6.1 Kontinuerlig uniform fordeling

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger : Uniform fordeling, normalfordelingen. Mette Langaas Foreleses onsdag 22. september Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme stokastiske variabelen X på intervallet [A, B] er 1 f (x; A, B) = B A, A x B = 0 ellers. f(x) F(x) µ = E(X) = A + B 2 og 2 = Var(X) = (B A)2 12

2 3 6.2 Normalfordeling Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning E(X) = µ og varians Var(X) = 2, er gitt ved n(x; µ, ) = 1 e 1 (x µ) 2 2 2, 2 π for < x <, der π=3.142 og e 1 = Høyde kvinner og menn

3 5 Høyde kvinner og menn 6 Normalfordelingen

4 Data som er påvirket av mange små og urelatert tilfeldig effekter er tilnærmet normalfordelt. Cartoon Guide to Statistics 8 Utvalg fra normalfordeling Eksempel fra notat av Dimakos & Løland, Norsk Regnesentral

5 9 Historisk sett Matematisk form av normalfordlingen vist av demoivre i Laplace brukte normalfordelingen til analyse av måleusikkerhet i eksperimenter rundt C.F. Gauss publikasjon 1809 matematisk behandling av måleusikkerhet i eksperimenter. Navnet normalfordeling kom rundt 1875 (Peirce, Galton, Lexis) "No scientific discovery is named after its original discoverer." 10 Lokasjon og spredning

6 11 Length of pregnancies The length of a pregancy is often approximated by the normal distribution, with an expectation of 266 days and a standard deviation of 14 days. The following letter way printed in the Nashville paper Tennessean in January Dear Abbey: You wrote in your column that a woman is pregnant for 266 days. Who said so? I carried my baby for 10 months and five days, and there is no doubt about it because I know the exact date my baby was conceived. My husband is in the Navy and it couldn t possibly be concieved any other time becuse I saw him only once for an hour, and I didn t see him again until the day the baby was born. I don t drink and run around, and there is no way this baby isn t his, so please print a retraction about the 266-day carring time because otherwise I am in a lot of trouble. San Diego Reader. Eksempel fra notat av Dimakos & Løland, Norsk Regnesentral 12 IQ Poengsummen fra en IQ-test antas ofte å være normalfordelt, og flere av IQ-testene har en forventningsverdi på 100 og et standardavvik på and over Genius or near genius Very superior intelligence Superior intelligence Normal or average intelligence Dullness Borderline deficiency Below 70 Definite feeble-mindedness Hva er sannsynligheten for å ha en IQ lavere enn 100? Hva er sannsynligheten for å ha en IQ mellom 80 og 120? For å bli med i Mensa må man oppnå en poengsum høyere enn 98 percentilen i fordelingen for testen. Hvor høy poengsum må man ha for å blir medlem av Mensa?

7 13 Standard normalfordeling DFF 6.1: Fordelingen til en normalfordelt stokastisk variabel, Z, med forventning E(Z ) = 0 og varians Var(Z ) = 1 kalles en standard normalfordeling. f Z (z) = 1 2 π e z2, for < z <, der π=3.142 og e 1 = Cartoon Guide to Statistics

8 15 N(µ, ) og N(0, 1) X har fordeling n(x; µ, ) Z = X µ har fordeling n(z; 0, 1) P(x 1 < X < x 2 ) = P( x 1 µ = F( x 2 µ = Φ( x 2 µ < Z < x 2 µ ) ) F( x 1 µ ) ) Φ( x 1 µ ) 16 Fra halesannsynlighet til verdi X er normalfordelt (µ, ). Finn x slik at P(X x) = α. Gitt α finner vi i tabell for standard normalfordling verdien z som oppfyller P(Z z) = α. Sammenheng mellom Z og X: Z = X µ og dermed X = µ + Z. Verdi for X finner vi fra x = µ + z.