Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning

Transkript

1 Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning Anna Lindgren november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 1/17

2 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt värde på θ med sannolikheten 1 α. 1 α kallas konfidensgrad. Vanliga värden är 0.95, 0.99 och Intervall för normal(approximation) Om θ N(θ, D(θ )) eller θ N(θ, D(θ )): Om D(θ ) känd: I θ = θ ± λ α/2 D(θ ) Om D(θ ) okänd, skattas med d(θ ): I θ = θ ± t α/2 (f) d(θ ) om d(θ ) innehåller σ = s = I θ = θ ± λ α/2 d(θ ) annars Q f Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 2/17

3 Ex Hypotesprövning Exempel: Fosforhalt Man har mätt fosforhalten (μg/l) i en viss sjö n = 4 gånger: Vi antar att mätningarna är oberoende observationer av X i N(μ, σ) där μ är den sanna fosforhalten i sjön. Vi vet att σ = 16 och skattar μ = x = Om fosforhalten i en sjö överstiger 100 μg/l klassas sjön som hypertrof (övergödd). Kan vi påstå att sjön är övergödd, baserat på dessa fyra mätningar? Är 100 ett orimligt väntevärde om skattningen blev ? (Konfidensintervall) Ligger bland de värden man inte kan förvänta sig att få om väntevärdet är 100? (Kritiskt område) Hur osannolikt är värdet om väntevärdet är 100? (Direktmetoden) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 3/17

4 Ex Hypotesprövning Hypotesprövning H 0 förkastas om observationerna, θ, avviker för mycket från nollhypotesen θ 0. Testa nollhypotesen H 0 : θ = θ 0 mot mothypotesen (t.ex.) H 1 : θ θ 0 på nivån α; signifikansnivån (felrisken) α ges av α = P(H 0 förkastas, givet att den är sann) För mycket beror på osäkerheten i skattningen, D(θ ), samt på signifikansnivån α. Normalt är α = 0.05, 0.01 eller Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 4/17

5 Ex Hypotesprövning Mothypoteser De vanligaste mothypoteserna är H 1 : θ θ 0 H 0 förkastas om θ avviker för långt från θ 0 både uppåt och nedåt. H 1 : θ < θ 0 H 0 förkastas om θ är tillräckligt mycket < θ 0. H 1 : θ > θ 0 H 0 förkastas om θ är tillräckligt mycket > θ 0. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 5/17

6 Normalfördelning Fosforhalt Olika metoder för att utföra hypotestest 1. Konfidensmetoden. Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 1 α och förkasta H 0 på nivån α om intervallet ej täcker θ 0. Intervallen skall, beroende på H 1, vara Test H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 Intervall: uppåt begr tvåsidigt nedåt begr 2. Testkvantitet T(X) och kritiskt område C Förkasta H 0 om testkvantiteten hamnar i det kritiska området. C och T skall väljas så att α = P(T(X) C) = P(Förkasta H 0 om H 0 är sann) 3. Direktmetoden eller P-värde Antag att H 0 är sann Räkna ut P-värdet p = P(Få det vi fått eller värre) Förkasta H0 om p < α Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 6/17

7 Normalfördelning Fosforhalt Normalfördelning, θ N (θ, D(θ )), H 0 : θ = θ 0 Testkvantitet: T = θ θ 0 D(θ ), D(θ ) känd T = θ θ 0 d(θ ), D(θ ) okänd och σ = s = Förkasta H 0 om (kritiska områden) Q f H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 D(θ ) känd T < λ α T > λ α/2 T > λ α D(θ ) okänd T < t α (f) T > t α/2 (f) T > t α (f) Jfr. kvantiler λ α eller t α med konfidensintervallen. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 7/17

8 Normalfördelning Fosforhalt Lämplig procedur för lösningar: 1. Modell och problem: Vad är slumpmässigt och vilken fördelning kan det ha? Inför beteckningar, sätt upp en lämplig modell och formulera problemet. 2. Skattning: Vilken parameter är vi intresserade av, vad i den är okänt och hur skattar vi det? 3. Egenskaper: Vad har skattningen för egenskaper? 4. Lösning: Lös problemet. 5. Slutsats: Svara på frågan. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 8/17

9 Normalfördelning Fosforhalt Exempel: Fosforhalt(igen) 1. Modell och problem: Vi har n = 4 oberoende observationer x 1,..., x n från X i = fosformätning nr. i N(μ, σ) där σ = 16 är känd. Vi vill testa H 0 : μ = 100 mot H 1 : μ > 100 på signifikansnivån (t.ex.) α = Skattning: Vi skattar μ med μ = x = Egenskaper: Vi har att μ = X σ 16 (μ, ) = N(μ, ) = N(μ, 8). n 4 4. Lösning:... Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 9/17

10 Normalfördelning Fosforhalt 4.a: Konfidensintervall (ensidigt!) I μ = (μ λ α D(μ ), ) = ( x λ 0.05 = ( , ) = (93.8, ) σ n, ) Eftersom μ 0 = 100 ligger i intervallet kan H 0 inte förkastas på signifikansnivå α = Slutsats: Vi kan inte påstå att sjön är övergödd. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 10/17

11 Normalfördelning Fosforhalt 4.b: Kritiskt område: Om H 0 är sann så gäller att μ N(μ 0, Teststorheten blir t = μ μ 0 D(μ ) = x = σ n ) = N(100, 8) Eftersom t λ α = λ 0.05 = 1.64 kan H 0 inte förkastas på signifikansnivån α = Slutsats: Vi kan inte påstår att sjön är övergödd. = Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 11/17

12 Normalfördelning Fosforhalt 4.c: Direktmetoden: Om H 0 är sann så gäller att μ N(μ 0, σ n ) = N(100, 8). P-värdet för testet blir P = P(få det vi fått eller värre om H 0 är sann) = P( X > x μ = μ 0 ) = P( X > μ = 100) = 1 Φ( x μ 0 σ/ n = 1 Φ(0.87) = ) = 1 Φ( ) 8 Eftersom P = 0.19 α = 0.05 kan H 0 inte förkastas på signifikansnivån α = Slutsats:Vi kan inte påstår att sjön är övergödd. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 12/17

13 Rattonykterhet Styrkefunktion & Felrisker Styrkefunktion Används för att avgöra hur bra testet skiljer H 0 från H 1. h(θ) = P(Förkasta H 0 om θ är rätt värde) Typ 1-fel: Typ 2-fel: α = P(H 0 förkastas om H 0 sann) β = P(H 0 förkastas ej om H 0 ej sann) Vi ser att α = h(θ 0 ). Om rätt värde på θ är θ 1 fås β = 1 h(θ 1 ). Naturens okända sanning H 0 sann H 1 sann Vårt H 0 förk. ej β beslut H 0 förkastas α Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 13/17

14 Rattonykterhet Felrisker Antag n = 5 observationer från en N (μ, 1) fördelning. Om vi vill testa H 0 : μ = 1 H 1 : μ > 1 blir fördelningen för μ då H 0 är sann respektive om μ = 2: Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 14/17

15 Rattonykterhet Exempel: Rattonykterhet Gränsen för rattonykterhet är 0.2. Antag att mätvärdet vid en mätning, x i, är X i = μ + ε i där μ är den sanna alkoholhalten och ε i är oberoende, N(0, 0.04)-fördelade mätfel. För att avgöra om en person är skyldig till rattonykterhet kan man testa hypotesen på nivån α = H 0 : μ = 0.2 mot H 1 : μ > 0.2 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 15/17

16 Rattonykterhet 1. Ange i ord vad felrisken α = P(Förkasta H 0 om H 0 är sann) innebär i hypotestestet ovan. 2. Om man gjort n = 3 mätningar och fått medelalkoholhalten till x = 0.24, skall man då dömas? 3. Hur högt kan det uppmätta medelvärdet, baserat på tre mätningar, vara utan att man döms? 4. Bestäm styrkefunktionen för testet. Dvs h(μ) = P(H 0 förkastas om μ är det sanna värdet) 5. Om den sanna alkoholhalten är 0.25, vad är då sannolikheten att inte dömas. 6. Hur många mätningar behöver göras för att man med högst β = 0.20 skall frikännas om man har 0.25? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 16/17

17 Rattonykterhet Styrkefunktion för testet av promillehalt (H 0 : μ = 0.2) h(µ) = P(Förkasta H 0 ) n = 3, σ = faktisk alkoholhalt µ n fördubblad resp. σ halverad faktisk alkoholhalt µ Den okända sanningen Nykter Olovligt påverkad Mätresultat μ = x Säkerhetsmarginal Kritiskt område Slutsats från test Frikänns Döms μ Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 17/17