TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en normalfordelng med ukjent forventnngsverd µ, og ukjent varans σ, er et (-α)00% predksjonsntervall for en fremtdg observasjon x 0 gtt som x t α,(n ) s + n < x 0 < x + t α,(n ) s + n hvor t α,(n ) er verden t-fordelngen med n frhetsgrader som har areal α tl høyre, dvs. P(T > t α,(n ) ) = α, og s = n n = (x x)

2 3 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en normalfordelng med ukjent forventnngsverd µ, men kjent varans σ, er et (-α)00% predksjonsntervall for en fremtdg observasjon x 0 gtt som x z α σ + n < x 0 < x + z α σ + n hvor z α er verden normal-fordelngen som har areal α tl høyre, dvs. P(Z > z α ) = α. 4 To utvalg: eksempler Betong: to ulke oppskrfter, A og B, skal sammenlgnes. Hvor stor forskjell er det styrken ( crushng strength ) for betong fra oppskrft A og fra oppskrft B? Algortmer: to ulke sorterngsalgortmer skal sammenlgnes. Hvlken algortme har kortest kjøretd for en spesell problemstllng? Sykdom: tester ut ny blodtrykksmedsn. Hvor mye bedre er den enn nåværende markedsledende blodtrykksmedsn? Kosthold: hvor stor vektreduksjon vl man oppleve ved å følge Dr Fedon Lndbergs kostråd et halvt år? (balanse blodsukker, lav glykemsk ndeks) Bldekk: to typer dekk, A og B, skal sammenlgnes mhp sltasje. Kan enten sette både A og B-dekk på hver bl eller noen bler med A og noen bler med B.

3 5 To utvalg: statstsk stuasjon Ønsker å sammenlgne to populasjoner basert på et u..f. utvalg fra hver populasjon. Studerer en egenskap som kan ses å være normalfordelt hver populasjon, og ønsker å anslå dfferansen mellom forvenngsverden de to populasjonene og et ntervall der v har stor tllt tl at den sanne dfferansen forventnngsverdene lgger. Sammenlgnngene kan være parvse eller kke parvse. 6 To utvalg: Bensnforbruk Problemstllng: Vl sammenlgne to bltyper A og B mhp bensnforbruk. Utvalg : X A :#km/lter for bl nummer, type A. Utvalg : X B j :#km/lter for bl nummer j, type B. Anta at X A Anta at X B Observasjoner: er normalfordelt med ukjent µ A og kjent σ A = km/lter. er normalfordelt med ukjent µ B og kjent σ B = 3 km/lter. = målnger på bl A, med gjennomsntt x A = 0 km/lter. = 0 målnger på bl B, med gjennomsntt x B = 8 km/lter.

4 7 To utvalg: estmatorer X A, X A,..., X A er et tlfeldg utvalg fra en populasjon som beskrves av en normalfordelng med forventnng µ A og varans σ A. X B, X B,..., X B er et tlfeldg utvalg fra en populasjon som beskrves av en normalfordelng med forventnng µ B og varans σ B. Estmator for µ A µ B : ˆµ A ˆµ B = X A X B = na = X A nb j= X j B X A X B er normalfordelt med E(X A X B ) = µ A µ B Var(X A X B ) = σ A + σ B Hvs σ A og σ B er kjente så er Z standard normalfordelt. Z = (X A X B ) (µ A µ B ) s (ntutv og SME). σ A + σ B 8 To utvalg: konfdensntervall for µ A µ B når σa og σ B er kjente Hvs X A og X B er gjennomsnttene tl to tlfeldg utvalg av størrelse og fra populasjoner med kjent varans σa og σ B, så er et (-α)00% konfdensntervall for µ A µ B σa (x A x B ) z α (x A x B ) + z α + σ B < (µ A µ B ) < σa + σ B hvor z α er verden standard normalfordelngen som har areal α tl høyre, dvs. P(Z > z α ) = α.

5 9 To utvalg: Bensnforbruk 95% konfdensntervall for µ A µ B. Punktestmator: ˆµ A ˆµ B = X A X B. Punktestmat: x A x B = km/lter. 95% konfdensntervall: α = 0.05, z α = z 0.05 =.96, [ , = [0.66, To utvalg: σa σ B, og ukjente Hvs σ A σ B lager v S A = = (X A X A ) og SB = j= (X B j X B ) ( α)00% konfdensntervall for µ A µ B : s [(x A x B ) ± t α,ν A + s B der ν = (s A / + s B /) [(s A /) /( ) + [(s B /) /( ) Dette er et tlnærmet resultat.

6 To utvalg: σa = σ B, men ukjente Defner: S A = = (X A X A ) og SB = j= (X B j X B ) Hvs v vet at σ A = σ B = σ så kan v lage en estmator S p (pooled) basert på summen av kvadratavvkene de to utvalgene: S p = na + [ (X A X A ) + = j= (X B j X B ) = ( )S A + ( )S B + der X A = na = X A og X B = nb j= X B j. To utvalg: konfdensntervall ( α)00% konfdensntervall for µ A µ B : når σa og σ B er kjent: [(x A x B ) ± z α når σ A = σ B = σ, men ukjente: [(x A x B ) ± t α,(+ )s p σ A + σ B + når σ A og σ B der er ukjente (kke lke): s [(x A x B ) ± t α,ν A + s B ν = (s A / + s B /) [(s A /) /( ) + [(s B /) /( )