IN Algoritmer og datastrukturer

Transkript

1 IN Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2018 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 1 / 54

2 Dagens plan: Definisjon av en graf Grafvarianter Intern representasjon av grafer Traversering Topologisk sortering Korteste vei en-til-alle uvektet graf kap. 13 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 2 / 54

3 Det første grafteoretiske problem: Broene i Königsberg Er det mulig å ta en spasertur som krysser hver av broene nøyaktig en gang? Dette problemet ble løst av Euler allerede i 1736! Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 3 / 54

4 Grafer vi har sett allerede Labyrint Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 4 / 54

5 Grafer vi har sett allerede Trær Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 5 / 54

6 Grafer vi har sett allerede Arv i OO Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 6 / 54

7 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 7 / 54

8 Hva er en graf? En graf G =(V,E) har en mengde noder, V, og en mengde kanter, E V og E er henholdsvis antall noder og antall kanter i grafen Hver kant er et par av noder, dvs. (u, v) slik at u, v V En kant (u, v) modellerer at u er relatert til v Dersom nodeparet i kanten (u, v) er ordnet (dvs. at rekkefølgen har betydning), sier vi at grafen er rettet, i motsatt fall er den urettet Grafer er den mest fleksible datastrukturen vi kjenner ( alt kan modelleres med grafer) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 8 / 54

9 Hvorfor grafer? De dukker opp i veldig mange problemer i hverdagslivet: Flyplassystemer Datanettverk Trafikkflyt Ruteplanlegging VLSI (chip design) og mange flere... Grafalgoritmer viser veldig godt hvor viktig valg av datastruktur er mhp. tidsforbruk Det finnes grunnleggende algoritmeteknikker som løser mange ikke-trivielle problemer raskt Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 9 / 54

10 Grafer: Definisjoner og varianter Node y er nabo-node (eller etterfølger) til node x dersom (x, y) E En graf er vektet dersom hver kant har en tredje komponent, kalt kost eller vekt x 2 y 9 5 z Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 10 / 54

11 En vei (eller sti) i en graf er en sekvens av noder v 1, v 2, v 3,..., v n slik at (v i, v i+1 ) E for 1 i n 1 Lengden til veien er lik antall kanter på veien, dvs. n 1 x y w z <z, w, x> er en vei med lengde 2 Kosten til en vei er summene av vektene langs veien y 1 z x <z, w, x> er en vei med kost 7 5 w 2 En vei er enkel dersom alle nodene (untatt muligens første og siste) på veien er forskjellige Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 11 / 54

12 Våre grafer har vanligvis ikke loops, (v, v), eller multikanter (to like kanter): En løkke (sykel) i en rettet graf er en vei med lengde 1 slik at v 1 = v n. Løkken er enkel dersom stien er enkel I en urettet graf må også alle kanter i løkken være forskjellige Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 12 / 54

13 En rettet graf er asyklisk dersom den ikke har noen løkker En rettet, asyklisk graf blir ofte kalt en DAG (Directed, Acyclic Graf) En urettet graf er sammenhengende dersom det er en vei fra hver node til alle andre noder sammenhengende ikke sammenhengende Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 13 / 54

14 En rettet graf er sterkt sammenhengende dersom det er en vei fra hver node til alle andre noder En rettet graf er svakt sammenhengende dersom den underliggende urettede grafen er sammenhengende sterkt sammen hengende svakt sammen hengende Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 14 / 54

15 Graden til en node i en urettet graf er antall kanter mot noden Inngraden til en node i en rettet graf er antall kanter inn til noden Utgraden til en node i en rettet graf er antall kanter ut fra noden. v Grad(v)=3 v Inngrad(v)=1 Utgrad(v)=4 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 15 / 54

16 Hvordan representere grafer? Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 16 / 54

17 Nabo-matrise (adjacency matrix) Bra hvis tett graf, dvs. E = Θ( V 2 ) Det tar O( V ) tid å finne alle naboer Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 17 / 54

18 Nabo-matrise (adjacency matrix) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 18 / 54

19 Nabo-liste (adhacency list) Bra hvis tynn ( sparse ) graf Tar O(Utgrad(v)) tid å finne alle naboer til v De fleste grafer i det virkelige liv er tynne! Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 19 / 54

20 Objekter & array I Java kan grafer også representeres ved en kombinasjon av node-objekter og etterfølgerarrayer Arraylengden kan være en parameter til node-klassens constructor Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 20 / 54

21 c l a s s Node { i n t a n t a l l N a b o e r ; Node [ ] e t t e r f ; double [ ] v e k t ; } Node ( i n t k a p a s i t e t ) { e t t e r f = new Node [ k a p a s i t e t ] ; v e k t = new double [ k a p a s i t e t ] ; a n t a l l N a b o e r = 0 ; } Da må vi vite antall etterfølgere når vi genererer noden Eventuelt kan vi estimere en øvre grense og la siste del av arrayen være tom Vi trenger da en variabel som sier hvor mange etterfølgere en node faktisk har Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 21 / 54

22 Dybde-først søk

23 Dybde-først søk Dybde-først søk klassisk graf traversering generalisering av prefiks traversering for trær gitt: start node v: rekursivt traverserer alle nabonodene rekursjon vi undersøker alle noder som kan nåes fra første etterfølger til v, før vi undersøker neste etterfølger til v for vilkårlige grafer: pass på å terminerer rekursjon! unvisited visited nodes. DFS Initialize: all nodes unvisited. Recur: when visited: return immidiately when unvisited set to visited recur on all neighbors Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 23 / 54

24 Dybde-først søk A v o i d dybdeførstsøk ( Node v ) { v. merke = t r u e ; f o r < h v e r nabo w t i l v > { i f (! w. merke ) { dybdeførstsøk (w ) ; } } } G C B E D F Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 24 / 54

25 DFS kompleksitet Dybde-først søk DFS traversering tar O( V + E ) med nabo-liste implementasjon sjekke hvorvidt G er sammenhengende finne spenntre finne sammenhengende komponenter finne stien mellom to noder i G (rapporterer hvis stien ikke finnes) finne løkker i G (rapporterer hvis grafen ikke har noen løkker) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 25 / 54

26 Løkkeleting Dybde-først søk Vi kan bruke dybde-først søk til å sjekke om en graf har løkker 3 verdier til tilstandsvariablen: usett, igang og ferdig (besøkt) v o i d l økkelet ( Node v ) { i f ( v. t i l s t a n d == i g a n g ) { < Løkke e r f u n n e t > } e l s e i f ( v. t i l s t a n d == u s e t t ) { v. t i l s t a n d = i g a n g ; f o r < h v e r nabo w t i l v > { l økkelet (w ) ; } v. t i l s t a n d = f e r d i g ; } } Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 26 / 54

27 Dybde-først søk Er grafen sammenhengende? urettet graf & DFS En urettet graf er sammenhengende hvis og bare hvis et dybde-først søk som starter i en tilfeldig node, besøker alle nodene i grafen rettet graf & DFS En rettet graf er sterkt sammenhengende hvis og bare hvis vi fra hver eneste node v klarer å besøke alle de andre nodene i grafen ved et dybde-først søk fra v Hvis grafen ikke er sammenhengende, kan vi foreta nye dybde-først søk fra noder som ikke er besøkte, inntil alle nodene er behandlet Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 27 / 54

28 Dybde-først søk Dybde-først-spenntre for urettet sammenhengende grafer ikke sammenhengende grafer: dfs spanning forest huske back-pointers Ulike type kanter gitt en bestemt kjøring av dfs 1 tree edges 2 back edges Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 28 / 54

29 Dybde-først søk DFS, urettet graf (1) B A F C D G E Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 29 / 54

30 Dybde-først søk DFS, spanning forest v o i d DFS(G) f o r <h v e r node v i G> { i f (! v. merke ) { dybdeførstsøk ( v ) } } Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 30 / 54

31 BFS vs DFS Dybde-først søk Back edge (v,w): w is an ancestor of v in the tree of discovery edges Cross edge (v,w): w is in the same level as v or in the next level Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 31 / 54

32 DFS for rettet graf Dybde-først søk Ulike type kanter gitt en bestemt kjøring av dfs 1 tree edges 2 back edges 3 forward edges 4 cross edges Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 32 / 54

33 BFS vs DFS Dybde-først søk Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 33 / 54

34 BFS vs DFS Dybde-først søk Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 34 / 54

35 BFS vs DFS Dybde-først søk Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 35 / 54

36 Topologisk sortering

37 Topologisk sortering Topologisk sortering En topologisk sortering er en ordning (rekkefølge) av noder i en DAG slik at dersom det finnes en vei fra v i til v j, så kommer v j etter v i i ordningen Topologisk sortering er umulig hvis grafen har en løkke MA100/ MA001 IN102 IN115 En liten del av Ifis kursplan i 1999 IN105 IN114 IN212 IN394 MA108 IN147 IN211 IN310 MA IN 118 IN210 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 37 / 54

38 Topologisk sortering Følgende enkle algoritme finner en topologisk sortering (hvis det er noen): 1 Finn en node med inngrad = 0 2 Skriv ut noden, og fjern noden og utkantene fra grafen (marker noden som ferdig og reduser inngraden til nabonodene) 3 Gå tilbake til punkt 1 Eksempel: Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 38 / 54

39 Topologisk sortering Algoritme for topologisk sortering v o id t o p s o r t ( ) { Node v ; f o r ( i n t t e l l e r = 0 ; t e l l e r < ANTALL_NODER; t e l l e r ++) { v = finnnynodemedinngradnull ( ) ; i f ( v == n u l l ) { e r r o r ( "Løkke f u n n e t! " ) ; } e l s e { < S k r i v ut v som node t e l l e r > f o r < h v e r nabo w t i l v > { w. i n n g r a d ; }}}} Denne algoritmen er O( V 2 ) siden finnnynodemedinngradnull ser gjennom hele node/inngrad-tabellen hver gang Unødvendig: bare noen få av verdiene kommer ned til 0 hver gang Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 39 / 54

40 Topologisk sortering En forbedring er å holde alle noder med inngrad=0 i en boks. Boksen kan implementeres som en stakk eller en kø: 1 Plasser alle nodene med inngrad=0 i boksen. 2 Ta ut en node v fra boksen. 3 Skriv ut v. 4 Fjern v fra grafen og reduserer inngraden til alle etterfølgerne. 5 Dersom noen av etterfølgerne får inngrad=0, settes de inn i boksen. 6 Gå tilbake til punkt 2. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 40 / 54

41 Topologisk sortering Forbedret algoritme v o id t o p s o r t ( ) { Kø k = new Kø ( ) ; Node v ; i n t t e l l e r = 0 ; f o r < h v e r node v > i f ( v. i n n g r a d == 0) k. s e t t I n n ( v ) ; w h i l e (! k. isempty ( ) ) { v = k. taut ( ) ; < S k r i v ut v >; t e l l e r ++; } f o r < h v e r nabo w t i l v > { w. i n n g r a d ; i f (w. i n n g r a d == 0) k. s e t t I n n (w ) ; } } i f ( t e l l e r < ANTALL_NODER) e r r o r ( "Løkke f u n n e t! " ) ; Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 41 / 54

42 Topologisk sortering Forutsatt at vi bruker nabolister, er denne algoritmen O( V + E ). Kø/stakk-operasjoner tar konstant tid, og hver node og hver kant blir bare behandlet en gang. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 42 / 54

43 Oppgave Topologisk sortering Anta at du har en avhengighetsgraf med noder: {Q, B, J, P, A, Z}. Grafen har 4 lovlige topologiske sorteringer, det finnes ingen annen sortering av nodene som tilfredstiller avhengighetene: 1 Q, A, B, J, Z, P 2 Q, B, A, J, Z, P 3 Q, A, B, Z, J, P 4 Q, B, A, Z, J, P Tegn en graf som oppfyller kriteriene. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 43 / 54

44 Korteste vei en-til-alle

45 Korteste vei en-til-alle Bunnpris Blindern, Problemveien, Oslo til Ole-Johan Dahls Hus... Bunnpris Blindern, Problemveien, Oslo til Ole- Johan Dahls Hus Til fots 600 m, 8 min Kartdata 2017 Google Norge 100 m Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 45 / 54

46 Korteste vei en-til-alle Korteste vei, en-til-alle I korteste vei problemet (en-til-alle) har vi gitt en (muligens vektet) graf G=(V,E) og en node s. Vi ønsker å finne den korteste veien (evt. med vekter) fra s til alle andre noder i G. x 2 y 9 5 z Korteste vei fra z til x uten vekt er 1. Korteste vei fra z til x med vekt er 7 (via y). Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 46 / 54

47 Korteste vei en-til-alle Negative vekter (kost) i løkker kan skape problemer: x 12 y 5 5 Hvor mye koster korteste vei fra x til z? z Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 47 / 54

48 Korteste vei en-til-alle Korteste vei i en uvektet graf Korteste vei fra s til t i en uvektet graf er lik veien som bruker færrest antall kanter. V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 (Det tilsvarer at alle kanter har vekt=1) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 48 / 54

49 Korteste vei en-til-alle Følgende bredde-først algoritme løser problemet for en node s i en uvektet graf G: 1 Marker at lengden fra s til s er lik 0. (Merk at s foreløpig er den eneste noden som er markert.) 2 Finn alle etterfølgere til s. Marker disse med avstand 1. 3 Finn alle umarkerte etterfølgere til nodene som er på avstand 1. Marker disse med avstand 2. 4 Finn alle umarkerte etterfølgere til nodene som er på avstand 2. Marker disse med avstand 3. 5 Fortsett til alle noder er markert, eller vi ikke har noen umarkerte etterfølgere. Finnes det fortsatt umarkerte noder, kan ikke hele G nåes fra s. Hvis G er urettet, skjer dette hvis og bare hvis G er usammenhengende. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 49 / 54

50 Korteste vei en-til-alle Vi kan finne den korteste veien ved å sette bakoverpekere ( vei ) til den noden som oppdaget oss v o id u v e k t e t ( Node s ) { f o r < h v e r node v > { v. a v s t a n d = UENDELIG ; v. k j e n t = f a l s e ; } s. a v s t a n d = 0 ; f o r ( i n t d i s t = 0 ; d i s t < ANTALL_NODER; d i s t ++) { f o r < h v e r node v > { i f (! v. k j e n t && v. a v s t a n d == d i s t ) { v. k j e n t = t r u e ; f o r < h v e r nabo w t i l v > { i f (w. a v s t a n d == UENDELIG) { w. a v s t a n d = d i s t + 1 ; w. v e i = v ; }}}}}} Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 50 / 54

51 Korteste vei en-til-alle Hovedløkken vil som oftest fortsette etter at alle noder er merket, men den vil terminere selv om ikke alle noder kan nåes fra s. Tidsforbruket er O( V 2 ). Vi sparer tid ved å benytte en kø av noder. Vi begynner med å legge s inn i køen. Så lenge køen ikke er tom, tar vi ut første node i køen, behandler denne og legger dens etterfølgere inn bakerst i køen. Da blir s behandlet først. Så blir alle noder i avstand 1 behandlet før alle i avstand 2, før alle i avstand 3... Denne strategien ligner på bredde først traversering av trær (først rotnoden, så alle noder på nivå 1, så alle noder på nivå 2, osv). Tidsforbruket blir O( E + V ) fordi køoperasjoner tar konstant tid og hver kant og hver node bare blir behandlet en gang. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 51 / 54

52 Korteste vei en-til-alle Korteste uvektet vei fra node s v o id u v e k t e t ( Node s ) { Kø k = new Kø ( ) ; Node v ; f o r < h v e r node n > n. a v s t a n d = UENDELIG ; s. a v s t a n d = 0 ; k. s e t t I n n ( s ) ; w h i l e (! k. isempty ( ) ) { v = k. taut ( ) ; f o r < h v e r nabo w t i l v > { i f (w. a v s t a n d == UENDELIG) { w. a v s t a n d = v. a v s t a n d + 1 ; w. v e i = v ; k. s e t t I n n (w ) ; }}}} Bruken av kø gjør attributtet kjent overflødig. Forutsatt at vi bruker nabolister, er denne algoritmen O( V + E ). Kø-operasjoner tar konstant tid, og hver node og hver kant blir behandlet bare en gang. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 52 / 54

53 Oppsummering Korteste vei en-til-alle Graf: Noder + Kanter Begrep: Rettet, urettet, inngrad, utgrad, sti... Graf traversering: DFS, BFS DAG: Rettet asyklisk graf (topologisk sortering) Avstand: Korteste vei en-til-alle Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 53 / 54

54 Korteste vei en-til-alle Neste forelesning: 28. september Grafer II: Dijkstra, Prim, Kruskal Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 54 / 54