w 2 3w i = 2iw, där i är den imaginära enheten. Uppgift 2=Kontrollskrivning 2 (2p). Varför är matrisen

Transkript

1 Tentamensskrivning, kompletteringskurs i matematik, 5B4, den 0 april 00, klockan Inga hjälpmedel är tillåtna. et är två sidor med uppgifter. För betyget 3 räcker det med sammanlagt 6 poäng, för betyget 4 krävs det (preliminärt) minst 40 poäng och för betyget 5 krävs 5 poäng. Lykke til! Uppgift =Kontrollskrivning (p). Lös ekvationen där i är den imaginära enheten. w 3w + + 3i = iw, Uppgift =Kontrollskrivning (p). Varför är matrisen [ ] diagonaliserbar? Uppgift 3=Kontrollskrivning 3 (p). Hitta en ekvation för tangentplanet till z + y 3 z + 4 y = i punkten (,, ). Uppgift 4 (4p). Antag att f(u, v) har kontiunerliga partiella derivator, och låt u = y och v = y. Uttryck f y i f,, f, och f,. Uppgift 5 (4p). Parametrisera rymdkurvan som bestäms av ekvationerna + y = och z = y. Uppgift 6 (4p). Beräkna rotationen (curl) och divergensen (div) till vektorfältet F (, y, z) = (yz, z, ). Uppgift 7 (6p). Kurvan + y = och linjen y = definerar ett begränsat område i planet. Beräkna dubbelintegralen da. Uppgift 8 (6p). Vektorfältet F (, y) = (y e + sin(), ye + cos(y)) är konservativt. Hitta alla potentialfunktioner Φ(, y) till F (, y). Uppgift 9 (6p). Låt T vara den begränsade kropp som bestäms av den ihåliga cylindern + y 4, z 0 och planet + y + z = 6. Beräkna volymen av T. Uppgift 0 (7p). Låt vara området som bestäms av olikheterna + y och. Beräkna integralen + y da. Uppgift (7p). Bestäm ma och min till funktionen f(, y) = y y definerad på området y 4.

2 Uppgift (8p). Låt S vara halvklotet + y + z =, 0. Låt N vara enhetsnormalfältet till S med positiv -koordinat. Beräkna flödesintegralen S ( sin(y) + 3y +, cos(y) y 3, + y) NdS. Uppgift 3 (4p+4p). Låt matrisen M = [ ] 0 representera en linjär avbildning T M : R 3 R med avseende på någon given bas. a) Bestäm nollrummet till T M. b) Visa at T M är på (surjektiv).

3 Svar. Vi kvadratkompletterer og får Skiss til løsning (w (3 i)) = 3i + 4 (3 + i) = 4. Løsning. Ligningen har w 3w + + 3i = iw har løsninger w = ± + (3 + i). Svar. Matrisen er symmetrisk og derfor diagonaliserbar. Svar 3. Gradienten f til funksjonen f(, y, z) = z + y 3 z + 4 y i punktet P = (,, ) er (z y, 3y z + 4, z + y 3 ) P = (4 4, 3 +, ) = (0, 7, 3). ermed er (0, 7, 3) en normal vektor til tangenplanet til nivåytan f(, y, z) = i punktet P. En ligning for tangentplanet er således (, y +, z )(0, 7, 3) = 7(y + ) + 3(z ) = 0. Løsning. En ligning for tangentplanet er 7y + 3z + = 0. Svar 4. Kedjeregelen gir at Og dermed at y = f u y + f v y = f + f f y = (f u, + f v, ) + (f u, + f v, ) = (f, + 0 f, ) + (f, + 0 f, ) = f, + 4f,. Svar 5. Sirkelen +y = i planet parametriserer vi som ( cos t, sin t) med 0 t π. Romkurven sin z-komponent gis av den andre ligningen z = y slik at en parametrisering av kurven er ( cos(t), sin(t), (cos(t) sin(t))) 0 t π. Svar 6. ivergensen til vektorfeltet ivf = 0. Rotasjonen får vi ved determinantent i j k curlf = y z = (0, y, z z) = (, y, 0). yz z Svar 7. Når man løser ut y = og y = så får man at = og =. ette (og figur muligens) gir at da = dyd = ( 3 )d = [ ] = =

4 Svar 8. Vi integrerer den andre komponenten med hensyn på y og får at Φ(, y) = y e + sin(y) + C(). eriverer vi denne med hensyn på får vi etter sammenligning med den første komponenten til F at C () = sin(), dvs C() = cos() + C, for vilkårlige konstanter C. Løsning. Potensialene er Φ(, y) = y e + sin(y) cos() + C, for vilkårlige konstanter C. Svar 9. En skiss av planet + y + z = 6 gir at det søkte integralet er (i sylinderkoordinataer) π dv = (6 r cos(θ) r sin(θ))r drdθ T = π 0 6r dr = π3(4 ) = 8π. Svar 0. I polære koordinater gis av ulikhetene (her må man nok tenke og jobbe litt) π/4 θ π/4 og / cos(θ) r. et søkte integralet blir da π/4 + y da = = π/4 π/4 π/4 /cos(θ) cos(θ)drdθ [ cos(θ) ]dθ = π/ = 4 π Svar. Kritiske punkt finner vi ved derivering. = y = 0 gir y = ±. = y y = y( ) = 0 gir =. y isse to punktene (, ) og (, ) ligger ikke i det indre av vårt definisjonsområde. Vi ser nå på rand. en ene randkurven C gis av y =. Vi kan dele opp C som to funksjongrafer y = og y =, med 0 4 (merk at dette gir et hjørnepunkt (0, 0)). Restrikjsonen av f til C gir f(c ) =. erivering gir den kritiske verdien = 0 =. Følgelig har vi de to kritiske punktene (, ) og (, ). Restriksjonen til den andre randkurven = 4 gir 4y 4 y = 3y 4 som har kritiske punkt som bestäms av 6y = 0, dvs y = 0. Kandidater for ekstremverdier er da punktene (, ) og (, ) som ligger på randkurven C og (4, 0) på C, samt hjørnepunktene (0, 0), (4, ) og (4, ) e tilhørende funksjonsverdiene er f(, ±) =, f(4, 0) = 4, f(0, 0) = 0 og f(4, ±) = 8. 4

5 Løsning. Høyest verdi 8 over punktene (4, ±) og lavest verdi -4 over punktet (4, 0). Svar. ivergensen til vektorfeltet F = ( sin(y) + 3y +, cos(y) y 3, + y) er iv(f ) = 0. Vidre så har vi at S og ytan P som gis av = 0, y + z danner randen til halvbollen B, dvs. + y + z, 0. Av ivergenssatsen har vi da at 0 = divf dv = F Nds + F N ds, der N er konstantfeltet (, 0, 0). Vi har at da P er kun disken av radie. P B F N ds = Løsning. et søkte flødet er π. S y +z P da = π, Svar 3. I oppgave a) så skal vi bestemme de punkt [, y, z] t slik at M[, y, z] t = 0. Vi kan merke oss at matrisen M allerede er på Gauss-Jordan form (dog ikke redusert form) slik at løsningen kan leses direkte ut. Vi setter z = t, og får da at y + t = 0, dvs y = t, og til sist at t + t = 0, dvs = t. Løsning til a). Nullrommet gis av t t reelle tall t. t Svar 3b). Her skal vi vise at om [a, b] t er et gitt punkt i planet R, da kan vi alltid finne minst ett punkt [, y, z] t i rommet R 3 slik at T [, y, z] t = [a, b] t. ette gir et ligningssystem hvis systemmatris ser ut som [ ] a. 0 b Vi kan sette z = t og får da at y = b t og = a b t. vs, for hvert punkt [a, b] t kan vi finne en hel linje som sendes på puntet med T M, spesielt er avbildningen surjektiv. 5