add(newnode,rootnode.right) else if (rootnode.left = None) rootnode.left = newnode else add(newnode,rootnode.left)

30 SØKETRÆR: FJERN ELEMENT Hvis vi skal fjerne node 27 fra følgende tre, må vi erstatte den med en node med verdi mellom 19 og Velg ut det minste elementet som er større enn 19, altså replacement-metoden tar jobben med å finne erstatningen.

31 V. IMPLEMENTASJON

32 TABELLIMPLEMENTASJON. Bruk en array som underliggende datastruktur Roten har indeks 0, og de tilhørende barna har indeks 1 og 2. Barna til noden med indeks n ligger i indeks 2n + 1 og 2n ,7,27,4,9,19,45,1,5,8,null,16,24,35,null 7,4,9,1,5,8,null 27,19,45,16,24,35,null 4,1,5 9,8,null 19,16,24 45,35,null OBS: Det er bare tabellen 12,7,27,4,9,19,45,1,5,8,null,16,24,35,null som er lagret i datamaskinens minne.

33 TABELLIMPLEMENTASJON Tallet 45 ligger i posisjon 6, og barna ligger i posisjon og , altså posisjonene 13 og 14. Verdiene er 35 og null. left 12,7,27,4,9,19,45,1,5,8,null,16,24,35,null right Problem: Det kan bli mange tomme plasser i listen.

34 KOMPLETT TABELLER Ikke komplett: ,7,35,4,9,19,45,1,5,8,null,16,24,null Hull!. Komplett: ,7,35,4,9,19,45,1,5,8,null,null Null hull!

35 LENKET IMPLEMENTASJON LinkedBinarySearchTree.java

36 VI. ANALYSE

37 HØYDEN I TRÆR Algoritmisk effektivitet avhenger av høyden h (antall nivåer). I et tre med høyde h og n elementer er n < 2 h+1 og h < n, så log 2 (n) 1 < h < n. Se på tre med høyde h: add: Vi starter å lete i roten, må besøke inntil h noder før vi finner riktig plass. remove: Vi må gå fra roten til den aktuelle noden: Inntil h steg. Leting etter replacement-node: Inntil h steg.

38 BEREGNINGSKOMPLEKSITET: Operasjon binært tre Ordnet lenket liste add O(h) O(n) removefirst O(h) O(1) removelast O(h) O(n) remove O(h) O(n) contains O(h) O(n)

39 MEN AKK: LENKEDE LISTER ER OGSÅ TRÆR For å få best mulig Worst-case-oppførsel ønsker vi gjerne at h er så liten som mulig.

40 ER DET ALLTID SLIK AT VI ØNSKER BALANSE? Neste uke: - Mer om balansering - B-trær - Heaps