Løsningsforslag - Floyd-Warshall

Transkript

1 Sist endret: Hovedside FAQ Beskjeder Timeplan Ukeplan Øvinger Gruppeøving Eksamensoppgaver Pensum Notater Kode/koding Ordliste Kontakt Eksterne ressurser IDI NTNU Utskriftsversjon martme logget inn Poengoversikt Løsningsforslag - Floyd-Warshall [Oppgave] [Levering] [Løsningsforslag] Innleveringsfrist: :00 Du er logget inn og får derfor se om du har svart riktig/feil på de enkelte oppgavene. LF-svar er markert med grønt og feil svar er markert med rødt. Hvis dere er uenige i fasit, oppfordres dere til å diskutere dette på algdats nyhetsgruppe. Denne nyhetsgruppen har også et webgrensesnitt. Oppgave 1 I denne oppgaven ser vi på problemet med å finne korteste vei alle-til-alle i en rettet graf. Du skal benytte deg av følgende algoritme, beskrevet i forelesning: SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST_PATH(W) n = W.rows L (1) = W for m = 2 to n-1 let L (m) be a new (n x n) matrix L (m) = EXTEND-SHORTEST-PATHS(L (m-1), W) return L (n-1) EXTEND-SHORTEST-PATHS(L, W) n = L.rows let L' = (l' ij ) be a new (n x n) matrix for i = 1 to n for j = 1 to n l' ij = Infinity return L' for k = 1 to n l' ij = min(l' ij, l ik + w kj ) For alle deloppgavene, skal du ta utgangspunkt i følgende graf: Hvor L (1) er gitt ved: 1 of 12 12/9/11 6:41 PM

2 Hvordan ser L (2) ut? b) d) b) Hvordan ser L (3) ut? b) d) 2 of 12 12/9/11 6:41 PM

3 Hvordan ser L (5) ut? b) d) d) Hva vil SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATH gi som korteste vei fra node 6 til node 5? (2.5 %) e) Hva er tolkningen av elementet i rad i, kolonne j i matrisen L (3)? (2.5 %) Korteste vei fra node i til node j som får lov til å gå gjennom node 1, 2 og 3 Korteste vei fra i til j som ikke bruker mer enn 3 kanter Korteste vei fra i til j som ikke er innom mer enn 3 noder Matrisen er kun et ledd i utregningen, og elementene har ingen videre betydning Oppgave 2 I denne oppgaven ser vi på problemet med å finne korteste vei alle-til-alle i en rettet graf. Algoritmen du skal benytte er FLOYD-WARSHALL(W), som gjennomgått i forelesning. For alle deloppgavene, skal du ta utgangspunkt i følgende graf: 3 of 12 12/9/11 6:41 PM

4 Hvor D (0) er gitt ved: Hvordan ser D (1) ut? b) d) b) Hvordan ser D (3) ut? 4 of 12 12/9/11 6:41 PM

5 b) d) Hvordan ser D (5) ut? b) d) d) Hva vil Floyd-Warshall gi som korteste vei fra node 3 til node 5? (2.5 %) of 12 12/9/11 6:41 PM

6 e) Hvor mye ekstra data lagrer implementasjonen i læreboka? (2.5 %) Θ(1) Θ(n) Θ(n 2 ) Θ(n 3 ) Lagrer en D-matrise på n x n for alle k fra 0 og til n, dette gir Θ(n 3 ) ekstra lagringsplass. f) Hva er tolkningen av elementet i rad i, kolonne j i matrisen D (3)? (2.5 %) Korteste vei fra node i til node j som får lov til å gå gjennom node 1, 2 og 3 Korteste vei fra i til j som ikke bruker mer enn 3 kanter Korteste vei fra i til j som ikke er innom mer enn 3 noder Matrisen er kun et ledd i utregningen, og elementene har ingen videre betydning Oppgave 3 Warshalls algoritme for å finne transitiv tillukning av en graf er som følger: WARSHALL(G) 1. n = G.V 2. let T (0) = (t ij (0) ) be a new (n x n) matrix 3. for i = 1 to n 4. for j = 1 to n 5. if (i, j) is in G.E 6. (0) t ij = 1 7. else t ij (0) = 0 8. for k = 1 to n 9. let T (k) = (t ij (k) ) be a new (n x n) matrix 10. for i = 1 to n 11. for j = 1 to n // is binary OR, & is binary AND 12. (k) t ij = (k-1) tij (k-1) (tik & (k-1) tkj ) 13.return T (n) Bruk Warshalls algoritme på denne grafen: Matrisen R (k) viser stier med mellomliggende noder nummerert <= k. (a=1, b=2, osv.) Hvordan ser R (2) ut? 6 of 12 12/9/11 6:41 PM

7 b) Hvordan ser R (5) ut? Kan Warshalls algoritme brukes til å avgjøre om en rettet graf er asyklisk? Ja Nei Dersom vi endrer sjekken i linje 5 av Warshalls algoritme til if i == j or (i, j) is in G.E 7 of 12 12/9/11 6:41 PM

8 , og dermed definerer at hver node trivielt kan nå seg selv, får vi en variant Cormen kaller Transitive-Closure. d) Kan Transitive-Closure brukes til å avgjøre om en rettet graf er asyklisk? Ja Nei Oppgave 4 Nedenfor blir det oppgitt forskjellige grafer. Hva er teoretisk raskeste algoritme (best O) for "korteste vei, alle til alle" - problemet i følgende grafer? (Merk: For Dijkstras regner vi med at Extract-Min-operasjonen tar O(V) tid.) Dijkstra, kjørt V ganger Dag-Shortest-path, kjørt V ganger Floyd-Warshall Bellman-Ford, kjørt V ganger Ingen av de nevnte kan løse problemet (uten modifikasjoner) Ingen er entydig best b) Assymptotisk strammeste kjøretid for de(n) raskeste algoritmen(e) i er? (2.5 %) O(1) O(EV+V 2 ) O(VlgE) O(VlgV) O(V 2 +VElgE) O(VE+V 2 +lgv) O(EV 2 ) O(VE 2 ) 8 of 12 12/9/11 6:41 PM

9 O(V 2 ) O(E 3 ) O(V 3 ) Ingen kunne løse problemet Dijkstra, kjørt V ganger Dag-Shortest-path, kjørt V ganger Floyd-Warshall Bellman-Ford, kjørt V ganger Ingen av de nevnte kan løse problemet (uten modifikasjoner) Ingen er entydig best d) Assymptotisk strammeste kjøretid for de(n) raskeste algoritmen(e) i er? (2.5 %) O(1) O(EV+V 2 ) O(VlgE) O(VlgV) O(V 2 +VElgE) O(VE+V 2 +lgv) O(EV 2 ) O(VE 2 ) O(V 2 ) O(E 3 ) O(V 3 ) Ingen kunne løse problemet 9 of 12 12/9/11 6:41 PM

10 e) Dijkstra, kjørt V ganger Dag-Shortest-path, kjørt V ganger Floyd-Warshall Bellman-Ford, kjørt V ganger Ingen av de nevnte kan løse problemet (uten modifikasjoner) Ingen er entydig best Både Floyd-Warshall og Dijkstras har O(V^3) f) Assymptotisk strammeste kjøretid for de(n) raskeste algoritmen(e) i e) er? (2.5 %) O(1) O(EV+V 2 ) O(VlgE) O(VlgV) O(V 2 +VElgE) O(VE+V 2 +lgv) O(EV 2 ) O(VE 2 ) O(V 2 ) O(E 3 ) O(V 3 ) Ingen kunne løse problemet g) 10 of 12 12/9/11 6:41 PM

11 Dijkstra, kjørt V ganger Dag-Shortest-path, kjørt V ganger Floyd-Warshall Bellman-Ford, kjørt V ganger Ingen av de nevnte kan løse problemet (uten modifikasjoner) Ingen er entydig best h) Assymptotisk strammeste kjøretid for de(n) raskeste algoritmen(e) i g) er? (2.5 %) O(1) O(EV+V 2 ) O(VlgE) O(VlgV) O(V 2 +VElgE) O(VE+V 2 +lgv) O(EV 2 ) O(VE 2 ) O(V 2 ) O(E 3 ) O(V 3 ) Ingen kunne løse problemet i) 11 of 12 12/9/11 6:41 PM

12 Her holder det ikke å kun oppdage at det finnes negative sykler Dijkstra, kjørt V ganger Dag-Shortest-path, kjørt V ganger Floyd-Warshall Bellman-Ford, kjørt V ganger Ingen av de nevnte kan løse problemet (uten modifikasjoner) Ingen er entydig best j) Assymptotisk strammeste kjøretid for de(n) raskeste algoritmen(e) i i) er? (2.5 %) O(1) O(EV+V 2 ) O(VlgE) O(VlgV) O(V 2 +VElgE) O(VE+V 2 +lgv) O(EV 2 ) O(VE 2 ) O(V 2 ) O(E 3 ) O(V 3 ) Ingen kunne løse problemet 12 of 12 12/9/11 6:41 PM