Estimatorar. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU

Transkript

1 Estimatorar Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU

2 I dag Repetisjon Er dataa mine normalfordelt? Estimatorar Eigenskapar til S 2 Kahoot 2

3 Repetisjon

4 Obervator Ein observator (eng: statistic) er ein funksjon av stokastiske variablar i eit tilfeldig utval. Utvalsfordeling Fordelinga til ein observator kallast utvalsfordelinga (eng: sampling distribution). Ofte brukte observatorar X = 1 n S 2 = 1 n 1 n i=1 X i n (X i X) 2 i=1 4

5 Sentralgrenseteoremet (utvalsfordelinga til X) Teorem La X i vere uavhengig identisk fordelte (u.i.f.) stokastiske variablar med E(X i ) = µ X og Var(X i ) = σx 2 < for i = 1,..., n. La X n = 1 n n i=1 X i. Då vil fordelinga til Z = X n E( X n ) SD( X n ) = X n µ X σ X / n gå mot ei standard normalfordeling når n. 5

6 Sentralgrenseteoremet (utvalsfordelinga til X) Teorem La X i vere uavhengig identisk fordelte (u.i.f.) stokastiske variablar med E(X i ) = µ X og Var(X i ) = σx 2 < for i = 1,..., n. La X n = 1 n n i=1 X i. Då vil fordelinga til Z = X n E( X n ) SD( X n ) = X n µ X σ X / n gå mot ei standard normalfordeling når n. Dette tilsvarar ( X n n x; µ X, σ ) X. n 5

7 Er dataa mine normalfordelt?

8 Fysisk kondisjon ved maksimalt oksygenopptak Helseundersøkinga i Nord-Trøndelag (HUNT) er ei av verdas største folkehelseundersøkinger. HUNT 3 pågjekk i perioden Me skal sjå på data frå 1471 menn frå Kondisprosjektet i HUNT 3 Prosjektet ville kartlege samanhengen mellom kondisjon, fysisk aktivitet, smerte, karfunksjon osb. Maksimalt oksygenopptak (VO2max) måles ved å springe på ei tredemølle med oksygenmaske til ein ikkje klarer meir. 7

9 Figure: Histogram 8

10 Figure: Histogram Figure: Boksplott 8

11 F(x) Figure: Histogram Figure: Boksplott 1 Empirical CDF x Figure: Kumulativ fordeling 8

12 F(x) Probability Figure: Histogram Figure: Boksplott 1 Empirical CDF Normal Probability Plot x Data Figure: Kumulativ fordeling Figure: Normalplott 8

13 Estimatorar

14 Definisjon Anta at me har eit tilfeldig utval X 1, X 2,..., X n frå f (x; θ)-populasjonen, der verdien til parameteren θ er ukjend. Ein estimator er ein observator som nyttast til å anslå verdien til θ. 10

15 Definisjon Anta at me har eit tilfeldig utval X 1, X 2,..., X n frå f (x; θ)-populasjonen, der verdien til parameteren θ er ukjend. Ein estimator er ein observator som nyttast til å anslå verdien til θ. Forventningsrett estimator Ein observator ˆθ seies å verre ein forventningsrett (eng: unbiased) estimator for parameteren θ dersom E(ˆθ) = θ. 10

16 Definisjon Anta at me har eit tilfeldig utval X 1, X 2,..., X n frå f (x; θ)-populasjonen, der verdien til parameteren θ er ukjend. Ein estimator er ein observator som nyttast til å anslå verdien til θ. Forventningsrett estimator Ein observator ˆθ seies å verre ein forventningsrett (eng: unbiased) estimator for parameteren θ dersom E(ˆθ) = θ. Effisient estimator Av fleire forventningsrette estimatorar for θ seier me at den med minst varians er den mest effisiente. Me føretrekk den mest effisiente estimatoren. 10

17 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X n tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Naturlige estimatorer: ˆµ 1 = X (gjennomsnitt) og ˆµ 2 = X (empirisk median) 11

18 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Generer observasjoner X i n(x i ; 2.4, 0.1) , 2.262, 2.560, 2.281, 2.503, 2.362, 2.258, 2.282, x = og x = x x µ

19 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Generer observasjoner X i n(x i ; 2.4, 0.1) , 2.407, 2.415, 2.406, 2.480, 2.453, 2.512, 2.331, x = og x = µ x x

20 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Generer observasjoner X i n(x i ; 2.4, 0.1) , 2.277, 2.547, 2.393, 2.373, 2.369, 2.321, 2.369, x = og x = x µ x

21 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Generer observasjoner X i n(x i ; 2.4, 0.1) , 2.401, 2.465, 2.430, 2.389, 2.461, 2.330, 2.325, x = og x = µ x x

22 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Observerer verdier for X 1, X 2,..., X , 2.401, 2.465, 2.430, 2.389, 2.461, 2.330, 2.325, x = og x = x x

23 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Gjentar forsøket ganger. Lager histogram over de verdiene av x og x. 17

24 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Gjentar forsøket ganger. Lager histogram over de verdiene av x og x. Antall x

25 Illustrasjon ved simulering Situasjon: X 1, X 2,..., X 9 tilfeldig utvalg fra n(x; µ, σ)-populasjonen. Verdien til µ er ukjent. Skal estimere (anslå) verdien til µ. Gjentar forsøket ganger. Lager histogram over de verdiene av x og x. Antall x x 17

26 Eigenskapar til S 2

27 Eigenskapar til S 2 Teorem Anta X 1, X 2,..., X n u.i.f. frå n(x; µ, σ)-populasjonen. Då er Sn 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 ein forventningsrett estimator for σ 2, det vil seie E(Sn) 2 = σ 2. 19

28 Kahoot

29 Neste veke Sannsynsmaksimeringsestimator Konfidensintervall 21