Eksamensoppgaver og Matematikk 1B

Transkript

1 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Samlet for SIF55 Matematikk våren Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 75 og 75 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden Oppgaver eller punkter som faller helt eller delvis utenfor pensum i SIF55 er ikke tatt med. Oppgavene er grovt inndelt i fire grupper, en for hvert av kapitlene 5 i Edwards & Penne. En fasit starter på side. På vil du kunne finne en liste over eventuelle kjente feil i fasiten eller oppgavesettet for øvrig. Der kan du også finne ut hvordan du rapporterer om feil du selv finner, og du kan hente siste versjon av samlingen. Oppgave (995 5 : 75 oppgave ) a) (Dette punktet faller utenfor pensum i SIF55.) b) La K være romkurven gitt ved r(t) =cost ı +sint j +t k, t π. Gjør rede for at K ligger på en slinderflate og skisser K. La L betegne tangenten til K i punktet (cos t, sin t, t ). Finn en parameterfremstilling for L og bestem skjæringspunktet mellom L og -planet. Oppgave (99 5 9: 75 oppgave, 75 oppgave ) Gitt funksjonen f(, ) =, definert for alle punkter (, ) (, ). + a) Skisser noen tpiske nivåkurver for f. Avgjør om lim f(, ) eksisterer. (,) (,) b) Beregn den retningsderiverte til f i(, ) i retningen,. I hvilken retning er den retningsderiverte størst i (, )? Oppgave (99 5 9: 75 oppgave, 75 oppgave ) Gitt funksjonen f(, ) =e ( + )/, definert for alle punkter (, ). Bestem eventuelle kritiske punkter for f. Avgjør om f har noen største eller minste verdi, og angi i så fall disse verdiene. Oppgave (99 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Gitt funksjonen f(, ) = definert for alle punkter (, ) iområdet R gitt ved ulikheten + +. a) Finn og klassifiser eventuelle kritiske punkter for f i det indre av R. b) Bestem absolutt maksimum og absolutt minimum for f påområdet R. Oppgave 5 (995 5 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Du befinner deg i punktet P =(,, 5) på en fjellside hvor høden over havet er gitt ved = Du beveger deg i retningen gitt ved v = ı + j. Hva er da vinkelen med horisontalplanet? I hvilke retninger kan du gå frap for å beholde samme høde? Oppgave 6 (995 5 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Et åpent trau er formet som på figuren. Bunnflata er et rektangel med bredde og lengde >. Endeflatene er plane flater som består av et rektangel og to kvartsirkler med radius >. TrauetharetgittvolumV = V.LaA betegne overflata til trauet, dvs. bunnflata, de to endeflatene og de to krumme sideflatene. Vis at A kan skrives på formen A = V + π + V. Bestem dimensjonene (, og ) som gjør overflata minst mulig, og regn ut dette arealet. Det skal påvises at den funne verdien virkelig gir minst mulig areal. Oppgave 7 (995 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) La α og β være positive konstanter, og la f være funksjonen gitt ved f(, ) = α β,,. a) Vis at den største verdien M som f oppnår under bibetingelsen α + β = er gitt ved ( ) α+β M =. α + β b) Når α og β varierer vil også maksimumsverdien M variere. Bruk differensialer til å finne et tilnærmet uttrkk for forandringen i M når α øker fra til + α og β øker fra til + β.

2 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave 8 ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) Temperaturen ( ) i et punkt (, ) i en sirkulær skive + ergittved funksjonen 8 T (, ) =+ + +, +. a) Bestem punktet (punktene) der temperaturen er høest. Hva er temperaturen der? b) Finn temperaturendringen pr. lengdeenhet i punktet (, ) i retning mot origo. I hvilken retning øker temperaturen mest i punktet (, )? c) (Dette punktet faller utenfor pensum i SIF55.) Oppgave 9 ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) En åpen grøft har tverrsnitt formet som et trapes, som på figuren. θ θ Det er gitt at tverrsnittet skal ha areal lik. Finn summen S av lengdene av de tre sidene i tverrsnittet uttrkt ved og θ. Bestem, og θ slik at S blir minst mulig, og finn denne minste verdien til S. Detskalpåvises at den funne verdien virkelig er den minste. Oppgave ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) Funksjonen f er gitt ved f(, )=, f(, ) = når (, ) (, ). 6 + a) Bestem lim f(, ) når (, ) (, ) langs enhver rett linje gjennom origo. b) Vis at innenfor enhver sirkel med sentrum i origo fins punkter (, )derf(, ) =. Avgjør om f er kontinuerlig i origo. Undersøk om de partiellderiverte f f (, ) og (, ) eksisterer. Oppgave ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) Et spedisjonsfirma krever at dimensjonene på rektangulære kasser må være slik at lengden pluss to ganger bredden pluss to ganger høden ikke overskrider meter (l +b +h ). Hva er volumet av den største kassen som firmaet vil ta imot? Oppgave (997 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) I en modell for hvor mange pasienter som kan behandles pr. år på et visst legesenter, avhenger antall pasienter N av antall leger L, antall skepleiere S og antall hjelpepleiere H etter formelen N = L,5 S,5 H,. Legesenteret skal et år bruke 5 millioner kroner til å lønne leger, skepleiere og hjelpepleiere årslønnen for leger er, for skepleiere og for hjelpepleiere 5. Hvis flest mulig pasienter skal bli behandlet, hvor mange leger, skepleiere og hjelpepleiere må legesenteret ansette? Oppgave (99 8 : 75 oppgave ) La A være området begrenset av linjene =, =, = og = med tetthet ρ(, ) =( + ) /. Bruk polarkoordinater til å finne massen av A. Oppgave (99 5 9: 75 oppgave, 75 oppgave 5) La T være legemet begrenset av -planet, den parabolske slinderflaten = og planet =. Finn massen til T når tettheten er ρ(,, ) =+. Oppgave 5 (99 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Beregn dobbeltintegralet cos d d ved å btte om integrasjonsrekkefølgen. Oppgave 6 (99 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) La flaten S være gitt ved parameterfremstillingen r(u, v) = u v, u + v, uv der u og v er slik at u + v. Finn arealet til S. Oppgave 7 (995 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Et volum kan utrkkes som en sum av itererte integral V = ( / ) f(, ) d d + ( ) f(, ) d d, hvor f(, ). Skisser integrasjonsområdet i -planet, og uttrkk V med integrasjonsrekkefølgen bttet om.

3 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B 5 6 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave 8 ( : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) La D være en tnn plate i -planet begrenset av de rette linjene =, =, = og kurven =. Finn massen til D når tettheten i (, ) ergittved ρ(, ) = ( ) e. Oppgave (997 8 : 75 oppgave, 75 oppgave ) Et legeme T med konstant tetthet lik og grunnflate i -planet er begrenset av flatene = e ( + ) og + = a der a er en positiv konstant. Bestem a slik at tngdepunktet til T blir (,, /8). Oppgave 9 ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) a) La S være den del av kuleflata ρ = a der φ φ φ og θ θ θ.her betegner ρ, φ og θ kulekoordinater, slik at S har parametrisering = a sin φ cos θ, = a sin φ sin θ, = a cos φ. Vis at arealet av S er gitt ved θ φ θ φ a sin φdφdθ. Oppgave (997 8 : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) Flaten S på figuren har parameterfremstilling r(u, v) =(u +v ) ı + uv j +(u + v ) k der u og v. Vis at r u r v = (v u ) ı +uv j + (u v ) k og beregn arealet av S. b) Finn arealet av Tromsøflaket i Barentshavet som er begrenset av breddesirklene på7 og 7 nord og lengdesirklene på 9 og øst. Sett jordradien til 67 km. Oppgave ( : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) Figuren viser en modell av en idrettshall i et -koordinatsstem. Modellen er slik at sideveggen er en del av slinderflata + =, gulvet er den delen av -planet som ligger innenfor slinderflata, og taket er den delen av grafen til =+ som ligger innenfor slinderflata. a) Beregn volumet av modellen. b) Beregn arealet av taket av modellen. c) Beregn arealet av sideveggen av modellen. Oppgave ( : 75 oppgave ) Romlegemet T er beskrevet ved,,. Finn massen m av T når tettheten er gitt ved ρ(,, ) =( +)e. Oppgave (99 8 : 75 oppgave ) La T være området begrenset av =+, + = og =,ogla F = ı j +( +) k a) Finn volumet av T. La S være den slindriske delen av overflaten til T,oglaS være den delen av overflaten til T som ligger på sadelflaten. b) Finn arealet av S. c) Finn F nds der n er enhetsnormal til S og oppfller n k >. S d) Finn F nds. S e) Finn F d r der er skjæringskurven mellom S og S orientert med klokka sett ovenfra. Oppgave 5 (99 8 : 75 oppgave ) La f(, ) ha kontinuerlige partielle deriverte av første og annen orden i et område A i -planet som er begrenset av en stkkevis glatt, enkel lukket kurve. Vis at hvis f + f = i A, såer f d = f d.

4 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B 7 8 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave 6 (99 5 9: 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) Gitt vektorfeltet F (,, ) = e,e,. a) Avgjør om F er et konservativt vektorfelt, dvs. om F er en gradient. b) Finn verdien av linjeintegralet F T ds når er romkurven med parameterfremstilling =cost, =sint, = t, t π. Oppgave 7 (99 5 9: 75 oppgave 7, 75 oppgave 7) La være sirkelen + =,ogla være kurven med ligning r = cos θ i polarkoordinater. og orienteres mot urviseren, og R betegner området mellom og. a) Bestem linjeintegralet, henholdsvis dobbeltintegralet ( + ) d + ( + ) d, R ( + ) da. b) Bruk Greens teorem og resultatene i (a) til å finne verdien av linjeintegralet ( + ) d + ( + ) d. Oppgave 8 (99 8 : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) a) La være det rette linjestkket fra (, )til(, ). Vis at d+ d = ( ). La (, ), (, ), (, ),...,( n, n ) være hjørnene i en n-kant, nummerert mot urviseren. Vis at arealet A av n-kanten er gitt ved A = [( )+( )+ +( n n )]. Oppgave 9 (99 8 : 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) La S være den del av paraboloiden = der, og la T være legemet begrenset av S og planet =. a) Anta at T har konstant massetetthet ρ =. Bestem massen til T og koordinatene til massesenteret. b) Gitt vektorfeltet F = g(, ) ı + h(, ) j + k der g og h har kontinuerlige partiellderiverte som oppfller betingelsen g + h = for alle,. Finn verdien av flateintegralet F nds der n er enhetsnormalvektoren til S med positiv k-komponent. S Oppgave (995 5 : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) Figuren viser et romlig område T begrenset av flatene =+ og = + og planene a) Finn volumet av T. Finn verdien av flateintegralet F nds = og =. Dessuten er det gitt et vektorfelt F ved S F (,, ) =(e + ) j. der S er overflata til T og n er tre enhetsnormal. b) Overflata S er sammensatt av to plane flatestkker Π (i planet =)ogπ (i planet = ) og to krumme flatestkker Σ (øverst) og Σ (nederst). Finn b) Finn verdien av linjeintegralet (sin( ) ) d + + d der er randkurven, orienterert mot urviseren, til firkanten med hjørner i (, ), (, ), (, ) og (, ). verdien av integralene F nds og Π Finn også verdien av integralene F nds og Σ F nds. Π F nds. Σ

5 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B 9 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave (995 5 : 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) a) Beregn volumet som er begrenset av paraboloiden = og -planet. Tegn figur. b) Blant alle stkkevis glatte, enkle, lukkede, positivt orienterte kurver i planet, finn den som er slik at arbeidet W = F T ds utført av kraftfeltet F =( + 6 ) ı + j er størst. Hva blir maksimumsverdien av W? Oppgave (995 8 : 75 oppgave 5, 75 oppgave 5) La T være legemet begrenset av slinderen + =,flata =cos( + )og planet =,ogla F (,, ) =( ) i +( ) j +( +) k. a) Skisser T og beregn sentroiden (tngdepunktet) til T. b) Finn F T ( ) ds = F d r der er skjæringskurven mellom slinderen + =ogflata =cos( + ), orientert mot urviseren sett ovenfra. Oppgave (995 8 : 75 oppgave 6) a) Bestem funksjonen h() slik at vektorfeltet F gitt ved F (,, ) = ı + j + h() k blir konservativt, og finn i dette tilfellet en potensialfunksjon f(,, ) for F. b) La K være romkurven med vektorfremstilling Beregn linjeintegralet når h() = og når h() =. r(t) =t ı + t j + t k, t. K d + d+ h() d Oppgave ( : 75 oppgave, 75 oppgave ) La F være kraftfeltet gitt ved F (, ) =( +) ı +(6 + cos ) j. a) Undersøk om F er et konservativt vektorfelt. Vis at arbeidet W L = F T ds L som F utfører ved å føre en partikkel langs det rette linjestkket L fra A(, ) til B(, ) er W L =sin. b) La R være området i første kvadrant begrenset av sirkelen + =ogden rette linje + =. La være randkurven til R orientert mot urviseren. Bruk Greens teorem til å beregne linjeintegralet ( +) d +(6 + cos ) d. Hva blir arbeidet som F utfører ved å føre en partikkel langs sirkelen + = mot urviseren fra B(, ) til A(, )? Oppgave 5 ( : 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) a) Finn verdien av flateintegralene De to flatene = + og = ( + ) skjærer hverandre langs en kurve. LaS være den (begrensede) delen av flata = + som begrenses av, oglas være den (begrensede) delen av flata = ( + ) som begrenses av. La vektorfeltet G være definert ved der a og b er konstanter. S G nds og G(,, ) =a j +b k S G nds der n i begge integralene er flatas oppoverrettete enhetsnormal. b) Hvilke vektorfelt av formen F (,, ) =P (, ) ı + Q(, ) j + R(, ) k er slik at curl F = G? Finn verdien av linjeintegralet (kurveintegralet) a d + b( + ) d + d der er orientert mot urviseren sett ovenfra.

6 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave 6 ( : 75 oppgave 6, 75 oppgave 5) La T være romlegemet begrenset av flata = + + og planet =. Videre er vektorfeltet F gitt ved F (,, ) =( + ) ı +( ) j +( + ) k. a) Regn ut volumet av T, og finn sentroiden (massesenteret, tngdepunktet) til T når tettheten antas å være konstant lik. b) Finn div F og curl F. Avgjør om F er gradienten til en skalarfunksjon. c) Regn ut flateintegralet F nds S når S er den delen av overflata til T som tilhører flata = + +,og n er enhetsnormalen til S som peker nedover. d) La være skjæringskurven mellom flata = + + og planet =, orientert med omløpsretning mot urviseren, sett ovenfra. Finn verdien av linjeintegralet F T ds. Oppgave 7 ( : 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) La F være vektorfeltet gitt ved F (,, ) = ı + j +( + ) k. a) Undersøk om F er konservativt, og beregn linjeintegralet F T ds når er kurven gitt ved r(t) =e t sin ( t π ) ( tπ ) ı + e t cos j + e t t k, t. b) La T være romlegemet begrenset av de to flatene + = og + =. Skjæringskurven mellom de to flatene ligger på en sirkulær slinderflate. Finn en ligning til denne slinderflata i slinderkoordinater. La S være overflata til T og n den tre enhetsnormalen på S. Beregn fluksen F nds Oppgave 8 (997 8 : 75 oppgave 6, 75 oppgave 6) Et vektorfelt F er gitt for (,, ) (,, ) ved F (,, ) = ı + j + k, (,, ) (,, ). ( + + ) / a) La S betegne kuleflaten med ligning + + =, og la n være enhetsnormalen som peker mot origo. Vis at F n er konstant på S og beregn fluksen F n ds S av F gjennom S i retning av n. b) La S være ellipsoideflaten med ligning =, og la T være det romlige området mellom S og S. Vis at div F = for alle (,, ) T, og bruk dette til å finne fluksen F n ds av F gjennom S i retning av tre enhetsnormal n. S Oppgave 9 (997 8 : 75 oppgave 7, 75 oppgave 7) La være skjæringskurven mellom paraboloiden = + + og planet = +. Omløpsretningen til skal være mot urviseren, sett ovenfra. La videre F være vektorfeltet gitt ved F (,, ) = ı +( + ) j + k. a) Vis at projeksjonen av kurven ned i -planet er en sirkel. Finn en parameterfremstilling for, og bruk parameterfremstillingen til å evaluere linjeintegralet F T ds. ( ) b) Finn curl F og kontroller svaret i a) vedå bruke Stokes teorem til åevaluere linjeintegralet ( ). av F ut over S. S Oppgitt formel: cos n θdθ= cosn θ sin θ n + n n cos n θdθ.

7 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Fasit Oppgave b) =cost t sin t, =sint + t cos t, =t +t, <t< (cos t + t sin t,sint t cos t, ) Oppgave a) Grenseverdien eksisterer ikke 8 b) 5 5; 5, 6 Oppgave (, ), (, ±), (, ±); f ma =/e; f min = /e Oppgave a) Lokalt minimumspunkt (, ) b) f ma = 6; f min = 56 7 Oppgave 5 arctan(/ ) = 7,5 ; ± 7, Oppgave 6 =, =(V /π) /, =(V /π) /, A ma =π / V / Oppgave 7 b) M ( + ln )( α + β) Oppgave 8 a) ±(, );, b) 9 8 ;, Oppgave 9 S = + cos θ sin θ S min = / for = /, = /, θ = π/ Oppgave a) b) f (, ) = f (, ) = Oppgave m Oppgave L =5,S =9,H =8 Oppgave ( ) Oppgave 5 Oppgave 5 sin 8 Oppgave 6 π(6 6 8) Oppgave 7 f(, ) d d Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oppgave 8 (e ) Oppgave 9 b) 8 km Oppgave a) π b) ) c) π Oppgave e Oppgave ln Oppgave 6 Oppgave a) π b) 5 ) 6 c) π d) e) π Oppgave 5 (Greens teorem) Oppgave 6 a) F er konservativt b) π / Oppgave 7 a) π; π 9 b) π 6 Oppgave 8 b) 9 Oppgave 9 a) π/; (,, b) 7 Oppgave a) π ; b), ;, Oppgave a) π b) : + =, positivt orientert, W =π Oppgave a) =, ȳ =, =(+sin)/(8 sin ) b) π

8 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B 5 Oppgave b) h() = ; f(,, ) = + c) når h() =; 6 når h() = Oppgave a) Ikke konservativt b) ; sin Oppgave 5 a) 6 6 b) P (, ) =a + f(), Q(, ) =b + g(), R(, ) =h() 6 Oppgave 6 a) V =( 7 + )π; =ȳ =, = + ) b) div F =, curlf =,,, F er ikke en gradient c) 99 π d) 7π Oppgave 7 a) e b) r = cosθ; π 6 Eksamensoppgaver 75 og 75 Matematikk B Oversikt over enkelteksamener For hver eksamen er listet oppgavenumrene i dette heftet som eksamen besto av. Hvis en eksamensoppgave ikke er med her (fordi den faller utenom pensum i SIF55), er oppgavenummeret erstattet med en strek. For eksempel har oppgave 6 fra våreksamen 996 i 75 nummeret 5 i denne samlingen :,,, :,,,,, 6, 7 75:,,,,, 6, :,, 5, 6, 8, 9 75:,, 5, 6, 8, :, 5, 6,,, 75:, 5, 6,,, :,, 7, 7,,, 75:,, 7, 7,,, :,, 8,, 8, 5 75:,, 8,, 8, :,, 9, 9,, 6 75:,, 9, 9, :,,,,, 7 75:,,,,, :,,,,, 8, 9 75:,,,,, 8, 9 Oppgave 8 a) π b) π Oppgave 9 a) =cost, =sint, = cost +sint, t π 8π b) k; 8π