Forelesning 3. april, 2017

Transkript

1 Forelesning 3. april, 2017 APPENDIX TIL KAP. 6 Sentralgrenseteoremet AVSNITT 6.3 Anvendelser av sentralgrenseteoremet Histogrammer S-kurver Q-Q-plot Diverse eksempler

2 MGF for følger av uavhengige identisk fordelte variable FRA FORELESNINGEN 28/3: Anta at X 1,..., X n er uavhengige identisk fordelte variable med E[X i ] = 0 og E[X 2 i ] = V[X i ] = 1, i = 1,..., n. Vi innfører så: Y = 1 n (X X n ) = n X Da holder: lim M Y (t) = e 1 2 t2. n Dette er MGF for N(0, 1)-fordelingen!!

3 MGF for følger av uavhengige identisk fordelte variable Anta mer generelt at X 1,..., X n er uavhengige identisk fordelte variable med E[X i ] = µ og V[X i ] = σ 2, i = 1,..., n. Vi innfører så: Y = X µ σ/ n = 1 n n i=1 n [ X i µ ] σ = n 1 n n [ X i µ ] = n σ W, i=1 der W i = (X i µ)/σ, i = 1,..., n. Dette medfører at: E[W i ] = 0, og E[W 2 i ] = V[W i ] = 1, i = 1,..., n. og dermed igjen at: lim M Y (t) = e 1 2 t 2. n

4 Sentralgrenseteoremet Anta at X 1,..., X n er uavhengige identisk fordelte variable med E[X i ] = µ og V[X i ] = σ 2, i = 1,..., n, og innfør: Da holder: Y = X µ σ/ n lim P(Y y) = lim P( X µ n n σ/ < y) = Φ(y), n der Φ( ) er den kumulative fordelingsfunksjonen for standard normalfordelingen. For n stor er altså Y tilnærmet standard normalfordelt!

5 Sentralgrenseteoremet Eksempler La X Bin(n, p). Da vet vi at: E[X] = np, V[X] = np(1 p), SD[X] = np(1 p). Av dette følger det at: E[X/n] = p, V[X/n] = p(1 p)/n, SD[X/n] = p(1 p)/n. BEMERK: Vi kan skrive: X n = 1 n n B i = B, i=1 der B 1,..., B n er uavhengige Bernoulli(p)-fordelte.

6 Sentralgrenseteoremet Eksempler Vi har da også: E[ B] = p, V[ B] = p(1 p)/n, SD[ B] = p(1 p)/n. Dermed følger det av sentralgrenseteoremet at: Y = X np np(1 p) = X n p p(1 p) n = B E[ B] SD[ B] N(0, 1).

7 Sentralgrenseteoremet Eksempler Anta at X Bin(n, p), der n = 100 og p = 0.7. Ved å benytte MATLAB kan vi finne P(X 70): >> binocdf(70,100,0.7) ans = Vi kan også beregne den tilsvarende sannsynligheten ved å benytte normaltilnærmingen: X np 70 np P(X 70) = P( ) = Φ( ) = 0.5 np(1 p) np(1 p) 21

8 Sentralgrenseteoremet Eksempler Anta at X Bin(n, p), der n = 500 og p = 0.6. Ved å benytte MATLAB kan vi finne P(X 300): >> binocdf(300,500,0.6) ans = Vi kan også beregne den tilsvarende sannsynligheten ved å benytte normaltilnærmingen: X np 300 np P(X 300) = P( ) = Φ( ) = 0.5 np(1 p) np(1 p) 120

9 Histogram Anta at vi har et datasett X 1,..., X n. Vi deler så tallinjen inn i k disjunkte intervaller av lengde δ > 0, betegnet I 1,..., I k, og teller opp hvor mange av X i -ene som faller innenfor hvert av intervallene. Vi innfører så: J j = Antall X i -er innenfor intervallet I j, j = 1,..., k. Vi antar at intervallene dekker hele utfallsrommet til datasettet slik at k j=1 J j = n. Et histogram er et søylediagram der arealet av hver søyle representerer den relative andelen av data som faller innenfor intervallet som søylen er plassert over. Høyden på j-te søyle, h j velges gjerne slik at det samlede arealet av søylene blir 1: h j δ = J j n P(X i I j ), j = 1,..., k.

10 Histogram HISTOGRAM MED TOTALT AREAL 1: % % % % 90.0 % 75.0 % 60.0 % 45.0 % 30.0 % 15.0 % 0.0 %

11 Histogram FREKVENSSPLOT DER SUMMEN AV HØYDENE ER 1: 27.5 % 24.8 % 22.0 % 19.3 % 16.5 % 13.8 % 11.0 % 8.3 % 5.5 % 2.8 % 0.0 %

12 S-kurver Anta igjen at vi har et datasett X 1,..., X n. Vi innfører så funksjonen ˆF(x) gitt ved: ˆF(x) = 1 n n I(X i x) i=1 = Andel X i -ene som er mindre enn eller lik x P(X i x) Funksjonen ˆF(x) kalles den empiriske kumulative fordelingsfunksjonen, og refereres ofte til som en S-kurve.

13 S-kurver S-KURVE: 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % -4,50-2,70-0,90 0,90 2,70 4,50

14 Q-Q-plot For et gitt datasett X 1,..., X n, lar vi Y 1 Y 2 Y n være ordningsobservatorene. Vi antar at vi har observert at Y i = y i, i = 1,..., n. Vi bemerker da at: ˆF(y i ) = [Andel X i y i ] = i/n P(X i y i ) La så ˆµ = X 1 og ˆσ = n n 1 i=1 (X i X) 2 være anslag for hhv. forventning og standardavvik i fordelingen til X i -ene. La videre z 1,..., z n være slik at P(Z z i ) = i/n, i = 1,..., n, der Z N(ˆµ, ˆσ). I et Q-Q-plot plotter vi y i -ene mot z i -ene. Hvis plottet er en tilnærmet rett linje, så er fordelingen tilnærmet normalfordelt.

15 Q-Q-plot Q-Q-plot: 4,50 2,70 0,90-0,90-2,70-4,50-3,25-1,55 0,15 1,85 3,55 5,25

16 Sentralgrenseteoremet Eksempel 1 EKSEMPEL 1: Anta X 1,..., X n er uavhengige Bernoulli(0.5)-fordelte. Vi ser så på: Y = X E[ X] SD[ X]. I dette tilfellet er: Dette betyr at: E[ X] = E[X i ] = p = 0.5 SD[ X] = SD[X i ]/ n = p(1 p)/ n = 0.5/ n. Y = n( X 0.5)/0.5. Ved å benytte simulering, kan vi igjen anslå forelingen til Y for ulike verdier av n ved å tegne histogrammer. I de etterfølgende beregningene har vi benyttet N = simuleringer, og sett på tilfellene der n = 6 2 = 36, n = 12 2 = 144, n = 24 2 = 576.

17 Sentralgrenseteoremet Eksempel 1 Histogram for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Bernoulli(0.5)-fordelte variable mot normaltettheten 55,0 % Histogram 49,5 % 44,0 % 38,5 % 33,0 % 27,5 % 22,0 % 16,5 % 11,0 % 5,5 % 0,0 % -4,50-2,80-1,10 0,60 2,30 4,00

20 Sentralgrenseteoremet Eksempel 1 S-kurve for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Bernoulli(0.5)-fordelte variable (rød kurve) mot S-kurve for N(0,1)-fordelingen (grønn kurve) 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % -4,50-2,70-0,90 0,90 2,70 4,50

23 Sentralgrenseteoremet Eksempel 1 Q-Q-plot for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Bernoulli(0.5)-fordelte variable mot normalfordelingen 4,50 Scatter plot 2,70 0,90-0,90-2,70-4,50-4,50-2,80-1,10 0,60 2,30 4,00

26 Sentralgrenseteoremet Eksempel 2 EKSEMPEL 2: Anta X 1,..., X n er uavhengige Eksp(1)-fordelte. Vi ser så på: Y = X E[ X] SD[ X]. I dette tilfellet er: Dette betyr at: E[ X] = E[X i ] = 1 SD[ X] = SD[X i ]/ n = 1/ n = 1/ n. Y = n( X 1). Ved å benytte simulering, kan vi igjen anslå forelingen til Y for ulike verdier av n ved å tegne histogrammer. I de etterfølgende beregningene har vi benyttet N = simuleringer, og sett på tilfellene der n = 6 2 = 36, n = 12 2 = 144, n = 24 2 = 576.

27 Sentralgrenseteoremet Eksempel 2 Histogram for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Eksp(1)-fordelte variable mot normaltettheten 42.5 % 38.3 % 34.0 % 29.8 % 25.5 % 21.3 % 17.0 % 12.8 % 8.5 % 4.3 % 0.0 %

30 Sentralgrenseteoremet Eksempel 2 S-kurve for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Eksp(1)-fordelte variable (rød kurve) mot S-kurve for N(0,1)-fordelingen (grønn kurve) 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % -4,50-2,55-0,60 1,35 3,30 5,25

33 Sentralgrenseteoremet Eksempel 2 Q-Q-plot for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Eksp(1)-fordelte variable mot normalfordelingen

36 Sentralgrenseteoremet Eksempel 3 EKSEMPEL 3: Anta X 1,..., X n er uavhengige Unif( 1, +1)-fordelte. Vi ser så på: Y = X E[ X] SD[ X]. I dette tilfellet er: Dette betyr at: E[ X] = E[X i ] = 0 SD[ X] = SD[X i ]/ n = (1/ 3)/ n = 0.58/ n. Y = n X Ved å benytte simulering, kan vi igjen anslå forelingen til Y for ulike verdier av n ved å tegne histogrammer. I de etterfølgende beregningene har vi benyttet N = simuleringer, og sett på tilfellene der n = 6 2 = 36, n = 12 2 = 144, n = 24 2 = 576.

37 Sentralgrenseteoremet Eksempel 3 Histogram for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Unif( 1, +1)-fordelte variable mot normaltettheten 40.0 % 36.0 % 32.0 % 28.0 % 24.0 % 20.0 % 16.0 % 12.0 % 8.0 % 4.0 % 0.0 %

40 Sentralgrenseteoremet Eksempel 3 S-kurve for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Unif( 1, +1)-fordelte variable (rød kurve) mot S-kurve for N(0,1)-fordelingen (grønn kurve) 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % -2,50-1,50-0,50 0,50 1,50 2,50

43 Sentralgrenseteoremet Eksempel 3 Q-Q-plot for normalisert gjennomsnitt av n = 36 Unif( 1, +1)-fordelte variable mot normalfordelingen