Lite teori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Lite teori... Dagens meny

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Lite teori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Lite teori... Dagens meny"

Morten Christiansen
4 år siden
Visninger:

1 Lite teori... Påminnner först om faltningsegenskapen hos Fouriertransformen. y(t) = x(t) h(t) F Y (ω) = X(ω)H(ω). (1) På liknande sätt motsvaras en multiplikation i tidsplanet av en faltning i frekvensplanet, enligt y(t) = x(t)h(t) F Y (ω) = 1 X(ω) H(ω). (2) 2π Mätteknik & Signalbehandling SME118 Johan Carlson EISLAB Luleå tekniska universitet johanc@sm.luth.se Johan Carlson 3 Johan Carlson 1 Lite teori... Dagens meny Faltning med enhetspulser är enkelt! x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ), (3) dvs. vi får tillbaka en kopia av x(t) vid positionen för δ(t t 0 ), dvs. vid t = t 0. På samma sätt gäller i frekvensplanet att: X(ω) δ(ω ω 0 ) = X(ω ω 0 ). (4) Enligt linjäritetsprincipen fås även faltning med en summa av enhetspulser enkelt enligt: x(t) [δ(t t 0 ) + δ(t t 1 )] = x(t t 0 ) + x(t t 1 ). (5) Lite teori... Amplitudmodulering och demodulering synkront. AM och AM-demodulering asynkront. Frekvensdelade system. Digital kommunikation Kanalutjämning. Johan Carlson 4 Johan Carlson 2

2 Demodulering e jω ct Lite teori... Den utsända signalen kan enkelt återskapas genom att demodulera den på motsvarande sätt, genom att multiplicera med e jω ct. Alltså: och y(t) = x(t)c(t) = x(t)e jω ct, (10) x(t) = y(t)e jω ct = ( x(t)e jω ct ) e jω ct = x(t)e jω ct jω c t = x(t). (11) Fouriertransformen av den komplexa exponentialfunktionen ges enligt formelsamlingen av: F{e jω 0t } = 2πδ(ω ω 0 ), (6) och Fouriertransformen av en cosinus ges av F{cos(ω 0 t)} = π [δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )]. (7) Johan Carlson 7 Johan Carlson 5 Modulering cos(ω c t) Amplitudmodulering e jω ct Ett enklare, och ibland lika effektivt sätt att modulera signalen x(t) till bärvågsfrekvensen ω c är att använda cos(ω c t)istället för den komplexa exponentialfunktionen, dvs, I frekvensplanet motsvaras detta av y(t) = cos(ω c t)x(t). (12) Y (ω) = 1 2π X(ω) π [δ(ω ω c) + δ(ω + ω c )] (13) = 1 2 [X(ω ω c) + X(ω + ω x )] (14) Antag att vi har en signal x(t) vars Fouriertransform X(ω) är bandbegränsad så att den är noll utanför intervallet ω m till ω m. Vi vill nu skifta denna i frekvens (modulera) så att den hamnar runt bärvågsfrekvensen ω c. Detta kan då göras genom att multiplicera x(t) med en komplex exponential, enligt: y(t) = x(t)c(t) = x(t)e jω ct. (8) Detta ger då Y (ω) = X(ω ω c ). (9) Johan Carlson 8 Johan Carlson 6

3 Demodulering och fasskift e j(ω ct+φ c ) Demodulering cos(ω c t) Om x(t) är positiv (x(t) > 0) kan den återskapas genom att ta absolutbeloppet av z(t) från föregående bild, enligt z(t) = x(t)e j(φ c θ c ) = x(t) e j(φ c θ c ) = x(t). (17) Om x(t) är positiv så är x(t) = x(t). Demodulering är nästan lika enkelt som i fallet med den komplexa exponentialfunktionen. Multiplikation med cos(ω c t) ger: [ 1 z(t) = y(t) cos(ω c t) = x(t) cos 2 (ω c t) = x(t) ] 2 cos(2ω ct). (15) Vi får alltså tillbaka halva ursprungssignalen x(t) samt en kopia vid dubbla bärvågsfrekvensen (2ω c ). Genom att låta z(t) passera genom ett lågpassfilter som har amplitud 2 i passbandet, återfås x(t). Johan Carlson 11 Johan Carlson 9 Demodulering och fasskift cos(ω c t + φ c ) Demodulering och fasskift e j(ω ct+φ c ) För modulering med cos(ω c t + φ c ) och demodulering med cos(ω c t + θ c ) blir motsvarande resultat Efter förenkling fås z(t) = y(t) cos(ω c t + θ c ) = x(t) cos(ω c t + φ c ) cos(ω c t + θ c ). (18) z(t) = x(t) [ 1 2 cos(φ c θ c ) + 1 ] 2 cos(2ω ct + φ c + θ c ). (19) Problem: I verkligheten (särkilt i trådlösa system) är sändare och mottagare inte synkroniserade i tid. Det innebär att den mottagna signalen är en fördröjd version av den utsända. Detta kan tas med i beräkningen genom att lägga till en fasterm i exponenten till bärvågen. Den demodulerade signalen blir då (om ingen hänsyn tas till fasskillnaden): ( ) z(t) = y(t)e j(ω ct+θ c ) = x(t)e j(ω ct+φ c ) e j(ω ct+θ c ) = x(t)e j(φ c θ c ). (16) Johan Carlson 12 Johan Carlson 10

4 Frekvensdelade system Demodulering och fasskift cos(ω c t + φ c ) Om flera användare var och en använder mindre än den totala tillgängliga bandbredden, kan systemet delas in i olika underbärvågor De N olika underbärvågorna ω k, k = 1..N måste vara separereade i frekvens så att det är möjligt att separera de olika användarnas signaler från varandra. Olika typer av frekvensdelning används idag i flera kommersiella system: OFDM Digital-radio, HiperLAN2 (trådlöst nätverk) ADSL Bredbandsmodem. VDSL Nästa generations höghastighetsmodem ( 50 Mbit/s) Termen med dubbla frekvensen tas som tidigare bort genom att skicka z(t) genom ett lågpassfilter med amplitud 2 i passbandet. Då får vi w(t) = x(t) cos(φ c + θ c ). (20) Problem: Om φ c θ c = π/2 blir utsignalen lika med noll. Om φ c θ c = 0 blir w(t) = x(t).. Det är under alla omständigheter viktigt att fasskillnaden φ c θ c hålls konstant om demoduleringen ska fungera. I t.ex. mobila system är inte detta praktiskt. Vi behöver ett sätt att kunna demodulera utan att känna fasskillnaden. Johan Carlson 15 Johan Carlson 13 Digital kommunikation Asynkron demodulering När digital information (mönster av bitar) ska föras över med radio, kan bitmönstren kodas för olika analoga vågformer. Om vi t.ex. kan sända de fyra olika signalerna x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t) genom att skicka y(t) = x k (t) cos(ω c t), så kan vi föra över 2 bitar per symbol. Låt t.ex. 00 x 1 (t) 01 x 2 (t) 10 x 3 (t) 11 x 4 (t) Om bärvågsfrekvensen, ω c, är mycket större än bandbredden (2ω M ) för X(ω), och x(t) är positiv, kan man approximera från den modulerade signalen y(t) = x(t) cos(ω c t) med en sk. envelope-detektor. En positiv signal in till modulator kan åstadkommas genom att addera en konstant A till signalen, så att A max x(t). Johan Carlson 16 Johan Carlson 14

5 Kanalutjämning Synkronisering Metoder för att kompensera för ISI kallas kanalutjämning. För att kunna göra detta behöver man ofta veta hur kanalen ser ut. I mobila system är detta inte alltid så enkelt. För att kunna avkoda de symboler som tas emot måste sändare och mottagare synkroniseras. Enklaste sättet att synkronisera sändare och mottagare är att skicka en känd sekvens i uppkopplingsfasen av överföringen. Eftersom mottagaren också känner symbolen kan man räkna ut överföringskanalens tidsfördröjning genom att jämföra referenssymbolen med den som tagits emot. Johan Carlson 19 Johan Carlson 17 Kanalutjämning I praktiska kommunikationssystem är det inte bara en tidsfördröjning eller brus som stör en signal under vägen från sändare till mottagare. Flervägsutbredning (multipla ekon från olika föremål) leder till att delar av signalen kommer fram till mottagaren. Om ekon från tidigare signaler anländer samtidigt som den aktuella signalen, kommer det att störa avkodningen. Antag att mottagen signal är y k (t) = x k (t) + a 1 x k 1 (t t 1 ) + a 2 x k 2 (t t 2 ), (21) och att fördxröjningarna t 1 och t 2 är mindre än längden av signalerna x k 1 och x k 2. Vi har då vad som kallas intersymbolinterferens, ISI. Johan Carlson 18

Like dokumenter

Prov i matematik Matematiska institutionen. Transformmetoder Julia Viro

Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 5--9 Skrivtid: 5. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application Maxpoäng