Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle

Transkript

1 Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Ole Kristian Pedersen 02. november, 2018 IDI, NTNU

2 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving 11 2 / 36

3 Løsninger teoriøving 10 3 / 36

4 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving 11 4 / 36

5 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? 5 / 36

6 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Vi kan kjøre en en til alle-algoritme (Dijkstra, Bellman-Ford, etc) fra hver node, og lagre alle avstandene. 6 / 36

7 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Med Dijkstra får vi ulike kjøretider avhengig av underliggende datastruktur for prioritetskøen: Lineært array O(V 2 + E) V = O(V 3 + VE) Binær heap O(E lg V ) V = O(VE lg V ) Fibonacci heap O(V lg V + E) V = O(V 2 lg V + VE) 7 / 36

8 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Med Dijkstra får vi ulike kjøretider avhengig av underliggende datastruktur for prioritetskøen: Lineært array O(V 2 + E) V = O(V 3 + VE) Binær heap O(E lg V ) V = O(VE lg V ) Fibonacci heap O(V lg V + E) V = O(V 2 lg V + VE) 8 / 36

9 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Med Dijkstra får vi ulike kjøretider avhengig av underliggende datastruktur for prioritetskøen: Lineært array O(V 2 + E) V = O(V 3 + VE) Binær heap O(E lg V ) V = O(VE lg V ) Fibonacci heap O(V lg V + E) V = O(V 2 lg V + VE) Dette er ikke så verst, men hva om vi har negative kanter? 9 / 36

10 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Med Bellman-Ford får vi kjøretid O(VE) V = O(V 2 E) 10 / 36

11 Alle til alle med Dijkstra & co. Hvordan kan vi finne korteste vei fra alle noder til alle noder? Med Bellman-Ford får vi kjøretid O(VE) V = O(V 2 E) Dette er ikke så bra, og dårligere enn Dijkstra. Kan vi gjøre det bedre? 11 / 36

12 Forgjengergrafer Hvis det finnes en sti fra i til j, så er π ij = forgjengeren til j på en korteste vei fra i til j Ellers π ij = NIL 12 / 36

13 Forgjengergrafer Hvis det finnes en sti fra i til j, så er π ij = forgjengeren til j på en korteste vei fra i til j Ellers π ij = NIL Hvorfor er dette nyttig? 13 / 36

14 Forgjengergrafer Hvorfor er dette nyttig? Flere korteste stier kan gå gjennom samme node, men tar ikke samme nødvendigvis samme kanter til/fra noden. Vi må dermed ha kontroll på hvor vi kom fra. 14 / 36

15 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving / 36

16 Floyd-Warshall Beregner korteste vei, alle til alle. Kjøretid: Θ(V 3 ) Minnebruk: I boka: Θ(V 3 ) (Hvorfor?) I praksis: Θ(V 2 ) Fungerer også med negative kantvekter, men ikke negative sykler. 16 / 36

17 Floyd-Warshall Beregner korteste vei, alle til alle. Kjøretid: Θ(V 3 ) Minnebruk: I boka: Θ(V 3 ) Lagrer D (0)...D (n). I praksis: Θ(V 2 ) Lagrer bare D. Fungerer også med negative kantvekter, men ikke negative sykler. 17 / 36

18 Floyd-Warshall Kjøretid: Θ(V 3 ) Dette går O( E V ) raskere enn Bellman-Ford! Og O( E lg V V ) raskere enn Dijkstra med binær heap! 2 18 / 36

19 Floyd-Warshall Den forenklede algoritmen, som ofte brukes i praksis: 1 n = W.rows 2 D = W 3 f o r k = 1 to n 4 f o r i = 1 to n 5 f o r j = 1 to n 6 d ij = min(d ij, d ik + d kj ) 7 return D 19 / 36

20 Floyd-Warshall Hvorfor fungerer dette? Dynamisk programmering! 20 / 36

21 Floyd-Warshall Hvorfor fungerer dette? Gitt en node k / 36

22 Floyd-Warshall Hvorfor fungerer dette? Gitt en node k... Vi har funnet stier gjennom nodene 1,..., k 1 for alle par med noder. 22 / 36

23 Floyd-Warshall Hvorfor fungerer dette? Gitt en node k... Vi har funnet stier gjennom nodene 1,..., k 1 for alle par med noder. Finner vi en bedre sti via node k? 23 / 36

24 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving / 36

25 Transitive closure Klarer vi finne en sti fra node i til node j? 25 / 36

26 Transitive closure Ikke så ulik Floyd-Warshall! Bruker (logisk eller) og (logisk and) istedenfor hhv. min og / 36

27 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving / 36

28 Johnsons algoritme Hva om vi endrer kantene på grafen slik at vi ikke-negative kantvekter? 28 / 36

29 Johnsons algoritme Hva om vi endrer kantene på grafen slik at vi ikke-negative kantvekter? Vi kan da bruke Dijkstra for å finne alle til alle korteste veier. 29 / 36

30 Johnsons algoritme Vi kan da bruke Dijkstra for å finne alle til alle korteste veier. Johnson lager en ny graf G med en ny node, s. s har kantvekt 0 til alle andre noder. Kjør Bellman-Ford på G fra s. La h(u) være avstanden fra s til u. 30 / 36

31 Johnsons algoritme Vi kan da bruke Dijkstra for å finne alle til alle korteste veier. La h(u) være avstanden fra s til u. Revekt kantene, slik at w (u, v) = w(u, v) + h(u) h(v). Kjør Dijkstra fra alle noder, u, med kantvektene w, og beregn avstand d (u, v), v V. La d uv = d (u, v) + h(v) h(u). 31 / 36

32 Johnsons algoritme Når er dette bedre enn Floyd-Warshall? Kjøretid: Dijkstra m/ fibonacci heap O(V 2 lg V + VE) Dijkstra m/ binary heap O(VE lg V ) Merk at Bellman-Ford ikke påvirker den asymptotiske kjøretiden! 32 / 36

33 Johnsons algoritme Når er dette bedre enn Floyd-Warshall? Kjøretid: Dijkstra m/ fibonacci heap O(V 2 lg V + VE) Dijkstra m/ binary heap O(VE lg V ) Dette blir bedre for glisne (sparse) grafer. 33 / 36

34 Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra & co. Floyd-Warshall Transitive Closure Johnsons algoritme Gjennomgang praksisøving / 36

35 Gjennomgang praksisøving / 36

36 Spørsmål? 36 / 36