Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler. Mål for sentraltendens

Transkript

1 Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler Statistiske mål for univariate fordelinger: Sentraltendens Verdien for fordelingens tyngdepunkt Spredning Hvor nært opp til tyngdepunktet ligger enhetene i fordelingen 1 Mål for sentraltendens Modus (M): hyppigst forekommende verdi Median ( Y ~ ): punktet som splitter fordelingen i to like store deler Gjennomsnitt ( Y): fordelingens tyngdepunkt Yi Y = n Mål for spredning (del I) Modalprosent (Mp): prosentandel med verdien modus Variasjonsbredde (Vb): differansen mellom den høyeste og den laveste verdien i fordelingen Kvartildifferanse (K = K 3 -K 1 ): variasjonsbredde for den midterste 5-prosenten av fordelingen Data rangert fra lav til høy kvartildifferansen 5 % 5 % 5 % 5 % 3 Lav K1 K K3 Høy 1

2 Mål for spredning (del II) Varians (s ): S = ( Y Y ) n 1 Standardavvik (s): S ( Y Y ) = n 1 4 Vi tar utgangspunkt i en datamatrise Karakterprotokoll klasse 9A Navn: Karakter Navn K arakter Andersen, Tove 3 Nilsen, M ette 3 A ndreassen, Tor 4 O lsen, K åre 4 B ull, Ida 3 O lsen, N ils. 5 Pettersen, K ari Narvik, Henrik 3 Ås, Ola 3 5 Datamatrisen presentert i tabellform Karakterfordeling for stiloppgave i norsk. Karakter: Antall Totalt 8 M=3 ~ y=3 % y = 1*+*6+3*15+4*5+5*+6* 8 Kum % Hvor er 5%? = 3,17 3,16

3 Hva med spredningsmålene? Karakterfordeling for stiloppgave i norsk. Karakter: Antall Totalt 8 % Kum % Mp = 54 Vb = 5 = 3 K = K 3 K 1 = 3,5 3 =,5 5%? 5% 7 Varians og standardavvik Karakterfordeling for stiloppgave i norsk. ( y y) Vi vet allerede at Varians s = Karakter: Antall gjennomsnittet er 3,1 n 1 1 6( 3,1) + 15(3 3,1) + 5(4 3,1) + (5 3,1) 6 s = = ( 1,1) + 15(,1) + 5(,9) + (1,9) s = = 6 7 6*1,1+ 15*,1+ 5*,81+ *3,61 18,68 Totalt 8 s = = =, Standardavvik = kvadratrota av variansen ( y y) s = =,69 =,83 n 1 8 Sentraltendens og spredning i forhold til variablenes målenivå Nominalnivå Modus Ordinalnivå Median Intervall-/forholdstallsnivå (Aritmetisk) gjennomsnitt Nominalnivå Modalprosent Ordinalnivå Variasjonsbredde Kvartildifferanse Intervall/forholdstallsnivå Varians Standardavvik 9 3

4 Hvilke statistiske mål kan vi bruke for å beskrive denne fordelingen? Sivilstand til informantene i Verdiundersøkelsen. Antall Prosent 1. Gift Samboer Skilt Separert Enke/enkemann Enslig Totalt 13 M: 1 (Gift) Mp: 6% 1 Hvilke mål bruker vi for å beskrive denne fordelingen? Hvor fornøyd er du med jobben din? Antall Prosent 1. Svært misfornøyd 8 1. Misfornøyd Både/og Fornøyd Svært fornøyd Totalt 898 Kumulativt antall Kumulativ prosent M=4 (Fornøyd) Mp=43% Medianposisjon: ~ d ( Y ) = = 449, 5 Vb = 5 1 = 4 Median: Y ~ = 4( Fornøyd) K = K3 K1 = 5 4 = 1 11 Statistiske mål? Karakterfordeling for stiloppgave i norsk. Kumulativ Karakter: Antall Prosent p rosent Totalt 8 M: 3 (karakter 3) Mp: 9% Y ~ : 3 Vb: 6-1 = 5 K: 4 - = Gjennomsnitt: Y = = = 3,4 3, 8 8 s = Standardavvik (s): 4(1 3) + 6( 3) + 8(3 3) + 6(4 3) + 3(5 3) + 1(6 3) = = = 1,81 = 1,

5 Gjennomsnitt som fordelingens tyngdepunkt Hva skjer hvis vi forskyver denne? Y = 5,4 Hva blir medianen? ~ = 6 Y 13 Hva skjer med tyngdepunktet hvis vi flytter en boks? Hva skjer med tyngdepunktet hvis vi flytter en boks? Y - = 6 Hva blir medianen nå? ~ = Y

6 En del empiriske variabler er tilnærmet normalfordelte 16 Repetisjon: Populasjon og utvalg 17 Sannsynlighet og sannsynlighetsfordelinger All statistisk generalisering bygger på sannsynligheter Når vi jobber med sannsynlighetsutvalg kan vi bruke sannsynlighetsregning for å generalisere fra utvalget til populasjonen Vi kan da enten regne sannsynligheter direkte, eller vi kan benytte kjente sannsynlighetsfordelinger som normalfordeling, kjikvadratfordeling, t-fordeling eller F-fordeling. 18 6

7 Hva er en normalfordeling? Alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger Alle resultatene har en sannsynlighet på,78 ( 3%) Men hva skjer om vi regner ut summen for de to terningene? 1 = =3 3 =4 4 =5 5 =6 6 =7 1 =3 =4 3 =5 4 =6 5 =7 6 =8 1 =4 =5 3 =6 4 =7 5 =8 6 =9 1 =5 =6 3 =7 4 =8 5 =9 6 =1 1 =6 =7 3 =8 4 =9 5 =1 6 =11 1 =7 =8 3 =9 4 =1 5 =11 6 =1 1 7

8 Sannsynlighetsfordeling for resultatet av et kast med to terninger Resultat Antall Prosent Sannsynlighet 1 3,3 3 6, , , , , , , ,8 11 6, ,3 Sum ,1 Grafisk fremstilling av forventet resultat av kast med to terninger Stemmer dette i praksis? 3 Empirisk forsøk: 1 kast med to terninger Density disc 4 8

9 Empirisk forsøk: kast med to terninger Density disc 5 Empirisk forsøk: 1 kast med to terninger Density disc 6 Resultatet av John Kerrich sitt eksperiment med myntkast Antall Antall Forskjell Antall Antall Forskjell Kast hoder fra 5% kast hoder fra 5%

10 Resultatet av John Kerrich eksperiment med myntkast Antall hoder - (antall kast / ) Antall kast 4 7 Prosent hoder - 5% Antall kast 4 7 Størrelsen på de tilfeldige avviskene øker med antallet myntkast De tilfeldige avvikene målt i prosent av antallet kast blir mindre med økt antall myntkast. 8 Hva hvis vi kaster 1 terninger ganger? Vi har da til sammen mulige kombinasjoner Summen vil fordele seg i intervallet mellom 1 og 6 Selv om hver kombinasjon har samme sannsynlighet, vil de ulike summene (1-6) har ulik sannsynlighet. De fleste resultatene vil ligge rundt gjennomsnittet på 35 9 Empiriske forsøk: 1 kast med 1 terninger 95 prosent 68 prosent Y = 35, s = 5,38 Y s = 4,6 Y s = 9,64 Y + s = 4,4 Y + s = 45,78 3 1

11 Illustrasjon av intervaller i normalfordelingen 68,% 95,4% 1 1 μ 31 To fordelinger med lik sentraltendens, men med ulik spredning _ X 3 Det finnes mange normalfordelinger, men bare en standardisert normalfordeling μ μ - μ 33 11

12 Normalfordelingen Prosent av normalfordelingen som ligger over verdien Z M + Z s 5,5 3,8 1 15,9 1,8 1 1,5 6,5 1,65 5, 1,96,5,3,33 1,,5,6,57,5 3,