Datatyper 2 generatorbasis for T er en endelig mengde T -produsenter som En utspenner hele verdimengden V tilsammen T. utgangspunktet kunne en type ha
|
|
- Endre Bø
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 datatype T representerer en mengde verdier, V En T (av type T )., er praktisk også å assosiere med T en mengde funksjoner, Det uten T i domenet kalles en (relativ) T -konstant. T - produsent med kodomene forskjellig fra T kalles T -observatorer. funksjoner Datatyper 1 F T som opererer på T -verdier., = T (V T,F T ). Datatypen er dermed et par: T -funksjon i F Hver T ha forekomst(er) av T i prolen. En skal -funksjon med kodomenet T kalles en T -produsent. En T - T 0, 1: Nat og ^+^: Nat Nat Nat er Natprodusenter Eksempler: (0 og 1 er Nat-konstanter). ^<^: Nat Nat Bool er en Nat-observator. 1
2 Datatyper 2 generatorbasis for T er en endelig mengde T -produsenter som En utspenner hele verdimengden V tilsammen T. utgangspunktet kunne en type ha ere alternative generatorbaser, I men vi forlanger i det følgende at hver type T har nøyaktig generatorbasis G én T Funksjonene i G. T T -generatorene. kalles lønner seg å velge G Det T liten som mulig. Hvis T -generatorer så argumenter av andre typer enn T, kalles disse underliggende har typer. uttrykk av type T, som bare inneholder generatorer Variabelfrie også generatorer for underliggende typer), kalles basale T - (evt. Mengden GU uttrykk. T basale T -uttrykk kalles generatoruniverset av for T. Ifølge forutsetningen om generatorbasis er alle T -verdier uttrykt i GU T. 2
3 Datatyper 3: eksempler av Boolske verdier: Typen F Bool {f, t: Bool, ^: Bool Bool, = ^ ^, ^ ^,...: Bool Bool Bool,...} G Bool = {f, t} GU Bool = {f, t} F Nat = {0, 1, 2,...: Nat, tall: Naturlige Nat Nat (Suksessor-funksjon), S^: ^+^, ^ ^ ^,...: ^, Nat Nat Nat, ^=^, ^ ^,...: ^<^, Nat Nat Bool,...} G Nat {0, S^} GU = Nat {0, S0, SS0, SSS0,...} = begge typene er der en-entydig korrespondanse mellom basaluttrykkene For i GU og de abstrakte verdiene som V -mengden er å inneholde. Vi sier da at generatorbasis er en-til-en, 1-1, ment at basaluttrykkene er verdiene: V og Bool =GU Bool V, Nat =GU Nat. {0, 1, ^+^} er en generatorbasis for Nat som ikke er
4 Datatyper 4: eksempler Sekvenser seq T er typen av sekvenser av verdier av type T. La V T = {a,b,...}. F seq T = {ε: seq T, ^ : T seq T, ^ ^: seq T T seq T, ^ ^: T seq T seq T, ^ ^: seq T seq T seq T, #^: seq T Nat, ^in^: T seq T Bool,...} G seq T = {ε, ^ ^} GU seq T = {ε, ε a, ε b,...,ε a a, ε a b,...} fornuftige generatorbaser: {ε, ^ ^}, {ε, ^, ^ ^}(ikke 1-1). Andre G seq T {ε, ^ ^}) er 1-1 uansett T. G (og T gir V 1-1 seq T =GU seq T. Mengder F set T = { : set T, {^}: T set T, add: set T T set T T set T Bool, ^ ^: set T set T set T,...} ^ ^: G set T {, add} GU = set T {, add(,a), add(,b),..., = add(add(, a),a), add(add(, a), b),...} generatorbasis: {, {^}, ^ ^}. Alternativ generatorbasis for set T (med T uspesisert) er 1-1. Ingen 4
5 Subtyper innfører følgende relasjoner mellom typer: = (navnelikhet), Vi (subtype) og (disjunkthet). De er alle syntaktisk den- men på en slik måte at de har semantiske konsekvenser for ert, verdimengder: T U V typenes T V U T U V, T V U =. med subtyperelasjonen er å myke opp og forsterke Hensikten typing, bl.a. ved å kontrollere denerthet av uttrykk med streng partielle funksjoner. av type-riktig uttrykk må justeres for subtyper: Et Denisjonen av type T er enten en variabel av type T, eller et uttrykk uttrykk f(e 1,...,e n ), n 0, hvor f : T 1... T n T, og T ei T i hvor e i har typen T ei, i=1,...,n. (Også begrepene produsent- og observatorfunksjon må justeres.) 5
6 Syntaktiske subtyper heltallstypen Int kan det ikke uten videre angis en en-til-en For F.eks. basis {0, S^ (suksessor), N^ (negasjon)} generatorbasis. gir generatoruniverset: {0, S0, N0, SS0, SN0, NS0, NN0,...}. passelig syntaks innfører vi tre basale subtyper til Int, disjunkte Ved pr. denisjon, samt mellomliggende typer: Int by Zero,Nat1,Neg1 Nat = Zero Nat1 with = Neg Zero Neg1 = Nzo Nat1 Neg1 en familie av slike syntaktiske subtyper skal hver generator ha en I subtype som kodomene. Ved også å restriktere domenene slik: basal 0 : Zero, S^ : Nat Nat1, N^ : Nat1 Neg1 func {0, S^, N^} en en-til-en generatorbasis med generatoruniverset: utgjør GU Int {0, S0, SS0, SSS0,..., NS0, NSS0, NSSS0,...}= V = Int. Merk at {0, S^} er generatorbasis for subtypen Nat. 6
7 Semantisk denisjon av ikke-basiske funksjoner Alle funksjoner er denert syntaktisk ved prol. Semantikken generatorer er gitt implisitt (ved at de utspenner en verdimengde). av Semantikken til andre funksjoner kan gis ved eksplisitt denisjon: f(x 1,...,x n ) == HS, V[HS] {x 1,...,x n } denisjon: Direkte inneholder bare kjente funksjoner (inkl. generatorer). HS Eksempel: func S2^ : Nat Nat1 S2x == SSx Rekursjon (direkte): HS inneholder forekomster av funksjonen som deneres. Eksempel: ^+^ : Nat Nat Nat func x+y == if y =0th x el S(x+Py) fi hvor funksjonene if^th^el^fi, ^=^ og P^ (predesessor) antas kjente. 7
8 terminerer for y x, men ikke for y>x. Rekursjonen er x y veldenert for y x og udenert for y>x. Derfor udenert uttrykk har ingen verdi. Et SS0 S0 = S(SS0 SS0) = S0 Eksempler: funksjonsdenisjon f(...) == HS betyr formelt at aksiomet En - f(...) == HS tilføyes formallogikken, men gir i tillegg Partielle funksjoner 1 ^ ^ : Nat Nat Nat func x y == if x=y th 0 el S(x Sy) fi 0 S0 = S(0 SS0) = SS(0 SSS0) =... func f : T T f(x) == f(x) er udenert x : T. informasjon om denertheten av funksjonen f. 8
9 Partielle funksjoner 2 rekursjon svarer operasjonelt til en regneprosess Ikke-terminerende som aldri tar slutt. Det er bedre å avbryte øyeblikkelig med (og feilmelding). Derfor leveregelen: Abort if Ill-Dened abort (AID). innfører derfor et uttrykk uten verdi, som leder til abort ved Vi Uttrykket har typen, som er tom, V evaluering. og er =, til alle andre typer. Dermed er et formelt akseptabelt subtype i enhver posisjon. argument funksjonsdenisjoner er bedre i praktisk forstand og Følgende mer eksplisitte enn denisjonene på forrige foil. dessuten x y == if y x th if x=y th 0 el S(x Sy) fiel fi f(x) == 9
10 Partielle funksjoner 3 denisjon f(...) == HS kan ses som en ligning med Rekursiv som ukjent. Den kan ha mange løsninger. Isåfall ønsker f den minst denerte løsningen, det såkalte minste kspunkt vi denerthetsordningen ^ ^. etter f g, der f, g : T U, betyr at funksjonen g er veldenert der f f g x:t d f(x) (d g(x) f(x)=g(x)) = er det, og har da samme verdi: sier at g er bedre denert enn f (eller lik), og at f er en Vi til g. Vi har: f g g f f =g. approksimasjon Eksempel: har d Vi x y og x y d x y Følgelig gjelder ^ ^ ^ ^ t. Int Int Int. hvis begge funksjoner tolkes med prol 10
11 Denerthet av uttrykk, monotonitet bruker notasjonen ^ ^ som en relasjon mellom uttrykk: Vi også e 1 e de1 2 = (d e2 e 1 ) =e 2 Sterk likhet, ==, er en nyttig relasjon for å resonnere om som ikke alltid er veldenerte: uttrykk e 1 ==e 2 = e1 e 2 e 2 e 1 Vi har: e 1 ==e 2 d e1 =d e2 (d e1 e 1 =e 2 ). eller == er implementerbare (om udenerthet kan Verken ikke-terminering). For eksempel skal == ha ver- skyldes t, men hvis betyr ikke-terminering, kan ikke uttrykket dien og er dermed udenert. terminere må en funksjon være monoton mht. denerthet for å Generelt implementeres: e 1 e 2 f(...,e 1,...) f(...,e 2,...). kunne 11
12 Totalitet og strikthet funksjon er total hvis den har verdi for alle veldenerte (og En argumenter: d e1 d e2... d typeriktige) en d f(e1,e 2,...,e n. ) En funksjon er partiell hvis den ikke er total. funksjon strikt i i'te argument, e En er i en applikasjon bare, hvis veldenert om argumentet er det: d f(e1,e kan være 2,...,e d n ) e i. funksjon er strikt hvis den er strikt i alle argumenter. Strikthet En til call by value av argumenter. Generatorer er totale og svarer strikte. trenger ikke-strikte funksjoner, f.eks. Boolske operatorer: Uttrykket Vi x y x y x, for x, y :Nat, skal være veldenert (lik t) for alle verdier av x og y, også om x er mindre enn y. 12
13 Generatorinduksjon er en måte å sveipe over et generatorunivers Generatorinduksjon ved å betrakte en generator av gangen. Eksempler: genbas Nat : 0 : Zero, S^ : Nat Nat1 ^+^ : Nat Nat Nat func x+y == case y of 0 x Sy S(x+y ) fo x+0 == x, x+sy == S(x+y) eller: ^ ^ : Nat Nat Nat func x y == case y of 0 x Sy case x 0 of Sx x y fo fo x 0 == x, 0 Sy ==, Sx Sy == x y eller: P^ : Nat1 Nat func Px == case x of Sx x fo, eller : PSx == x 13
14 Terminerende Generator-Induksjon (TGI) syntaktisk termineringskontroll: Enkel argument skal være syntaktisk enklere i hvert rekursive Induktivt kall enn i venstresiden i case-frie aksiomer. er lett å lage sterkere syntaktisk kontroll, f.eks. anvende Det ovenfor leksikogrask hvis ere argumenter er induktive. kriteriet eksempelet, Ackermann-funksjonen, er enten første argument i I rekursivt kall enklere, eller det er lik argumentet i venstresiden et og andre argument er enklere. Ack : Nat Nat Nat func Ack (x, y) == case x of 0 Sy Sx case y of Ack (x, S0) Sy Ack (x, Ack (Sx, y)) fo fo 0 Ack (0,y) == Sy, Ack (Sx, 0) == Ack (x, S0), eller: Ack Sy) == (Sx, Ack (x, Ack y)) (Sx, 14
15 For spesielt interesserte nner: Ack (0,y) = y+1 Vi (1,y) = y+2 Ack (2,y) = Ack (3,y) = Ack (y+3 to-tall) med denisjoner som tilfredsstiller det enkleste syntaktiske Funksjoner termineringskravet, og som høyst bygger på slike funk- kalles primitivt rekursive. Ackermann-funksjonen er ikke sjoner, Det kan vises at den øker raskere med økende argument- PR. verdier enn noen PR funksjon. (4,y) = 2 Ack (y+3 to-tall) (y+3 to-tall) Ack (4, 0) = = 13 Eksempler: Ack 1) = 2 (4, 3 = = Ack (4, 2) = =
: set T, add : set T T set T
1 Likhet over en vilkårlig type T Likhet ^=^ : T T Bool er en relasjon over GU T som skal tilfredsstille følgende krav: - x = x (reeksivitet) E1: - x = y y = x (symmetri) E2: E3: - x = y y = z x = z (transitivitet)
Detaljerx as U == if P (x) th x qua U el fi
- - - - - - - endmodule Typemoduler 1: Oppramstype type T == {a,b,...,c} svarer til: Oppramstype: T == module type a,b,...,c: T genbas a,b,...,c 1-1 succ, pred : T T ^^, ^ ^ : T T Bool succ(x)
Detaljerv : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn
Detaljervar y :{x :T R}; S endvar y
uttrykk av formen some x : T R selekterer ikke-deterministisk Et T -verdi som tilfredsstiller R, det vil si en verdi av subtypen en skal regnes med i den applikative delen av programmeringsspråket, some-uttrykk
DetaljerAksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.
Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.
DetaljerForelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk
Forelesning 2-30. januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon INF5170 { Logikkseminar Tirsdager 14:15-16:00 pa Buerommet (3. etg, I). Flg med pa forskning og aktuelle temaer
DetaljerINF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
DetaljerHvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
DetaljerINF3140 Modeller for parallellitet INF3140/4140: Programanalyse
INF3140/4140: Programanalyse Uke 4, side 1. Hvordan sjekke egenskaper ved programmer? Testing eller debugging øker tilliten til programmet ved prøving, men gir ingen garanti for korrekthet Operasjonell
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
DetaljerForelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler
DetaljerINF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerPlenumsregning 9. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Oppgaver fra forelesningene. Oppgave (fra forelesningen 10/3).
Plenumsregning 9 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3). a) Ved å bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skritt
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En Scheme-evaluator i Scheme, del 2
INF2810: Funksjonell programmering INF2810: Funksjonell Programmering En Scheme-evaluator i Scheme, del 2 Erik Velldal Universitetet i Oslo 7. mai 2015 Tema Forrige uke SICP 4.1. Structure and interpretation
DetaljerInjektive og surjektive funksjoner
Injektive og surjektive funksjoner Christian F. Heide 5. september 07 Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et supplement til avsnitt.5 i boken «Mathem»
DetaljerMAT1030 Forelesning 19
MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En metasirkulær evaluator, del 2
INF2810: Funksjonell Programmering En metasirkulær evaluator, del 2 Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 03. mai 2013 Tema 2 Forrige uke SICP 4.1. Structure and interpretation of computer
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En metasirkulær evaluator, del 2
INF2810: Funksjonell Programmering En metasirkulær evaluator, del 2 Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 03. mai 2013 Tema 2 Forrige uke SICP 4.1. Structure and interpretation of computer
DetaljerTyper. 1 Type: boolean. 2 Verdimengde: {true, false} 3 Operatorer: NOT, AND, OR... 1/19. Forelesning Forelesning
Dagens tema Typer (Kapittel 3 frem til 331) Innføring i ML (Kapittel 743 & ML-kompendiet) Typer En (data-)type består av: en mengde verdier en mengde operasjoner man kan anvende på disse verdiene Eksempel:
DetaljerINF3110 Programmeringsspråk. Dagens tema. Typer (Kapittel 3 frem til ) Innføring i ML (Kapittel & ML-kompendiet.) 1/19
Dagens tema Typer (Kapittel 3 frem til 3.3.1.) Innføring i ML (Kapittel 7.4.3 & ML-kompendiet.) 1/19 Forelesning 2 27.8.2003 Typer En (data-)type består av: en mengde verdier en mengde operasjoner man
DetaljerGenerell rekursjon og induksjon. at(n) + bt(n 1) + ct(n 2) = 0
Forelesning 17 Generell rekursjon og induksjon Dag Normann - 10. mars 2008 Opphenting Forrige uke så vi på rekurrenslikninger. En rekurrenslikning er en funksjonslikning på formen at(n) + bt(n 1) + ct(n
DetaljerDagens tema Syntaks (kapittel Komp. 47, kap. 1 og 2)
Dagens tema Syntaks (kapittel 2.1 + Komp. 47, kap. 1 og 2) 1/19 Forelesning 6 1.10.2003 Litt om kompilering og interpretering En kompilator oversetter et program til et annet språk, for eksempel maskinspråk.
DetaljerLitt om kompilering og interpretering. Dagens tema Syntaks (kapittel Komp. 47, kap. 1 og 2) Syntaks og semantikk
Litt om kompilering og interpretering Dagens tema Syntaks (kapittel 2. + Komp. 47, kap. og 2) En kompilator oversetter et program til et annet språk, for eksempel maskinspråk. Et program interpreteres
DetaljerTypisk: Kan det være både nøkkelord og navn, så skal det ansees som nøkkelord
Scanning-I Kap. 2 Hovedmål Gå ut fra en beskrivelse av de enkelte leksemer (tokens), og hvordan de skal deles opp i klasser Lage et program (funksjon, prosedyre, metode) som leverer ett og ett token, med
DetaljerForelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige
DetaljerTypisk: Kan det være både nøkkelord og navn, så skal det ansees som nøkkelord
Scanning - I Kap. 2 Hovedmål Gå ut fra en beskrivelse av de enkelte tokens, og hvordan de skal deles opp i klasser Lage et program (funksjon, prosedyre, metode) som leverer ett og ett token, med all nødvendig
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 17: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. mars 2008 Opphenting Forrige uke så vi på rekurrenslikninger. En rekurrenslikning
DetaljerINF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En Scheme-evaluator i Scheme, del 2
INF2810: Funksjonell Programmering En Scheme-evaluator i Scheme, del 2 Erik Velldal Universitetet i Oslo 4. mai 2017 Tema 2 Forrige uke SICP 4.1. Structure and interpretation of computer programs Metacircular
DetaljerDette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:
Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerOppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver
Oppgaver fra forelesningene MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2810 Eksamensdag: 5. juni, 2014 Tid for eksamen: 14:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler:
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En Scheme-evaluator i Scheme, del 2
INF2810: Funksjonell Programmering En Scheme-evaluator i Scheme, del 2 Erik Velldal Universitetet i Oslo 4. mai 2017 Tema 2 Forrige uke SICP 4.1. Structure and interpretation of computer programs Metacircular
DetaljerSkanning del I INF /01/15 1
Skanning del I INF 5110-2015 21/01/15 1 Skanning: innhold (begge forelesningene) Hva gjør en skanner? Input: Programteksten. Output: Ett og ett token fra programteksten (sekvensielt). Regulære uttrykk/definisjoner.
DetaljerLøsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor
Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerScanning - I Kap. 2. Hva scanneren gjør
Scanning - I Kap. 2!! Hovedmål! Gå ut fra en beskrivelse av de enkelte tokens, og hvordan de skal deles opp i klasser! Lage et program (funksjon, prosedyre, metode) som leverer ett og ett token, med all
DetaljerSkanning del I. Kapittel 2 INF 3110/ INF
Skanning del I Kapittel 2 18.01.2013 1 Skanning: innhold (begge forelesningene) Hva gjør en skanner? Input: programteksten. Output: Ett og ett token fra programteksten (sekvensielt). Regulære uttrykk/definisjoner.
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerDagens tema Innføring i ML - del IV
Dagens tema Innføring i ML - del IV Mønstergjenkjenning Litt om funksjoner & likhetstyper Anonyme funksjoner Begrenset skop - let Funksjonsrom og currierte funksjoner Litt av hvert - greit å ta med seg
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3110/4110 Programmeringsspråk Eksamensdag: 2. desember 2003 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerPlan: Parameter-overføring Alias Typer (Ghezzi&Jazayeri kap.3 frem til 3.3.1) IN 211 Programmeringsspråk
Plan: Parameter-overføring Alias Typer (Ghezzi&Jazayeri kap.3 frem til 3.3.1) Funksjonelle språk (Ghezzi&Jazayeri kap.7 frem til 7.4) Neste uke: ML Ark 1 av 16 Forelesning 16.10.2000 Parameteroverføring
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerPlan. Fortsetter med ML: lister og rekursive typer/funksjoner unntak let-uttrykk moduler og abstrakte datatyper høyere-ordens funksjoner
Plan Fortsetter med ML: lister og rekursive typer/funksjoner unntak let-uttrykk moduler og abstrakte datatyper høyere-ordens funksjoner Ark 1 av 19 Forelesning 25.10.1999 Uendelig datatype i ML - datatype
DetaljerForelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
DetaljerSlides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn
DetaljerFOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
DetaljerNotat med oppgaver for MAT1140
Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis
DetaljerFortsetter med ML: Repetisjon av lister Typer Unntak Moduler og abstrakte datatyper Introduksjon til høyere-ordens funksjoner
Dagens tema Fortsetter med ML: Repetisjon av lister Typer Unntak Moduler og abstrakte datatyper Introduksjon til høyere-ordens funksjoner ML avsluttes etter planen neste uke. Ark 1 av 21 Forelesning 03.09.2001
DetaljerSlides til 12.1 Formelt språk og formell grammatikk
Slides til 12.1 Formelt språk og formell grammatikk Andreas Leopold Knutsen April 6, 2010 Introduksjon Grammatikk er studiet av reglene som gjelder i et språk. Syntaks er læren om hvordan ord settes sammen
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
DetaljerLO118D Forelesning 6 (DM)
LO118D Forelesning 6 (DM) Rekurrensrelasjoner 10.09.2007 1 Rekurrensrelasjoner Rekurrensrelasjoner En rekurrensrelasjon definerer det n-te elementet i en følge i forhold til de foregående elementene. Følgen
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
Detaljer1/28. Forelesning Forelesning / fun f (_,0) = true. 2 f(0,_)=true. 3 f_ =false; 4 val f = fn : int * int -> bool
Dagens tema Innføring i ML - del IV Mønstergjenkjenning Litt om funksjoner & likhetstyper Anonyme funksjoner Begrenset skop - let Litt av hvert - greit å ta med seg Avsluttende kommentarer - spørsmål?
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerINF1800 Forelesning 18
INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse
DetaljerRepetisjon og noen løse tråder
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15
DetaljerFinne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
DetaljerRepetisjon: Statiske språk uten rekursive metoder (C1 og C2) Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7)
Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri.6,.7) Repetisjon Språk med rekursjon (C3) og blokker (C4) Statisk link Dynamisk allokering (C5) Parameteroverføring 1/5 Repetisjon: Statiske språk uten rekursive
DetaljerIntroduksjon til Hoare-logikk. og abstrakte typer. Kompendium nr 55 IN 217. Ole Christian Lingj rde. Universitetet i Oslo. Institutt for informatikk
Introduksjon til Hoare-logikk og abstrakte typer Kompendium nr 55 IN 217 av Ole Christian Lingj rde Universitetet i Oslo Institutt for informatikk Januar 1997 Forord Dette kompendiet omtaler endel emner
DetaljerDagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7)
Dagens tema Kjøresystemer (Ghezzi&Jazayeri 2.6, 2.7) Repetisjon Språk med rekursjon (C3) og blokker (C4) Statisk link Dynamisk allokering (C5) Parameteroverføring 1/25 Forelesning 11 5.11.2003 Repetisjon:
DetaljerDet utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler. Semantikk: Denisjon av sannhet og gyldighet
Forelesning 4-13. februar 2006 Intuisjonistisk logikk 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til na i kurset Det utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler Bevissystem: sekventkalkylen LK for klassisk
DetaljerMAT1030 Forelesning 18
MAT1030 Forelesning 18 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 24. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-24 17:17) Rest fra sist Rest fra sist En litt håpløs måte å sende en kryptert binær sekvens
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En Scheme-evaluator i Scheme
INF2810: Funksjonell Programmering En Scheme-evaluator i Scheme Erik Velldal Universitetet i Oslo 19. april 2016 Tema 2 Forrige uke Strømmer og utsatt evaluering Kort om makroer I dag Kap. 4 Metasirkulær
DetaljerINF5110 V2013 Stoff som i boka står i kap 4, men som er generelt stoff om grammatikker
INF5110 V2013 Stoff som i boka står i kap 4, men som er generelt stoff om grammatikker 29. januar 2013 Stein Krogdahl, Ifi, UiO NB: Ikke undervisning fredag 1. februar! Oppgaver som gjennomgås 5. februar
DetaljerRest fra sist. MAT1030 Diskret Matematikk. Rest fra sist. Rest fra sist. Eksempel (Fortsatt) Eksempel. Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-24 17:18) MAT1030 Diskret
DetaljerGenerell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler
DetaljerSemantisk Analyse del I
Semantisk Analyse del I Attributtgrammatikker Kapittel 6.1-6.2 26.02.2013 1 Statisk semantisk analyse kapittel 6: Innhold Generelt om statisk semantisk analyse Attributt-grammatikker (kapittel 6.1-6.2)
DetaljerBOKMÅL Side 1 av 5. KONTERINGSEKSAMEN I FAG TDT4102 Prosedyre og objektorientert programmering. Onsdag 6. august 2008 Kl. 09.00 13.
BOKMÅL Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTERINGSEKSAMEN
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2810 Eksamensdag: Fredag 5. juni 2015 Tid for eksamen: 14:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider (ikke medregnet denne siden)
DetaljerAnatomien til en kompilator - I
Anatomien til en kompilator - I 5/22/2006 1 Framgangsmåte for automatisk å lage en scanner Beskriv de forskjellige token-klassene som regulære uttrykk Eller litt mer fleksibelt, som regulære definisjoner
DetaljerNivå 1: Formelspråket. Formelle bevis: språk-nivåer 2: Sekventer, P 1,P 2,...,P Nivå n Q, n 0, omtaler formler. En - er en påstand om logisk konsekven
DERFOR: i i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 211 Programmeringsspråk Eksamensdag: 4. desember 2002 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 10 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEivind Gard Lund. 24. Mars 2009 Foilene bygger på 2009 utgaven av Andreas Svendsen
Eivind Gard Lund 24. Mars 2009 Foilene bygger på 2009 utgaven av Andreas Svendsen Informasjon Semantikksjekk Kodegenerering Oblig 2 tilgjengelig på kurssiden Bygger på deres oblig 1 kode. Det er lagt ut
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 29. november 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) Oppgave
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i IN 211 høsten 2002
Løsningsforslag til eksamen i IN 211 høsten 2002 Ragnhild Kobro Runde og Gerhard Skagestein 4. desember 2002 Oppgave 1: Kjøresystemer 1a: Statisk skop Print-setningen vil skrive ut 2, da det i C er main
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En Scheme-evaluator i Scheme
INF2810: Funksjonell Programmering En Scheme-evaluator i Scheme Erik Velldal Universitetet i Oslo 27. april 2017 Tema 2 Forrige forelesning Strømmer og utsatt evaluering Kort om makroer I dag Kap. 4 Metasirkulær
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. Kommentarer til prøveeksamen
INF2810: Funksjonell programmering INF2810: Funksjonell Programmering Kommentarer til prøveeksamen Erik Velldal Universitetet i Oslo 1: Grunnleggende (6 poeng)? (define foo '(a b))? (define bar foo)? (set!
DetaljerKap.4 Funksjoner. Tre viktig ting ifm. funksjoner: parameter (input) oppskrift (body) for å beregne resultat (output)
1 Kap.4 Funksjoner Tre viktig ting ifm. funksjoner: navn parameter (input) oppskrift (body) for å beregne resultat (output) Syntaks: = Deklarerte funksjoner kan brukes i uttrykk
DetaljerKap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005. Arne Maus Ifi, UiO
Kap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005 Arne Maus Ifi, UiO Innhold Motivering Boka gir først parsering uten First/Follow-mengder og så innfører dem. Vi tar teorien først First og Follow-mengder Fjerning
DetaljerPlan. Fortsetter med ML: lister og rekursive typer/funksjoner unntak let-uttrykk moduler og abstrakte datatyper høyere-ordens funksjoner
Plan Fortsetter med ML: lister og rekursive typer/funksjoner unntak let-uttrykk moduler og abstrakte datatyper høyere-ordens funksjoner Ark 1 av 20 Funksjoner over lister Typisk mønster for funksjoner
DetaljerINF5110 V2012 Kapittel 4: Parsering ovenfra-ned
INF5110 V2012 Kapittel 4: Parsering ovenfra-ned (top-down) Tirsdag 7. februar Stein Krogdahl, Ifi, UiO Oppgaver som gjennomgås i morgen, onsdag: -Spørsmålene på de to siste foilene fra onsdag 1/2 (Bl.a.
DetaljerMekanisert snittsøk i elementær tallteori. Hovedpunkter i foredraget
Mekanisert snittsøk i elementær tallteori Gyrd Brændeland Seminaret i matematisk logikk 2003-05-22 1 Hovedpunkter i foredraget 1. Nytt: Tallteori med snitteliminasjon 2. Gangen i beviset for hovedresultatet:
DetaljerOppfriskningskurs dag 2
Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to
DetaljerINF2810: Funksjonell Programmering. En metasirkulær evaluator
INF2810: Funksjonell Programmering En metasirkulær evaluator Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 26. april 2013 Tema 2 Forrige uke Strømmer og utsatt evaluering Memoisering Kort om makroer
Detaljer