TMA4240 Statistikk H2015

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

2

3

4 Fordeling til gjennomsnittet X [8.4] TEO 8.2: Sentralgrenseteoremet La X 1, X 2,...,X n være et tilfeldig utvalg fra en fordeling med forventning µ og varians 2.Daharviatsannsynlighetsfordelingentil Z = X µ / p n går mot standard normalfordelingen, n(z; 0, 1), når n!1.

5 Kritiske verdier i standard normalfordelingen P (Z >z )= z

6

7

8

9

10

11 Konfidensintervall for µ med kjent I Hvis x er gjennomsnittet av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med kjent varians 2,såeret(1- )100% konfidensintervall for µ x z 2 p n <µ< x + z 2 p n hvor z er verdien i standard normalfordelingen som har areal 2 2 til høyre, dvs. P(Z > z )= 2 2.

12 Konfidensintervall for µ med kjent x z 2 p n <µ< x + z 2 p n

13

14 Ja, dette skal være en rett linje som går vertikalt i mu.

15

16

17 T og t-fordeling COR: La X 1, X 2,...,X n være uavhengige stokastiske variabler som alle er normalfordelte med samme forventning µ og samme standardavvik.la X = 1 n nx i=1 X i og S 2 = 1 n 1 Da er den stokastiske variablen T = X µ S/ p n nx (X i X ) 2 i=1 t-fordelt med =(n 1) frihetsgrader.

18 W. S. Gosset alias Student

19 Historisk: Student-t fordelingen I W.S. Gosset ( ) was employed by the Guinness Brewing Company of Dublin. I Sample sizes available for experimentation in brewing were necessarily small, and Gosset knew that a correct way of dealing with small samples was needed. I He consulted Karl Pearson ( ) of Universiy College in London about the problem. Pearson told him the current state of knowledge was unsatisfactory. I The following year Gosset undertook a course of study under Pearson. An outcome of his study was the publication in 1908 of Gosset s paper on "The Probable Error of a Mean," which introduced a form of what later became known as Student s t-distribution. I Gosset s paper was published under the pseudonym "Student." I The modern form of Student s t-distribution was derived by R.A. Fisher and first published in 1925.

20 t-fordelingen standardnormal t df=19 t df=5 t df=

21 DEF: t-fordeling TEO 8.5: La Z være en standard normalfordelt stokastisk variabel og V være en kjikvadrat-fordelt stokastisk variabel med frihetsgrader. Hvis Z og V er uavhengige, er fordelingen til den stokastiske variablen T T = Z p V / gitt ved sannsynlighetstettheten h(t) = [( + 1)/2] ( /2) p t2 (1 + ) ( +1)/2 for 1 < t < 1. Denne fordelingen har navnet (Student) t fordelingen med frihetsgrader. I E(T )=0 hvis 2. I Var(T )= 2 hvis 3.

22 Kvantiler N og t: /2 = standardnormal t df=19 t df=

23 Kritiske verdier i t-fordelingen P (T >t, ) = \

24

25 Det er her to grunner til at dette intervallet er bredere enn det vi hadde med normal-fordelingen: det estimerte standardavviket ble større enn 6cm, og vi byttet ut kritisk verdi i standard normal (1.96) med kritisk verdi i t-fordelingen med 96 frihetsgrader (1.985).

26 Konfidensintervall for µ med ukjent I Hvis x er gjennomsnittet og s er estimert standardavvik av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med ukjent varians 2,såeret(1- )100% konfidensintervall for µ x t 2,(n 1) s p n <µ< x + t 2,(n 1) s p n hvor t 2,(n 1) er verdien i t-fordelingen med n 1 frihetsgrader som har areal 2 til høyre, dvs. P(T > t 2,(n 1) )= 2.

27 Konfidensintervall for µ med ukjent x t 2,(n 1) s p n <µ< x + t 2,(n 1) s p n

28 DEF: t-fordeling TEO 8.5: La Z være en standard normalfordelt stokastisk variabel og V være en kjikvadrat-fordelt stokastisk variabel med frihetsgrader. Hvis Z og V er uavhengige, er fordelingen til den stokastiske variablen T T = Z p V / gitt ved sannsynlighetstettheten h(t) = [( + 1)/2] ( /2) p t2 (1 + ) ( +1)/2 for 1 < t < 1. Denne fordelingen har navnet (Student) t fordelingen med frihetsgrader. I E(T )=0 hvis 2. I Var(T )= 2 hvis 3.

29 Fordelingen til S 2 (n 1)S2 I Resultat: V = 2 = P n = n 1 frihetsgrader. Fordi: i=1 Z i 2 Z 2 er kjikvadrat-fordelt med i) X 1,...,X n u.i.f. normal, E(X i )=µ og Var(X i )= 2. ii) Z i = X i µ er standard normalfordelt, og Z = X µ p n standard normalfordelt. er iii) Zi 2 2 = Xi µ er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. 2 Z 2 = X µ p er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. n iv) P n i=1 Z i 2 er kjikvadratfordelt med n frihetsgrader. v) (n 1)S 2 = P n i=1 (X i X ) 2 = P n i=1 (X i µ) 2 n( X µ) 2, (n 1)S2 og dermed V = 2 = P n i=1 Z i 2 Z 2 vi) P n i=1 Z i 2 og Z 2 er uavhengige.