ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

Transkript

1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

2 2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave

3 3 Pensumoversikt Kap. 2 Beskrivende statistikk, én variabel Kap. 3 Beskrivende statistikk, to variabler Kap. 4 Sannsynlighetsregning Kap. 5 Diskrete sannsynlighetsfordelinger Kap. 6 Normalfordelingen Kap. 7 Fordelingen til gjennomsnittet Kap. 8 Innføring i statistisk inferens Kap. 9 Statistisk inferens, én populasjon Kap. 10 Statistisk inferens, to populasjoner Kap Kjikvadrattesten Kap. 12 Variansanalyse Kap Regresjonsanalyse

4 4 Oversikt Kap. 1-3: Beskrivende statistikk Kap. 4-7: Sannsynlighetsregning Kap. 8-13: Statistisk inferens

5 5 Forelesninger og øvinger Forelesninger: Mandag 08:15 10:00 D5 Onsdag 12:15 14:00 D5 Øvinger: Torsdag 14:15 16:00 D106 Fredag 12:15 14:00 D106 Øvingslærer: Erik B. Solbu NB: Tre av øvingssettene, nr. 3, 7 og 10, er obligatoriske. Besvarelsene på disse må godkjennes for at du skal få anledning til å ta eksamen.

6 6 Hva er statistikk? Vitenskapen å samle inn, beskrive og tolke data

7

8 8 Viktige definisjoner (1.2) Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere egenskaper for. Utvalg En delmengde av populasjonen (eng.: sample ) Parameter En tallverdi som oppsummerer populasjonen Observator En tallverdi som oppsummerer utvalget (eng.: statistic ) Utvalget skal fortelle noe om populasjonen Observatoren skal fortelle noe om parameteren

9 9 Populasjon og utvalg parameter og observator

10 10 Populasjon og utvalg parameter og observator

11 Ulike typer variabler: kvalitativ (ikke-numerisk) nominell (kategorisk), f.eks. {mann,kvinne} ordinal (kategorisk med rangering), f.eks. {svak, middels, sterk} kvantitativ (numerisk) diskrete, f.eks. {0,1,2,3,..} kontinuerlig, f.eks. et tall i intervallet (0,100), ofte med desimaler (97.3)

12 12 Datainnsamling (1.4) Krav til utvalg: Utvalget må være representativt for populasjonen, og ikke skjevt: Skjev ( biased ) utvalgsmetode: En utvalgsmetode som systematisk gir verdier som ikke er representative for populasjonen som det trekkes fra. (Motsatt: unbiased ) Årsaker til skjevhet: bekvemmelighet frivillighet

13 13 Eksperimenter og observasjonsstudier Det er to hovedmetoder for innsamling av data: Eksperiment (kontrollert studie, randomiserte forsøk): En effekt studeres under ulike kontrollerte betingelser. Eksempel: Sammenligning av to medikamenter, der gruppen av forsøkspersoner deles i to etter loddtrekning, og hver delgruppe får ett av medikamentene. Observasjonsstudie: Når det ikke er mulig å kontrollere bakgrunnsvariablene. Eksempel: Studie av sammenheng mellom forurensning og sykdommer. Her kan det trekkes et utvalg av personer, men bakgrunnsvariablene kan normalt ikke modifiseres av den som utfører undersøkelsen.

14 Observasjonsstudie:

15 Eksperiment:

16 16 Datainnsamlingsprosessen Utvalgsramme ( sampling frame ): En liste over de elementene i populasjonen som utvalget skal trekkes fra. Ideelt: hele populasjonen. Utvalgsrammen må i alle tilfeller være representativ for populasjonen. Utvalgsdesign: Subjektivt utvalg: Et utvalg valgt utfra hvilke elementer som bedømmes som representative for populasjonen. (Blir skjevt!) Sannsynlighetsvektet utvalg: Et utvalg valgt slik at hvert element i populasjonen har en bestemt (kjent) sannsynlighet for å blir trukket ut. Av denne sorten er: Enkelt tilfeldig utvalg: Et utvalg valgt slik at alle elementer i populasjonen har samme mulighet for å bli trukket.

17 17 Grafisk presentasjon av data (2.2) Example 2.1 i boka: Operasjoner utført ved General Hospital siste år. Type of operation Number of cases Thoracic 20 Bones and joints 45 Eye, ear, nose, and throat 58 General 98 Abdominal 115 Urologic 74 Proctolyctic 65 Neurosurgery 23

18 18 Sirkelgraf General Eye, ear, nose, and throat Bones and joints Thoracic Neurosurgery Abdominal Proctologic Urologic

19 19 Søylegraf Thoracic Bones and joints Eye, ear, nose, and throat General Abdominal Urologic Proctologic Neurosurgery

20 20 Paretodiagram Abdominal General Urologic Proctologic Eye, ear, nose, and throat Bones and joints Neurosurgery Thoracic

21 21 Punktplott ( dotplot ) 19 eksamensresultater:

22 22 Stem-and-leaf plot Data: Plot:

23 23 Frekvensfordeling og histogram (2.3) Frekvensfordeling: En tabell som viser hvor mange ganger hver dataverdi opptrer. x f

24 Hvis x kan anta mange ulike verdier kan en sette opp gruppert frekvensfordeling. x f 35 x < x < x < x < x < x < x < 105 4

25 25 Histogram (frekvens) Data: Histogram, n=10 klasser:

26 26 Histogram (relativ frekvens) Data: Histogram, n=10 klasser:

27 27 Mål for lokalisering av data (2.4) Gjennomsnitt summen av data x = antall data Eksempel: Data 1, 2, 6, 1, 10 = x n x = = 20 5 = 4 Median x er den midterste verdien når data er rangert etter størrelse. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10 x = 2

28 Median hvis antall verdier er et partall: Eksempel: Data 1, 1, 2, 5, 6, 10 x = = Mode: Den verdien som opptrer oftest. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10, mode=1 Eksempel: Data 1, 2, 6, 10, ingen mode Midtrang ( midrange ): Gjennomsnitt av høyeste og laveste. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10, Midtrang = = 5.5

29 29 Mål på spredning (2.5) Rekkevidde (range): Differansen mellom største (H) og minste (L) verdi R = H L Gjennomsnittlig absolutt avvik: x x MAD = n Gjennomsnittlig kvadratisk avvik (utvalgsvarians): (x x) s 2 2 = n 1 og (utvalgs)standardavvik (x x) s = s 2 2 = n 1

30 30 Eksempel Data 1, 1, 2, 6, 10 x x = 20 5 = x = 20

31 31 Beregning av MAD (gjennomsnittlig absolutt avvik) Obs Avvik Absolutt avvik x x x x x = = = = = 6 6 x = 20 MAD = 16 5 = 3.2 x = 4

32 32 Beregning av utvalgsvarians (gjennomsnittlig kvadratisk avvik) x x x (x x) = = = = = 6 36 x = 20 (x x) 2 = 62 x = 4 s 2 = = 15.5

33 Varians: Standardavvik: s 2 = (x x) 2 n 1 = = 15.5 s = (x x) 2 s 2 = n 1 = 3.94 Enklere formel: s 2 = x 2 ( x) 2 /n n 1 x 2 = = 142 x = 20 s 2 = /5 5 1 = 15.5

34 Oppgave La dataene være: 1,3,3,2,0,2,2,4,4,4,2,3,1,2,2,3,3,2,2 På frekvensform: Finn gjennomsnittet x til dataene x f

35 Løsning: Gjennomsnitt summen av data x x = = antall data n x = = = 2.3 x er tyngdepunktet i datamengden:

36 36 Mål på beliggenhet (2.6) Kvartiler: Deler de ordnede dataene inn i fire like store deler: 1. kvartil Q 1 : Verdien som er slik at 25% av dataene er mindre og 75% er større. 2. kvartil Q 2 : 50% av dataene er mindre og 50% er større. Det samme som medianen x 3. kvartil Q 3 : 75% av dataene er mindre og 25% er større. 5-tallssammendrag: L, Q 1, x, Q 3, H

37 37 5-tallssammendrag

38 38 Beregning av kvartilen Q 1 (example 2.12) Data: Utvalgsstørrelse n = 20 Step 1: Ranger fra minste til største: Step 2: Ca. 25% av dataene skal være mindre enn Q 1. Beregner derfor 25% av utvalgsstørrelsen 20, dvs. (20)(25) 100 = 5 ( ) Step 3: Dybden ( depth ) er da d(q 1 ) = 5.5 siden svaret ble et helt tall (dvs. uten desimaler). Legger da alltid til 0.5. (Hvis det hadde blitt desimaler i (*), f.eks. 5.25, ville vi satt dybden til neste hele tall, dvs. 6.)

39 Step 4: Siden d(q 1 ) = 5.5 er Q 1 lik gjennomsnittet mellom den 5. og 6. største observasjonen, dvs = 73 (mens det feilaktig ble skrevet 72.5 i forrige forelesning - siden MINITAB regner annerledes på dette). Vi ser at da er det 5 observasjoner (dvs. 25%) mindre enn Q 1, og 15 (dvs. 75%) større enn Q 1. Tilsvarende blir d(q 3 ) = 15.5 siden vi da har (20)(75) 100 = 15. Dermed blir Q 3 lik gjennomsnittet av observasjon nr. 15 og 16, dvs. Q 3 = = tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = 96

40 40 Box and whiskers display Data: tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, 00, H = 96, 00

41 41 Tolkning av standardavvik (2.7) Empirisk regel: innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 68% av dataene være. innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 95% av dataene være. innenfor tre standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 99.7% av dataene være. (Gjelder eksakt for en normalfordelt populasjon, men gir generelt en god intuisjon av variasjon i data.)

42 42 Eksempel på bruk av standardavvik Data: På kalkulator kan vi beregne gjennomsnitt x = 77.3, standardavvik s = Fra den empiriske regelen har vi da: ca. 68% av obs ligger innenfor ett standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 10.3, dvs. mellom 67.0 og 87.6 (I virkeligheten er 14 av 20 obs, dvs. 70% her). ca. 95% av obs ligger innenfor to standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 20.6, dvs. mellom 56.7 og 97.9 (I virkeligheten er 19 av 20 obs, dvs. 95% (!) her). ca. 99.7% av obs ligger innenfor tre standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 30.9, dvs. mellom 46.4 og (I virkeligheten er alle, dvs. 100% her).