Lars Vidar Magnusson

Transkript

1 B-Trær Lars Vidar Magnusson Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting

2 B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner rød-svarte trær, men er spesialtilpasset for å minimere antall I/O operasjoner. Dette gjør at de er velegnet for bruk i databasesystemer. Denne forelesningen gir en nokså overordnet presentasjon av hvordan et B-tre fungerer.

3 Sammenligning med Rød-Svarte Trær B-trær har til felles med rød-svarte trær at høyden på treet er garantert til å være O(log n). Hvor rød-svarte trær har på det meste to barn på hver node, kan B-trær ha mange barn. B-trær har derfor for større branchfaktor (branching factor) enn rød-svarte trær. Siden B-trær har større branchfaktor vil den nøyaktige høyden til en node være vesentlig mindre enn i et rød-svart tre. At B-trær har større branchfaktor enn rød-svarte trær gjør at basen i logaritmen som beskriver høyden til treet er større enn 2.

4 Hva Karakteriserer B-Trær B-trær er søketrær på lik linje med andre varianter av søketrær, men den relativt store branchfaktoren gjør at de er velegnet for lagring på sekundære lagringsmedium. En intern node x i et B-tre inneholder x.n nøkler. Disse x.n nøklene fungerer som skiller mellom x.n + 1 barn. Nøklene i x definerer intervallet som blir håndtert av x og de deler opp intervallet i delintervaller som blir håndtert av barna til x. Når vi søker i et B-tre gjør vi derfor i hver node et (x.n + 1)-veis valg som tar oss nærmere og nærmere nøkkelen vi leter etter.

5 Et Eksempel på et B-Tre Figuren under viser et eksempel på et B-tre. De lyse nodene er de som blir besøkt under et søk etter R.

6 Datastrukturer på Sekundære Lagringsmedium Til nå så har vi sett på datastrukturer som ligger i primærminnet. Primærminne er ekstremt raskt men relativt dyrt sett i forhold til andre lagringsmedium. De fleste datamaskiner har derfor i tillegg til primærminnet også tilgang på et sekundært lagringsmedium som tar i bruk magnetisk lagring e.g. en harddisk. Det er typiskt mange ganger større plass i sekundære lagrinsmedium enn i primærminnet. Bakdelen er at det er ekstremt tregt å aksessere data sekundære lagringsmedium i forhold til primærminnet.

7 Kort om Harddisker Figuren under viser en typisk harddisk. En harddisk består av en eller flere magnetiserte plater (platter) som roterer i en fast fart rundt en akse (spindel). Platene leses av et lesehode (head) som er festet på en arm som kan beveges fra eller mot rotasjonsaksen.

8 Hastighet på Harddisker Det er vesentlig billigere med harddisker enn primærminne, men harddisker er veldig mye tregere. Harddisker roterer i en fast hastighet på mellom 5400 og rotasjoner per minutt (RPM). I en harddisk med 7200 RPM så tar det 8.33 millisekunder (10 3 sekunder) å rotere en gang rundt aksen i.e. å lese fra disken. Det tar typiskt 50 nanosekunder (10 9 sekunder) å aksessere primærminnet. Vi kan derfor aksessere primærminnet ganger i løpet av tiden det tar å aksessere harddisken. I tillegg spinntiden tar det tid å flytte armen til korrekt posisjon.

9 Analysere Algoritmer som Bruker Sekundærlagring Når vi skal analysere algoritmer som aksesserer sekundære lagrinsmedium må vi ta hensyn til antall diskaksesseringer i tillegg til prosesseringstid. Vi gjør vanlig asymptotisk analyse av begge aspektene. En algoritme som aksesserer sekundær lagringsmedium har derfor to asymptotiske grenser, en for prosessortid og en for antall diskoperasjoner.

10 Harddisker og Sider For å forsikre at aksessering av data på harddisker har en gjennomsnittskjøretid blir den tilgjengelige plassen delt inn i sider (pages). En typisk disk har mellom 2 11 og 2 14 bits i hver side. En node i et B-tre blir tilpasset størrelsen på en side slik at noden fyller en hel side. Dette, sammen med størrelsen på nøklene, bestemmer maks antall nøkler i hver node i.e. branchfaktoren.

11 Branchfaktor og Høyden på B-Trær Branchfaktoren til et B-tre bestemmer høyden til treet. En økning branchfaktoren påvirker høyden til treet dramatiskt. Siden det å aksessere hver node krever en diskaksess vil derfor høyden direkte bestemme antallet diskaksess som trengs for å finne en nøkkel.

12 Et Eksempel B-Tre Figuren under viser et B-tre med branchfaktor på 1001 og høyde 2. Treet har plass til over en milliard nøkler. Vi trenger på det meste to diskaksess for å aksessere ethvert element i treet.

13 B-Trær og Nøkler For enkelhets skyld snakker vi bare som nøklene til elementene i et tre. Eventuell satelittdata kan legges direkte inn sammen med nøklene. Alternativt kan hele elementer/objekter ligge på en egen side på harddisken.

14 Formell Definisjon av B-Trær Et B-tre T er et tre med rot T.root som har følgende egenskaper. Hver node x har følgende atributter x.n holder antallet nøkler som blir lagret i node x. Nøklene x.key 1, x.key 2,..., x.key x. n er organisert i stigende rekkefølge, slik at x.key 1 x.key 2 x.key x. n x.leaf angir om en node er en bladnode eller ikke. En intern node x har i tillegg også x.n + 1 pekere x.c 1, x.c 2,..., x.c n+1 som peker til barna til x. Nøklene x.key i angir delintervallene for nøklene lagret i hvert deltre. Hvis k i er en nøkkel i et deltre med rot x.c i så er k 1 x.key 1 k 2 x.key 2 x.key x. n k x. n+1

15 Formell Definisjon av B-Trær Fortsettelse Et B-tre T er et tre med rot T.root som har i tillegg også følgende egenskaper. Alle bladnoder har samme høyde, som er den samme som høyden til treet, h. Alle noder har en øvre og en nedre grense for hvor mange nøkler (og pekere) som kan lagres. Vi definerer disse grensene ved hjelp av en konstant t 2 som kalles laveste grad (minimum degree) til et B-tre. Alle noder bortsett fra roten må ha minst t 1 nøkler i.e. minst t barn. Hvis treet ikke er tomt må roten ha minst en nøkkel. Ingen noder kan ha flere enn 2t 1 nøker i.e. en node har maks 2t barn. En node er full når den inneholder eksakt 2t 1 nøkler. Det enkleste B-treet får vi hvis t = 2 hvor hver node har enten 2, 3 eller 4 barn.

16 Høyden på et B-Tre Vi har nevnt tidligere at branching faktoren t til et B-tre kontrollerer høyden til et tre og at antall diskaksess som må utføres er proposjonal med høyden. Høyden h til et B-tre med t 2 er log t (n + 1)/2. Dette følger av å løse ulikheten under n 1 + (t 1) = 1 + 2(t 1) = 2t h 1 h i=1 2t i 1 ( t h 1 t 1 Legg merke til at det er snakk om en base-t logaritme. Fordelen til B-trær over rød-svarte trær er at basen kan være vesentlig større enn 2. )

17 Standard Operasjoner på B-Trær Vi skal se på B-Tree-Create, B-Tree-Search og B-Tree-Insert algoritmene. I diskusjonen av disse gjelder følgende. Roten til treet er alltid i hovedminne. Dette gjør at vi slipper å utføre Disk-Read på roten. Vi må dog utføre Disk-Write når rotnoden endres. Når en node sendes som parameter må den allerede ha blitt lest inn fra disk med Disk-Read. Vi skal også se på B-Tree-Delete algoritmen, men det er bare for de to første algoritmene vi gir pseudokode. Alle algoritmene er one-pass i.e. de utfører jobben ved å traversere nedover i treet steg for steg uten å måtte gå oppover (bortsett fra ett unntak i B-Tree-Delete).

18 B-Tree-Create Algoritmen B-Tree-Create algoritmen brukes for å lage et nytt B-tre. Algoritmen bruker en hjelpefunksjon Allocate-Node som allokerer en side på disken til en ny node i O(1) tid. B-Tree-Create(T ) 1 x = Allocate-Node() 2 x. leaf = true 3 x.n = 0 4 Disk-Write(x) 5 T.root = x Kjøretiden til og antall diskoperasjoner i B-Tree-Create er begge O(1).

19 B-Tree-Search Algoritmen Å søke i et B-tre ligner på det å søke i et binært søketre, bortsett fra at vi i hver interne node x gjør et x.n + 1-veis valg. Vi må ta hensyn til at vi har flere nøkler hver node. Algoritmen returner både noden som inneholder nøkkelen og en indeks til nøkkelen i noden. Utifra disse endringene er det enkelt å utføre en orverordnet analyse. Vi har O(log t n) disk operasjoner Vi har CPU arbeidstid på O(t log t n)

20 B-Tree-Search Pseudokode Pseudokoden til B-Tree-Search er listet under. B-Tree-Search(x, k) 1 i = 1 2 while i x.n and k x.key i 3 i = i if i x.n and k == x.key i 5 return (x, i) 6 elseif x. leaf 7 return nil 8 else Disk-Read(x.c i ) 9 return B-Tree-Search(x.c i, k) x er noden som søkes på nåværende tidspunkt k er nøkkelen som det søkes etter i er en indeksvariabel som brukes for å iterere gjennom nøklene i noden

21 Et Gjentagende Eksempel på et B-Tre Figuren under viser et eksempel på et B-tre. De lyse nodene er de som blir besøkt under et søk etter R.

22 B-Tree-Insert Algoritmen B-Tree-Insert er mer kompleks enn innsetting i et vanlig binært tre siden vi ikke bare kan sette inn en ny node for den nye nøkkelen. Vi setter inn nye nøkler ved å finne bladnoden som må inneholde nøkkelen. Vi kan ikke sette inn nøkkelen i node som er full i.e. som har 2t 1 nøkler. Vi splitter en full y node rundt median nøkkelen y.key opp i to noder med t 1 nøkler hver og plasserer y.key i forelderen til y. For å unngå at vi må gå oppover i treet med oppdelingen introduseres det heller et ekstra steg i søket på vei nedover i treet som deler opp alle fulle noder som besøkes. Kjøretiden til algoritmen er O(t log t n) og antall diskoperasjoner er O(log t n).

23 Oppdeling av Fulle Noder Figuren under viser hvordan en full node y = x.c i blir delt opp. Merk at for figuren over så er t = 4.

24 Oppdeling av Full Rotnode Figuren under viser hvordan en full rotnode blir delt opp. Merk at for figuren over så er t = 4.

25 Innsetting i et B-Tre Figurene under viser hvordan et B-tre endres etterhvert som elementer legges til.

26 Innsetting i et B-Tre Figurene under viser hvordan et B-tre endres etterhvert som elementer legges til.

27 B-Tree-Delete Algoritmen B-Tree-Delete algoritmen er ennå litt mer komplisert enn B-Tree-Insert siden algoritmen må ta høyde for at interne noder får for få nøkler. Algoritmen er designet for å slippe å gå oppover i treet ved at man forsikrer at det alltid er minst t nøkler i en node før algoritmen kaller seg rekursivt på noden. Noen ganger må en nøkkel flyttes nedover før et rekursivt kall Det er ett unntak for steg oppover i treet når vi må gå tilbake til en node for å erstatte en nøkkel. Hvis rotnoden noen gang blir tom i.e. uten nøkler (kan skje i tilfelle 2c og 3b) blir noden slettet og det eneste barnet blir ny rotnode. Kjøretiden til algoritmen er O(t log t n) og antall diskoperasjoner er O(log t n).

28 Beskrivelse av B-Tree-Delete Punktene under beskriver hvordan B-Tree-Delete algoritmen fungerer. 1 Hvis nøkkelen k er i node x og x er en bladnode kan vi ganske enkelt slette nøkkelen. 2 Hvis nøkkelen k er i node x og x er en intern node så gjør vi en av følgende a. Hvis barnet y som kommer før k i node x har minst t nøkler finner vi forgjengeren k til k i deltreet med roten y, sletter k rekursivt, og erstatter k med k i x. b. Hvis barnet y har færre enn t nøkler utfører vi den symmetriske operasjonen (vi finner etterkommeren k ) på noden z som kommer etter k i x. c. Hvis både y og z har færre enn t nøkler legges k og hele z inn i y slik at de fjernes fra x før vi sletter k fra y rekursivt.

29 Beskrivelse av B-Tree-Delete Figuren under viser hvordan et B-tre endres under tilfelle 1.

30 Beskrivelse av B-Tree-Delete Figuren under viser hvordan et B-tre endres under tilfelle 2.

31 Beskrivelse av B-Tree-Delete De resterende punktene under beskriver hvordan B-Tree-Delete algoritmen fungerer. 3 Hvis nøkkelen k ikke er den interne noden x må vi gå videre til barnet x.c i som må inneholde nøkkelen. Vi må utføre en av to steg for å forsikre oss at barnet har minst t nøkler. a. Hvis x.c i har t 1 nøkler men har en direkte søskennode som har minst t nøkler så legger vi til en ekstra nøkkel i x.c i fra x, henter en nøkkel fra søskennoden ned i x, og flytter tilhørende peker til x.c i. b. Hvis noden x.c i og begge direkte søskennodene har t 1 nøkler legges x.c i inn i en av søskene sammen med en median nøkkel fra x.

32 Beskrivelse av B-Tree-Delete Figuren under viser hvordan et B-tre endres under tilfelle 3.