Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Transkript

1 Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Finn også P(x 3) Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Løsning: dvs. P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(x) = ( 4 x )( 1 3 ) x ( ) 2 4 x 3 ( )( ) ( ) 2 4 ( ) 2 4 = = ( )( ) ( ) 2 3 ( ) 1 1 ( ) 2 3 = 4 = ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 = 6 = ( )( ) ( ) 2 1 ( ) 1 3 ( ) 2 1 = 4 = ( )( ) ( ) 2 0 ( ) 1 4 = = Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da gitt i Tabell 2 i Appendix B Leser ut av tabell: Sannsynligheten for å få en kartong med høyst ett dårlig egg er P(0)+P(1) = = dvs. P(x 3) =1 P(x = 4) = = 0.988

2 5 Tabell 2 i Appendix B 6 Kap. 6: Normalfordelingen Eksempel: Intelligenstester (6.1) Leser av at med n = 12, p = 0.05 er P(0) =0.540, P(1) = Sannsynlighetstetthet og histogram 8 Sannsynlighetstetthet og histogram

3 9 Sannsynlighetstetthet Sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel x er gitt ved en såkalt sannsynlighetstetthet f (x) ( probability distribution function ). Sannsynligheten for å få et resultat i intervallet fra a til b finnes fra P(a < x < b) = b a f (x)dx som er lik arealet av det skraverte området på figuren under. 10 Normalfordelingen (6.2) Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt tilfeldig variabel x har formel: f (x) = 1 e 1 2 ( x μ σ )2 2πσ Som for diskrete tilfeldige variable kan vi definere forventning og standardavvik også for kontinuerlige variable. For x med sannsynlighetstetthet f (x) ovenfor er: forventningen gitt ved μ (lik 100 i IQ-eksemplet) standardavviket gitt ved σ (lik 16 i IQ-eksemplet) 11 Standardnormalfordelingen (6.3) Dette er normalfordelingen med μ = 0,σ = 1. En standardnormalfordelt tilfeldig variabel betegnes ofte med z. Sannsynlighetstettheten er gitt ved formelen f (z) = 1 e 1 2 z2 2π 12 Egenskaper for standardnormalfordelingen 1. Det totale areal under kurven er Sannsynlighetstettheten har en topp, er symmetrisk om 0, og strekker seg uendelig langt ut i hver retning uten å berøre den horisontale aksen. 3. Forventningen i fordelingen er 0 og standardavviket er Arealet på hver side av 0 er lik Nesten hele arealet ligger mellom z = 3 ogz = 3.

4 13 z-score (standard score) Standardnormalfordelingen er fordelingen til såkalte z-score, som kan dannes fra en normalfordelt tilfeldig variabel x med forventning μ og standardavvik σ ved å beregne: z = x μ σ z-score kan også beregnes for et sett av data med gjennomsnitt x og utvalgsstandardavvik s ved å standardisere alle observasjonene med z = x x s 14 Beregning av sannsynligheter for standardnormalfordelingen Sannsynligheten for at z har en verdi i et intervall fra a til b er gitt som arealet under standardnormalfordelingskurven fra a til b. Formelt kan vi skrive dette arealet som P(a < z < b). Tabell 3 i Appendix B viser arealet under kurven mellom a = 0og ulike verdier av b, dvs. P(0 < z < b) Tabellen kan brukes til å finne arealer for alle valg av a, b.

5 Eksempel: Finn arealet under standard normalfordelingen fra z=0 til z=1.52. z P(0 < z < 1.52) = Eksempel: Finn P(z>1.52) P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = = Oppgave: Finn P(z>2.03)

6 Eksempel: Finn P(z<-1.52) P(z < 1.52) = P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = = Eksempel: Finn P(-1.5<z<2.1) P( 1.5 < z < 2.1) = P( 1.5 < z < 0)+P(0 < z < 2.1) = P(0 < z < 1.5)+P(0 < z < 2.1) = = Oppgave: Finn P(z<-1.65) Eksempel: Finn P(0.7<z<2.1) P(0.7 < z < 2.1) = P(0 < z < 2.1) P(0 < z < 0.7) = = Hvordan finne prosentiler for standard normalfordelingen? Eksempel: Finn 75% prosentilen, dvs. z-verdien p 75 slik at P(z < p 75 ) = 0.75 P(z < 0)+P(0 < z < p 75 ) = 0.75 P(0 < z < p 75 ) = = 0.25 Oppgave: Finn P(0.75<z<2.25)

7 Fra Tabell 3 finner en areal-verdi nærmest til Dette er med tilhørende z-verdi z-verdier som begrenser et areal Hvilke z-verdier begrenser det midterste 95% arealet i en standard normalfordeling? Løsning: Arealet på 95% deles i to like deler på hver side av 0, dvs. areal på hver side (se figur). Oppgave: Finn 95% prosentilen p 95 i standard normalfordelingen. Vi ser nå i Tabell 3 for å finne tabellverdien nærmest Dette er eksakt 1.96, og det følger altså at 95% av standard normalfordelingen ligger mellom 1.96 og 1.96, dvs. P( 1.96 < z < 1.96) =0.95 Oppgave: Hvilke z-verdier begrenser det midterste 68% arealet i en standard normalfordeling? 28 Anvendelser av normalfordelingen (6.4) Generell regel: For x normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ gjelder ( a μ P(a < x < b) =P < z < b μ ) σ σ der z er standard normalfordelt. Det essensielle er her at verdiene a og b for x regnes om til standard score. Husker fra tidligere at vi definerer z-score for en normalfordelt tilfeldig variabel x med forventning μ og standardavvik σ ved z = x μ σ

8 Eksempel: IQ-verdier er normalfordelte med forventning μ = 100 og standardavvik σ = 16. Trekk en tilfeldig person. Hva er sannsynligheten for at IQ-verdien er mellom 100 og 115? P(100 < x < 115) = ( P < z < 16 = P(0 < z < 0.94) = ) Oppgave: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har IQ over 140 (μ = ,σ = 16.00)? Vi har her regnet om verdiene 100 og 115 til z-score, og så funnet sannsynligheten for at z er mellom disse verdiene. Her blir z-score for 100: og z-score for 115: = = Hvordan finne prosentiler for en normalfordeling med μ og σ? Eksempel: Finn 75% prosentilen (x-verdien) når x er normalfordelt med forventning 100 og standardavvik 16, dvs. finn x-verdien slik at P(x < x verdi ) = 0.75 Vi har tidligere funnet for standard normalfordelingen at 75% percentilen i standard normalfordelingen er 0.67, dvs. P(z < z verdi )=0.75 gir z verdi = Nå bruker vi den vanlige sammenhengen x verdi μ σ = z verdi σ x verdi μ = z verdi σ x verdi = μ + z verdi σ x verdi = = Oppgave: Finn 33% IQ percentilen (forventning 100 og standardavvik 16)

9 33 Notasjon (6.5) z(α) kalles kritisk verdi og er z-verdien slik at areal α ligger til høyre, dvs P(z > z(α)) = α Eksempler: z(0.25) = 0.67 z(0.10) = 1.28 z(0.05) = 1.65 z(0.005) = 2.58 Oppgave: Hva er z(0.5)?

10 Normaltilnærming til binomisk fordeling (6.6) n= 2, p= 0.1 n= 10, p= 0.1 n= 50, p= 0.1 La x være binomisk fordelt med n forsøk og sannsynligheter for suksess og fiasko henholdsvis p og q Da er forventning μ = np og standardavvik σ = npq. Hvis np 5ognq 5 kan vi regne ut sannsynligheter i binomisk fordeling ved å bruke standard normalkurven og regne som om x er normalfordelt n= 2, p= n= 10, p= n= 50, p= 0.5 Eksempel: La x være binomisk fordelt med n = 10, p = 0.5. Hva er P(x = 6)? Siden np = 5ognq = 5 er vi på grensen til bruk av normaltilnærming Videre er μ = = 5, σ = = 2.5 = 1.58 P(x = 6) = P(5.5 < x < 6.5) ( = P 1.58 < z < ) 1.58 = P(0.32 < z < 0.95) = P(0 < z < 0.95) P(0 < z < 0.32) = = (Ved binomisk fordeling direkte: 0.205) n= 10, p= Eksempel: La x være binomisk fordelt med n = 25, p = 0.5. Hva er P(x 14)? Både np = 12.5 > 5ognq = 12.5 > 5 så vi kan bruke normaltilnærmingen. P(x 14) = P(x < 14.5) = P(z < ) 6.25 = P(z < 0.8) =0.5 + P(0 < z < 0.8) = = (Ved binomisk fordeling direkte: )

11 Løsning: Oppgave: For en type hudkreft overlever 90% av pasientene. Hva er sannsynligheten for at 200 eller flere overlever av en gruppe på 230? P(x 200) = P(x > 199.5) ( ) = P z > = P(z > 1.65) = P(z < 1.65) = P(0 < z < 1.65) = = 0.95

12