Beregning av kvartilen Q 1 (example 2.12) Mer repetisjon. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 2 Beregning av kvartilen Q 1 (eample 2.12) Data: Utvalgsstørrelse n = 20 Step 1: Ranger fra minste til største: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Step 2: Q 1 er 25-prosentilen, dvs. k = 25. Beregn nk 100 = (20)(25) 100 = 5 ( ) (som er 25% av 20). Step 3: Dbden ( depth ) er da d(q 1 )=5.5 siden svaret ble et helt tall (dvs. uten desimaler). Legger da alltid til 0.5. (Hvis det hadde blitt desimaler i (*), f.eks. 5.25, ville vi satt dbden til neste hele tall, dvs. 6.) Step 4: Siden d(q 1 )=5.5 erq 1 lik gjennomsnittet mellom den 5. og 6. største observasjonen, dvs = 73 (mens det feilaktig ble skrevet 72.5 i forrige forelesning - siden MINITAB regner annerledes på dette). Vi ser at da er det 5 observasjoner (dvs. 25%) mindre enn Q 1,og 15 (dvs. 75%) større enn Q 1. Tilsvarende blir d(q 3 )=15.5 siden vi da har k = 75 og nk 100 = (20)(75) 100 = 15. Dermed blir Q 3 = tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = 96 4 Mer repetisjon Data: På kalkulator kan vi beregne gjennomsnitt = 77.3, standardavvik s = Fra tolking av standardavvik har vi da at: ca. 68% av obs ligger innenfor ett standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 10.3, dvs. mellom 67.0 og 87.6 (I virkeligheten er 14 av 20 obs, dvs. 70% her). ca. 95% av obs ligger innenfor to standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 20.6, dvs. mellom 56.7 og 97.9 (I virkeligheten er 19 av 20 obs, dvs. 95% (!) her). ca. 99.7% av obs ligger innenfor tre standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 30.9, dvs. mellom 46.4 og (I virkeligheten er alle, dvs. 100% her).

2 5 Bivariate data (3.2) Bivariate data: verdien av to variable som er hentet fra samme objekt i populasjonen. To kategoriske variable: Eksempel der Gender er {Male,Female}. Major er {Business Administration,Liberal Arts,Technolog}. Krsstabell gender og major, frekvens Sølegraf av tabellen over. Krsstabell gender og major, prosent av total

3 Krsstabell gender og major, prosent av total til kolonne Krsstabell gender og major, prosent av total til rad Boplot for de tre tpene bildekk En kategorisk og en numerisk variabel Eksempel med stopplengder for tre tper bildekk (Table 3.7 s. 151 i boka)

4 To numeriske variable: Eksempel: Antall push ups og antall sit ups for ti tilfeldig valgte studenter. 14 Spredningsplott ( scatter diagram ) Plott av antall sit ups mot antall push ups. Eksempel: Punkt nederst til venstre: push ups er 15, sit ups er 25. Spredningsplott: Plott av armstrke mot gripestrke for 149 håndverkere. 16 Lineær korrelasjon (3.3) Lineær korrelasjon måler lineær sammenheng mellom to variable. Med positiv korrelasjon menes at hvis vokser, har også en tendens til å vokse. Med negativ korrelasjon menes at hvis vokser, har en tendens til å avta. Her er ingen korrelasjon: 3

5 Positiv korrelasjon (0.5) Negativ korrelasjon (-0.5) Perfekt positiv korrelasjon (1) Perfekt negativ korrelasjon (-1)

6 Ingen lineær korrelasjon (men tdeligvis en ikke-lineær sammenheng) 22 Pearsons produktmomentformel Numerisk mål på strken av den lineære korrelasjonen: Den lineære korrelasjonskoeffisienten r: ( )( ȳ) r = (n 1)S S hvor S og S er standardavvikene til og Enklere formel hvor r = SS() SS()SS() SS() = 2 ( ) 2 n SS() = 2 ( ) 2 n SS() = n 24 Beregning av den lineære korrelasjonskoeffisienten r

7 26 Å forstå den lineære korrelasjonskoeffisienten r (fra boka) 27 Eksempel på metoden for å anslå korrelasjonskoeffisienten r 28 Årsakssammenheng (kausalitet) og skjulte ( lurking ) variable Skjult (latent) variabel: En variabel som har en viktig effekt på sammenhengen mellom de observerte variablene, men som ikke er inkludert i undersøkelsen. Dersom det er sterk korrelasjon mellom to variable kan en ha at: Det er en direkte årsakssammenheng mellom de to variablene. Det er en reversert årsakssammenheng mellom de to variablene. Sammenhengen skldes en tredje (eller flere) skjulte variable Sammenhengen kan være helt tilfeldig.

8 29 Advarsel 30 Lineær regresjon (3.4) En sterk korrelasjon betr ikke nødvendigvis årsakssammenheng! Eksempler fra læreboka (Oppgave 3.50 og 3.51): Sammenheng mellom iskremsalg og antall drukningsulkker i juli måned. Sammenheng mellom forsikringsutbetaling ved branner og antall brannbiler som rkket ut. Motivasjon: Korrelasjon er et mål på lineær sammenheng mellom to variable, men den gir oss ikke noe anslag for en av variablene når verdien av den andre er gitt. For eksempel: Gitt at en student tar 40 push-ups, hvor mange sit-ups kan en da anslå at han tar? I lineær regresjon antas at det er en sammenheng av formen: ŷ = b 0 + b 1 som er formelen for en rett linje i matematikken. EKSEMPEL: Plot av sit-ups mot push-ups og linjen ŷ = b 0 + b 1 med b 0 = 14.9 ogb 1 = 0.66 funnet ved minste kvadraters metode. 32 Minste kvadraters ( least squares ) metode Modell: ŷ = b 0 + b 1 Ide: Velg b 0 og b 1 slik at kvadratisk avvik mellom ŷ og for punktene i spredningsplottet blir minst mulig. Da er b 1 = ( )( ȳ) ( ) 2 For = 40 push ups, anslår ( predikerer ) vi dermed antall sit-ups til å være ŷ = = med ekvivalent formel b 1 = SS() SS(). b1 og b 0 = n

9 33 Prediksjon Av spesiell interesse er det å kunne gjøre prediksjoner basert på verdier av. Dette gjøres ved å sette inn verdier i uttrkket ŷ = b 0 + b 1 Eksemplet vi så på: Gitt at en student tar 40 push-ups, predikerer vi antall sit-ups til Husk: Prediksjonen er bare gldig for elementer i populasjonen som utvalget stammer fra. Prediksjonen er usikker utenfor tpiske verdier. Sammenhenger mellom variable endres i tid. ŷ = b 0 + b 1 = = 41.3