Allmän relativitetsteori och Einsteins ekvationer
|
|
|
- Alexander Nordli
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 April 26, 2013
2 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som dessa observatörer använder.
3 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som dessa observatörer använder. Före år 1905 var det ingen som tvivlade på att relationen mellan dessa koordinater är: t = t, x = x vt.
4 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som dessa observatörer använder. Före år 1905 var det ingen som tvivlade på att relationen mellan dessa koordinater är: t = t, x = x vt. Einstein insåg att denna relation inte är sann!
5 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som dessa observatörer använder. Före år 1905 var det ingen som tvivlade på att relationen mellan dessa koordinater är: t = t, x = x vt. Einstein insåg att denna relation inte är sann! 1905 publicerade han sitt arbete om den speciella relativitetsteorin där han ger följande relation: t = γ(t vx c 2 ), x = γ(x vt). Här är c ljusets hastighet och γ = 1. 1 v2 c 2
6 Speciell relativitetsteori Denna teori förenar rum och tid: Rum och Tid Rumtid
7 Speciell relativitetsteori Denna teori förenar rum och tid: Rum och Tid Rumtid Hermann Minkowski 1908: Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.
8 Speciell relativitetsteori Denna teori förenar rum och tid: Rum och Tid Rumtid Hermann Minkowski 1908: Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality. I speciell relativitetsteori är rumtiden plan (dvs. icke-krökt) och kallas Minkowskirumtiden och metriken har formen ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2
9 Speciell relativitetsteori Denna teori förenar rum och tid: Rum och Tid Rumtid Hermann Minkowski 1908: Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality. I speciell relativitetsteori är rumtiden plan (dvs. icke-krökt) och kallas Minkowskirumtiden och metriken har formen ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 Vi kan också skriva detta på ett mer komplicerat vis ds 2 = ( 1)c 2 dt 2 +(1)dx 2 +(1)dy 2 +(1)dz 2 [ +(0)dtdx+...+(0)dydz ]
10 Metriken g ab En metrik i 4 dimensioner (tiden samt tre rumsdimensioner) beskrivs alltså i allmänhet av 10 komponenter som brukar betecknas g ab, där a, b = 0, 1, 2, 3, g 00 g 01 g 02 g 03 g ab = g 10 g 11 g 12 g 13 g 20 g 21 g 22 g 23 g 30 g 31 g 32 g 33 Här gäller att g ab = g ba.
11 Metriken g ab En metrik i 4 dimensioner (tiden samt tre rumsdimensioner) beskrivs alltså i allmänhet av 10 komponenter som brukar betecknas g ab, där a, b = 0, 1, 2, 3, g 00 g 01 g 02 g 03 g ab = g 10 g 11 g 12 g 13 g 20 g 21 g 22 g 23 g 30 g 31 g 32 g 33 Här gäller att g ab = g ba. Minkowskimetriken har alltså formen g ab =
12 Konsekvenser av den speciella relativitetsteorin Tidsutvidgning (tvillingparadoxen) Längdkontraktion E = Mc 2
13 Konsekvenser av den speciella relativitetsteorin Tidsutvidgning (tvillingparadoxen) Längdkontraktion E = Mc 2 Dessa konsekvenser har verifierats experimentellt!
14 Allmän relativitetsteori Newtons klassiska teori för gravitation kan inte enkelt modifieras till att uppfylla den speciella relativitetsteorin.
15 Allmän relativitetsteori Newtons klassiska teori för gravitation kan inte enkelt modifieras till att uppfylla den speciella relativitetsteorin. I November 1915 gav Einstein ett föredrag där han presenterade sin teori för gravitation, den allmänna relativitetsteorin:
16 Allmän relativitetsteori Newtons klassiska teori för gravitation kan inte enkelt modifieras till att uppfylla den speciella relativitetsteorin. I November 1915 gav Einstein ett föredrag där han presenterade sin teori för gravitation, den allmänna relativitetsteorin: Rumtiden är en fyrdimensionell mångfald ( yta ) M med en Lorentzmetrik g ab, a, b = 0, 1, 2, 3.
17 Allmän relativitetsteori Newtons klassiska teori för gravitation kan inte enkelt modifieras till att uppfylla den speciella relativitetsteorin. I November 1915 gav Einstein ett föredrag där han presenterade sin teori för gravitation, den allmänna relativitetsteorin: Rumtiden är en fyrdimensionell mångfald ( yta ) M med en Lorentzmetrik g ab, a, b = 0, 1, 2, 3. Metriken g ab bestäms genom Einsteins ekvationer (med c = G = 1) G ab := R ab 1 2 g abr + Λg ab = 8πT ab
18 Vänsterledet i Einsteins ekvationer Einsteins ekvationer skrivna på formen G ab = 8πT ab ser enkla ut.
19 Vänsterledet i Einsteins ekvationer Einsteins ekvationer skrivna på formen G ab = 8πT ab ser enkla ut. Låt oss först betrakta vänsterledet ( made of marble ) G ab := R ab 1 2 g abr. Här är R ab = Radb d, and R = Ra a,
20 Vänsterledet i Einsteins ekvationer Einsteins ekvationer skrivna på formen G ab = 8πT ab ser enkla ut. Låt oss först betrakta vänsterledet ( made of marble ) G ab := R ab 1 2 g abr. Här är R ab = R d adb, and R = Ra a, och R d abc = x b Γd ac x a Γd bc + Γe acγ d be Γe bc Γd ae,
21 Vänsterledet i Einsteins ekvationer Einsteins ekvationer skrivna på formen G ab = 8πT ab ser enkla ut. Låt oss först betrakta vänsterledet ( made of marble ) G ab := R ab 1 2 g abr. Här är R ab = Radb d, and R = Ra a, och där R d abc = x b Γd ac x a Γd bc + Γe acγ d be Γe bc Γd ae, Γ c ab = 1 2 g cd( g bd x a + g ad x b g ab x d ).
22 Vänsterledet i Einsteins ekvationer Einsteins ekvationer skrivna på formen G ab = 8πT ab ser enkla ut. Låt oss först betrakta vänsterledet ( made of marble ) G ab := R ab 1 2 g abr. Här är R ab = R d adb, and R = Ra a, och R d abc = där Γ c ab = 1 2 g cd( g bd x a Låt oss se på ett par exempel! x b Γd ac x a Γd bc + Γe acγ d be Γe bc Γd ae, + g ad x b g ab x d ).
23 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian.
24 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian. Vi måste göra ett val av materiamodell.
25 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian. Vi måste göra ett val av materiamodell. Exempel på materiamodeller: fluidmodeller ( vätskor ) kinetiska materiamodeller ( gaser ) elastiska materiamodeller ( gummi ) fältteoretiska modeller ( kvantfält )
26 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian. Vi måste göra ett val av materiamodell. Exempel på materiamodeller: fluidmodeller ( vätskor ) kinetiska materiamodeller ( gaser ) elastiska materiamodeller ( gummi ) fältteoretiska modeller ( kvantfält ) Vissa modeller används av astrofysiker...
27 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian. Vi måste göra ett val av materiamodell. Exempel på materiamodeller: fluidmodeller ( vätskor ) kinetiska materiamodeller ( gaser ) elastiska materiamodeller ( gummi ) fältteoretiska modeller ( kvantfält ) Vissa modeller används av astrofysiker... Förutom ekvationerna G ab = 8πT ab, kan ekvationer för materiamodellen tillkomma.
28 Högerledet i Einsteins ekvationer Högerledet ( made of wood ) utgörs av energi-momentum tensorn T ab för materian. Vi måste göra ett val av materiamodell. Exempel på materiamodeller: fluidmodeller ( vätskor ) kinetiska materiamodeller ( gaser ) elastiska materiamodeller ( gummi ) fältteoretiska modeller ( kvantfält ) Vissa modeller används av astrofysiker... Förutom ekvationerna G ab = 8πT ab, kan ekvationer för materiamodellen tillkomma. De slutliga ekvationerna utgörs av ett icke-linjärt system av partiella differentialekvationer.
29 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning)
30 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av
31 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession
32 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...)
33 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...)
34 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927,
35 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929,
36 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929, expansionen accelererar, Nobelpris 2011)
37 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929, expansionen accelererar, Nobelpris 2011) Penrose-Hawkings singularitets satser ( )
38 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929, expansionen accelererar, Nobelpris 2011) Penrose-Hawkings singularitets satser ( ) Numeriskt genombrott 2005 av Franz Pretorius
39 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929, expansionen accelererar, Nobelpris 2011) Penrose-Hawkings singularitets satser ( ) Numeriskt genombrott 2005 av Franz Pretorius Bildandet av svarta hål endast genom kollaps av gravitationella vågor, Christodoulou 2008 (Shawpriset tillsammans med Hamilton 2011)
40 Höjdpunkter i allmän relativitetsteori Gravitationell rödförskjutning (gravitationell tidsutvidgning) Ljuset böjer av Merkurius perihelionprecession Förutsäger existens av svarta hål (Schwarzschild 1916 men...) Förutsäger big bang (Friedmann 1922, Lemaitre 1927 men...) Förutsäger att universum expanderar (Friedmann 1922, Lemaitre 1927, bekräftat av Hubble 1929, expansionen accelererar, Nobelpris 2011) Penrose-Hawkings singularitets satser ( ) Numeriskt genombrott 2005 av Franz Pretorius Bildandet av svarta hål endast genom kollaps av gravitationella vågor, Christodoulou 2008 (Shawpriset tillsammans med Hamilton 2011) Allmän relativitetsteori är nödvändig för att GPS ska fungera!
41 Ett boktips Kip Thorne, Black holes and time warps: Einstein s outrageous legacy
Vektorvärda funktioner
Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x
Prov i matematik Matematiska institutionen. Transformmetoder Julia Viro
Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 5--9 Skrivtid: 5. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application Maxpoäng
Övningar till Matematisk analys IV Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik 1-1-4 Övningar till Matematisk analys IV Erik Svensson L 1. Avgör om fx, y) 1 + x + y )e x y förekommande fall största/minsta värdet. har
Kärnstrukturer. Finlandssvenska Fysikerdagarna Patric Granholm
Kärnstrukturer Finlandssvenska Fysikerdagarna 2009 Patric Granholm 13.11.2009 Produktion av den kärna vi vill studera Vi bombarderar ett strålmål (en kärna) med en nuklid eller en annan kärna. Produktion
Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u
Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska
NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
Eksamen i Klassisk feltteori, fag TFY 4270 Onsdag 26. mai 2004 Løsninger
Eksamen i Klassisk feltteori, fag TFY 470 Onsdag 6. mai 004 Løsninger 1a) Sammenhengen mellom koordinattiden t og egentiden τ er at Den relativistiske impulsen er Hamiltonfunksjonen er Siden har vi at
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression Anna Lindgren 21+22 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F14: Regression 1/21 Hypotesprövning Olika metoder
MidtSkandia. Helgeland. Helgeland.
MidtSkandia MidtSkandia är ett gränsorgan som jobbar för att undanröja gränshinder mellan Nordland och Västerbotten och bidrar till gemensamma utvecklingsprojekt i både Västerbotten och Nordland, speciellt
Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02
Sida 1 Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sannolikhetsmått För två händelser A och B gäller alltid att P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) Kombinatorik
( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 3.5 2 La l være ei linje, A et punkt på l og B et annet punkt på l. Vi skal vise at det finnes nøyaktig
Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk
Formelsamling Side 7 av 15 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:
Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006
Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk
408-084. Bruksanvisning för fjärrströmbrytare Bruksanvisning for fjernstrømbryter
408-084 Bruksanvisning för fjärrströmbrytare Bruksanvisning for fjernstrømbryter SE - Bruksanvisning i original NO - Bruksanvisning (Oversettelse av original bruksanvisning) PL - Instrukcja obsługi (Tłumaczenie
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir
Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)
EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling
Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
Samløping i NM lang
Bakgrunn I nasjonale og internasjonale langdistansemesterskap har det ved flere anledninger vært mye samløping som i stor grad har påvirket resultatlista. Enten ved at en løper henger etter en annen, eller
Geometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
Løsningsforslag til oppgavene 1 8 fra spesiell relativitetsteori.
FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Desember 008. Løsningsforslag til oppgavene 1 8 fra spesiell relativitetsteori. Oppgave 1 Vi lar x 1 = x være posisjonen for hendelsene i inertialsystemet
w 2 3w i = 2iw, där i är den imaginära enheten. Uppgift 2=Kontrollskrivning 2 (2p). Varför är matrisen
Tentamensskrivning, kompletteringskurs i matematik, 5B4, den 0 april 00, klockan 9.00-4.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. et är två sidor med uppgifter. För betyget 3 räcker det med sammanlagt 6 poäng, för
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 19: Kosmologi, del I
AST1010 En kosmisk reise Forelesning 19: Kosmologi, del I Astronomiske avstander Hvordan vet vi at nærmeste stjerne er 4 lysår unna? Parallakse (kun nære stjerner) Hvordan vet vi at galaksen vår er 100
Fysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag
Fysikkolympiaden Norsk finale 018 øsningsforslag Oppgave 1 Det virker tre krefter: Tyngden G = mg, normalkrafta fra veggen, som må være sentripetalkrafta N = mv /R og friksjonskrafta F oppover parallelt
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 19. mai :00 13:00
NTNU Side 1 av 2 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 45 43 71 70 Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 19. mai 2012 09:00 13:00 Tillatte hjelpemidler:
TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 13 av 22
TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 13 av 22 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas
Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.
Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde
Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk
Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk 9. mars 2012 Vektorer: posisjon og hastighet Posisjon og hastighet er gitt ved ( ) x r = y Ved konstant hastighet har vi som gir likningene v= r = r 0 + v t x =
UNIVERSITETET I BERGEN
NYNORSK TEKST UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet, V. 2004. Eksamen i emnet MAT25 - Mekanikk. Måndag 7. juni 2004, kl 09.00-4.00. Tillatne hjelpemiddel: Ingen Oppgåver med svar
5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
721-296. Snabbguide till robotgräsklippare Hurtigveiledning til robotgressklipper
721-296 Snabbguide till robotgräsklippare Hurtigveiledning til robotgressklipper VIKTIGT FÖRE INSTALLATION Läs igenom bruksanvisningen noggrant och förstå innehållet innan du använder robotgräsklipparen.
Geometri R1, Prøve 1 løysing
Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med
Eksamen 1T våren 2015 løsning
Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )
Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker
Sparebanken Vest Julecup 2006. 29-30 des 2006
29-30 des 2006 GENERELL MATCHSTATISTIK Totalt antal deltagare: Antal deltagande män: Antal deltagande kvinnor: Totalt antal matcher i tävlingen: Antal spelade matcher incl. WO-matcher: Antal spelade matcher
7. Magnetostatik II: Materiens magnetiska egenskaper
7. Magnetostatik II: Materiens magnetiska egenskaper [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 7.1 7.1. Magnetisering I föregående kapitel granskades magnetfältet som tidsoberoende konventionella strömmar,
1.7 Digitale hjelpemidler i geometri
1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
Sol & Vindvakt ASA. Inkoppling av Sol & Vindvakt:
Sol & Vindvakt ASA Inkoppling av Sol & Vindvakt: Avståndet mellan motor och Sol & Vindvakt måste vara minst 30 cm. Apparater som använder samma frekvens kan störa Sol & Vindvaktens funktion Endast en Sol
Higgspartikkelen er funnet, hva blir det neste store for CERN?
Higgspartikkelen er funnet, hva blir det neste store for CERN? Skolepresentasjon 5 mars 2014 Fysisk institutt Ph.D i partikkelfysikk Hvordan er naturen skrudd sammen? 18 elementærpartikler elementære;
AST1010 En kosmisk reise. Astronomiske avstander https://www.youtube.com/watch? v=vsl-jncjak0. Forelesning 20: Kosmologi, del I
AST1010 En kosmisk reise Forelesning 20: Kosmologi, del I Astronomiske avstander Hvordan vet vi at nærmeste stjerne er 4 lysår unna? Parallakse (kun nære stjerner) Hvordan vet vi at galaksen vår er 100
Eksamen våren 2008 Løsninger
Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen Formelsamling (bokmål) L = L(q, q, t), (1) er en funksjon av systemets generaliserte koordinater q = {q i ; i = 1,
Spesiell relativitetsteori
Spesiell relativitetsteori 4.05.04 FYS-MEK 0 4.05.04 Einsteins postlatene. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer.. Lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer, og er avhengig av observatørens
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk Formelsamling (bokmål) Våren 2014 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen L = L(q, q, t), (1) er en funksjon av systemets generaliserte koordinater q = {q
Spesiell relativitetsteori
Spesiell relativitetsteori 13.05.015 FYS-MEK 1110 13.05.015 1 Spesiell relativitetsteori Einsteins mirakelår 1905 6 år gammel patentbehandler ved det sveitsiske patentbyrået i Bern i 1905 publiserte han
Etterspørsel, tilbud og likevekt. 24.januar 17
Etterspørsel, tilbud og likevekt 24.januar 17 1 / 16 Hvordan skal vi modellere markedet? Avhenger av hvilket marked vi ser på: Markedet for tomater Markedet for biler Boligmarkedet Markedet for helsetjenester
FLEXIT SL4. Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist. Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist 94278-06 2013-04
FLEXIT SL4 94278-06 2013-04 ART.NR.: 98737 98739 Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist ! Før man foretar service eller vedlikehold,
Oppgaver i kapittel 6
Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,
BSAB systemet er koblet til AMA beskrivelser til forskællige deler inom byggprocessen. AMA står for Allmän Material och Arbetsbeskrivning.
FOKUS I BIM med BSAB Kort beskrivelse af Svensk Byggtjänst projekt Fokus I der BSAB klasifikationssystem og AMA beskrivelser og udførendeløsninger kobles til en aktiv BIM model. Det svenske BSAB system
Eksamen 1T våren 2015 løysing
Eksamen T våren 05 løysing Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det
Spesiell relativitetsteori
Spesiell relativitetsteori 8.05.05 FYS-MEK 0 8.05.05 Einsteins postulatene. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer.. Lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer, og er uavhengig av
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Deriver funksjonene. ( ) x e x. Skriv så enkelt som mulig.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3 ( ) 5 4 b) g ( ) e c) h ( ) 3 Oppgave (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) b) 3 1 5 9 3 3 3 ln( a b ) 3ln b a Oppgave 3 (4 poeng)
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 16 Johan Lindström 11 december 2018 Johan Lindström - johanl@mathslthse FMSF45/MASB03 F16 1/32 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Universet som forsvant. Are Raklev
Universet som forsvant Are Raklev Slutten på fysikken? Det finnes ikke noe nytt å oppdage i fysikk nå. Alt som gjenstår er mere og mere presise målinger. [1900] Lord Kelvin 2/365 3/365 Isaac Newton (1643
Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007
Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007 May 24, 2007 Oppgave 1 a) Lorentztransformasjonane er x = γ(x V t), t = γ(t V x), der γ = 1/ 1 V 2 Vi tar differensiala av desse
UT I VERDENSROMMET! Normal text - click to edit. Mørk materie Universets ekspansjon Mørk energi
UT I VERDENSROMMET! Mørk materie Universets ekspansjon Mørk energi Universe 1907 Equivalence Principle Acceleration (inertial mass) is indistinguishable from gravitation (gravitational mass) Einsteins
Arbeid og energi. Energibevaring.
Arbeid og energi. Energibevaring. Arbeid = dw = F ds Kinetisk energi E k = ½ m v 2 Effekt = arbeid/tid = P = dw /dt Arbeid på legeme øker E k : Potensiell energi E p (x,y,z) dw = de k (Tyngdefelt: E p
medemagruppen Ver MONTERINGSANVISING MALTE
MONTERINGSANVISING MALTE Parkeringsbroms Parkeringsbrems // Sete Säte og och kurv korg 3.7 Parkeringsbroms Parkeringsbrems För For att å unngå undgå at att Malte triller rullar av iväg gårde kan kan de
Termisk fysikk består av:
Termisk fysikk består av: 1. Termodynamikk: (= varmens kraft ) Makroskopiske likevektslover ( slik vi ser det ) Temperatur. 1. og. hovedsetning. Kinetisk gassteori: Mekanikkens lover på mikrokosmos Uttrykk
Bruksanvisning / Bruksanvisning. Växthus L. Drivhus L. Item. No. 6230-1042
Bruksanvisning / Bruksanvisning Växthus L rivhus L S NO Item. No. 60-04 S Tack för att du valt att köpa en produkt från Rusta! Läs igenom hela bruksanvisningen innan montering och användning! Växthus L
1.8 Digital tegning av vinkler
1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket
- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
R2 eksamen våren ( )
R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen Formelsamling (nynorsk) L = L(q, q, t), (1) til eit fysisk system er ein funksjon av dei generaliserte koordinatane
7. Magnetostatik II: Materiens magnetiska egenskaper
7. Magnetostatik II: Materiens magnetiska egenskaper [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 7.1 7.1. Magnetisering I föregående kapitel granskades magnetfältet som tidsoberoende konventionella strömmar,
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
R2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
Etterspørsel, tilbud og likevekt H 17
Etterspørsel, tilbud og likevekt H 17 1 / 17 Onsdag 16/8 var læreboka ennå ikke i bokhandelen. Forsinkelsen skyldes en glipp hos forlaget - den er ventet i neste uke. Dette notatet er en oppsummering av
Positionsstol Neapel 2-pack
Bruksanvisning / Bruksanvisning Positionsstol Neapel 2-pack Posisjonsstol Neapel 2-pakk SE NO Item. No. 6020-1173, 6020-1174 SE Tack för att du valt att köpa en produkt från Rusta! Läs igenom hela bruksanvisningen
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne
Big Bang teorien for universets skapelse. Steinar Thorvaldsen Universitetet i Tromsø 2015
Big Bang teorien for universets skapelse Steinar Thorvaldsen Universitetet i Tromsø 2015 Astronomi er den enste vitenskapsgrenen som observerer fortiden. Universet ~1-2 milliarder år etter skapelsen. Universet
EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
En liten bok om att korsa gränser i Öresund-Kattegat-Skagerrakregionen
En liten bok om att korsa gränser i Öresund-Kattegat-Skagerrakregionen Öresund-Kattegat-Skagerrak-programområdet Kattegat- Skagerrak Delprogram Kattegat-Skagerrak Delprogram Öresund Angränsande områden
Eksamen AA6516 Matematikk 2MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 04.12.2008 AA6516 Matematikk 2MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer Se
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.
Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) 3 6 2 ( x + 2)6 6 6 + (3x + 4) 3 6 2 2x + 4 + 9x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig),
JULETENTAMEN 2016, FASIT.
JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:
VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy
VEDLEGG 5 Ifølge regelverket skal støynivået ved helårsboliger og fritidsboliger ikke overstige den anbefalte grenseverdien på Lden 45 db. Dersom det vurderes som nødvendig for vindkraftverkets realiserbarhet
Einstein og relativitetsteorien et hundreårsjubileum
Einstein og relativitetsteorien et hundreårsjubileum Øyvind G. Grøn Bergen astronomiforening 16. april 2015 Einsteins far, Herman Einstein Einsteins mor, Pauline Einstein Albert Einstein var født 14. mars
Eksamen 1T våren 2011
Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
!"#$%& '($%&)!*+,%&-.&$ /()0"0100!2.&!3%$"%&!.,!4.331("4+)-.(!5/678! /()0"0100!2.&!3%$"%&!.,!4.331("4+)-.(!5/678!
"#$%& '($%&)*+,%&-.&$ Vanlig bildebruk Beskrive Forklare Blikkfang Konnotasjoner } «pynt» Hvorfor trykker VG dette bildet på førstesiden? 9:*.0.,&+2"%& *.0.,&+2").3;%
Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark
Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Vestviken Kollektivtrafikk Tønsberg, 27.01.12 Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Spørsmål DVT8 Fråga angående "Konkurransebetingelser
Spesiell relativitetsteori
Spesiell relativitetsteori 23.05.2016 FYS-MEK 1110 23.05.2016 1 man tir uke 21 uke 22 uke 23 23 30 6 forelesning: spes. relativitet gruppe 5: gravitasjon+likevekt Ingen datalab forelesning: repetisjon
Work Bench Arbetsbänk Arbeidsbenk. User`s manual Bruks-/monteringsanvisning Bruks-/monteringsanvisning
Work Bench Arbetsbänk Arbeidsbenk User`s manual Bruks-/monteringsanvisning Bruks-/monteringsanvisning WF60-A Varenr.408250 Arbeidsbenk WF60-A Norsk DELELISTE No FIGUR Skisse Beskrivelse (mm) Antall, stk
manual Powerbank mah Item: Linocell
manual Powerbank 20000 mah Item: 97667 EN NO SV Linocell ENGLISH Charge the powerbank Start by charging the powerbank. Connect the charging cable (included) to the powerbank s Micro USB port and to a USB
Eksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
FIRST LEGO League. Stavanger 2012
FIRST LEGO League Stavanger 2012 Presentasjon av laget Horpestad MÅNE Vi kommer fra Kleppe Snittalderen på våre deltakere er 11 år Laget består av 2 jenter og 5 gutter. Vi representerer Horpestad skule
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Mandag 21. mai 2007 kl Løsningsforslaget er på i alt 9 sider.
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145
FIRST LEGO League. Stavanger 2012
FIRST LEGO League Stavanger 2012 Presentasjon av laget Robotene Vi kommer fra Sandnes Snittalderen på våre deltakere er 11 år Laget består av 2 jenter og 10 gutter. Vi representerer Teknolab Sandved Skole
Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver
5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB
Wireless online smoke alarm brandvarnare optisk trådlös OPTISK
Wireless online smoke alarm brandvarnare optisk trådlös SERIE Røykvarsler OPTISK MANUAL 382003 1 Bruksanvisning for trådløst røykvarslersystem KD-101LA Vennligst les nøye igjennom bruksanvisningen før
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs