TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

Transkript

1 ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt <<<. Oppgave V har 4 spar-kort, hentet fra en vanlg kortstokk, med tallverder, 5,,7,8. To av dsse, og 8, er partall (dvs. er delelg med ), og to, 5 og 7, er oddetall. A. V trekker to kort uten tlbakeleggng fra dsse fre slk at alle utvalg på to kort er lke sannsynlge. La A være begvenheten at det første kortet trukket ut har et oddetall som verd, og A begvenheten at det andre kortet som blr trukket ut har et oddetall som verd. ) Fnn sannsynlghetene P( A ), P( A A ) og P( A ) ) Anta v vet at det andre kortet som ble trukket ut vste et oddetall (dvs. at A nntraff), men kke hva som skjedde første treknng (dvs. av det første kortet). Hva er sannsynlgheten for at det ble trukket et oddetall også første treknng? << Svar: ) Unform sannsynlghets modell: PA ( ), 4 P( A A ) P( A ) P( A A ) 3 P( A ) P( A A ) P( A A ) P( A ) P( A A ) 3 P( A A) ) P( A A) PA ( ) 3 B. To skoleelever, Kar og Per, spller et spll de kaller «oddetall og partall» basert på de fre kortene beskrevet nnlednngen. Et spll består å trekke to kort uten tlbakeleggng fra de fre kortene. Dersom summen av de to uttrukne kortverdene er et oddetall, vnner Kar, og hvs summen er et partall, vnner Per. De to elevene tror nemlg det er samme sjanse for at summen blr et oddetall som at den blr et partall, slk at begge har samme sjanse for å vnne. De tar mdlertd fel. Vs at P(Kar vnner). 3 [Hnt. Det kan lønne seg å lage en tabell over aktuelle summer, x y, for alle kombnasjoner av x og y, der x er verden på det første kortet som trekkes ut og y

2 verden på det andre. Du kan anta at alle kombnasjoner som er mulge, er lke sannsynlge. ] <<< Svar: Tabell over summer: Verden på det første kortet Verden på det andre kortet V ser at alle summene på hoveddagonalen er partall. Dsse kombnasjonene er kke mulge ved treknng uten tlbakeleggng. Det gjenstår kombnasjoner hvorav 8 er oddetall. Sannsynlgheten for at Kar vnner er derfor 8 3. Alternatv løsnng: Hvs V er antall oddetall et rent tlfeldg utvalg på fra de 4 kortene, er V hypergeometrsk fordelt. Det er klart at Kar vnner hvs og bare hvs V =. Dermed 4 P(Kar vnner) P( V ) 4 3 C. La ( et spll) X være verden på det første kortet som trekkes ut og Y verden på det andre kortet som trekkes ut. ) Vs at P( X 5 Y ) ) Sett opp en tabell over smultanfordelngen for X og Y, bestemt ved f ( x, y) P( X x Y y) for alle kombnasjoner av x og y. Du kan, som før, anta at alle kombnasjoner som er mulge, er lke sannsynlge. ) Er X og Y stokastsk uavhengge? Begrunn svaret dtt. <<< Svar: ) P( X 5 Y ) P( X 5) P( Y X 5) 4 3

3 3 ) Tabell over f ( x, y ) : X Y Sum 5 0 / / / /4 / 0 / / /4 7 / / 0 / /4 8 / / / 0 /4 Sum /4 /4 /4 /4 ) X og Y er uavhengge hvs P( X x Y y) P( X x) P( Y y) for alle kombnasjoner av x og y. I tabellen er de margnale fordelngene gtt margene. For eksempel har v P( X 5 Y ) og P( X 5) P( Y ), som er 4 4 forskjellge. X og Y er altså kke uavhengge. D. Kar og Per spller spllet beskrevet punkt B 4 ganger. Det er klart at Kar vl ha en tendens tl å vnne oftere enn Per sden hun har større sannsynlghet for å vnne hvert spll. La U være antall ganger Kar vnner løpet av 4 spll. ) Beregn sannsynlgheten tlnærmet for at Kar vnner oftere enn Per løpet av 4 spll. Bruk heltallskorreksjon. [Hnt. Forklar at U er bnomsk fordelt. Beregn deretter PU ( ) tlnærmet. ] ) ) La D være forskjellen mellom antall ganger de to vnner (dvs. D er antall ganger Kar vnner mnus antall ganger Per vnner løpet av 4 spll). Beregn forventnngen og varansen tl D. Begrunn at D er tlnærmet normalfordelt. I så fall, hvlken normalfordelng? <<< Svar: ) U er bnomsk fordelt, U ~ bn(4, 3), sden enkeltspllene er uavhengg av hverandre og sannsynlgheten for at Kar vnner er konstant alle spll. V har da E( U) 4 og var( U) 4 5. Dermed er betngelsen ( regel Løvås) oppfylt for en akseptabel tlnærmng med normalfordelng. La Gz ( ) være den kumulatve fordelngsfunksjonen N (0,). haltallskorreksjon.5 P( U ) P( U ) P( X.5) G G(.5) tabell Løvås

4 4 (Uten heltallskorreksjon vlle svaret bltt: P( U ) G(.73) ) ) V har D U (4 U) U 4, hvorav E( U) E(U 4) E( U) og 4 var( D) 4var( U) ) Sden U er tlnærmet normalfordelt følge regel 5.0 Løvås, og DU 4 er en lneær transformasjon av U, følger at også D er tlnærmet normalfordelt, tlnærmet D ~ N (8, 8 3). Dette er en regel v har gjennomgått på forelesnngene (som er publsert på nettet). Oppgave Det er en vanlg erfarng at man må stå kø foran kassen for å få betalt supermarkeder. I tabell er det gtt observasjoner fra forskjellge tlfeldge tlfeller man kom for å betale, målt lørdag ettermddag ved en bestemt kasse, der x angr antall personer som sto foran køen, og y tden ( mnutter) man måtte vente tl man ble betjent for betalng (for tlfelle,,, ). Tabell Data Antall personer foran køen ( x ) Ventetd (*) tl betjenng ved kassen (mnutter) ( y ) Sum (*) Desmaltallene betyr t-deler slk at, for eksempel, 5.5 mnutter betyr 5 mnutter og 30 sekunder. A. Ventetden køen tl betjenng for betalng, Y, antas generelt å være en stokastsk varabel som er normalfordelt med forventnng, x, og varans, x, der x er antall personer foran køen når man kommer tl kassen for betalng. For enkelthets skyld antas

5 5 denne oppgaven at antall personer køen, x, alltd er et gtt tall (dvs. kke-stokastsk). og er (ukjente) parametre modellen. ) Forklar hvorfor denne modellen ser det samme som å s at ventetden pr. person køen, Y x er normalfordelt med forventnng og varans x (der altså x er kke-stokastsk). ) Den samlete tden en kunde tlbrnger ved kassen består av to deler, tden kø pluss betjenngstden ved selve kassen. Forklar kort hvorfor parameteren kan tolkes som gjennomsnttlg betjenngstd pr. kunde ved kassen (dvs. den gjennomsnttlge tden det tar å betjene en kunde). <<< Svar: ) Sden x er kke-stokastsk, følger av regler for forventnng og varans at Y E( Y ) x E E( Y ) x og x x x Y var( Y ) x var var( Y ) x x x x x I tllegg, regelen om at lneære transformasjoner av normalfordelte varable også er normalfordelte, gr Y normalfordelt Y x er normalfordelt sden x er kke-stokastsk. ) Når det er akkurat en kunde køen foran, blr forventet (som betyr gjennomsntt det lange løp) ventetd tl betjenng EY ( ). Denne tden, Y, er dentsk med tden det tar å betjene kunden foran. (Det er vel akseptabelt om kanddaten stedet vser tl E Y x.) B. I tråd med modellen punkt A, antar v at ventetdene tabell er observasjoner av stokastske varable, Y, Y,, Y, som antas å være uavhengge og normalfordelte slk at Y ~ N x, x, der x angr antall personer køen foran for tlfelle (,,,). x -ene antas, som før, gtte tall (dvs. kke-stokastske). Det blr foreslått to estmatorer for : Y Y Y Y ˆ og x x x x ) Vs at både ˆ og er forventnngsrette estmatorer for. ) Beregn estmatene ˆ og. obs obs [Hnt. Tl hjelp under regnngen oppgs y x.97 ] ) Beregn varansene, var( ˆ ) og var( ), uttrykt ved. Hvlket av de to estmatene ) mener du er mest troverdg? G en kort begrunnelse for svaret.

6 [Hnt. Tl hjelp under regnngen oppgs x.58 ] <<< Svar: ) ( ˆ) ( ) x x x x ) E E Y E Y x x Y E( ) E x 58 Tabell gr ˆ y obs.07, x 8 y obs.97. x ) var( ˆ ) var Y var( Y ) x x x 8 x x x x Y Y var( ) var var var( ) (.3) 8 ˆ x 3 x 3 x som vser at var( ) var( ˆ ), hvorav estmatet ˆobs er mest troverdg (sden begge estmatorer er forventnngsrette). C. Det kan vses (som du kke trenger å gjøre) at W ˆ ˆ x ~ t(5) fordelt ( Y ˆ x ) fordelt med 5 frhetsgrader), der ˆ ˆ og ˆ. 5 x (dvs. t- ) Bruk dette tl å fnne et 95% konfdensntervall for. ) Beregn konfdensntervallet ut fra data. [Hnt. For å lette regnngen, oppgs den observerte verden, ˆ ] obs <<< Svar: ).5% kvantlen t(5)-fordelngen er t Av 0.95 P(.57 W.57), følger konfdensntervallet ˆ.57 ˆ x.

7 7 ) Observert 95% konfdensntervall: ˆ ˆ [.8,.33] 8 x obs D. I dette og neste punkt skal v benytte modellen punkt B, men der v, for enkelthets skyld, antar at parameteren er kjent, ) Forklar hvorfor estmatoren ˆ 0.35 er normalfordelt, med ˆ ~ N,. 8 ) Tdlgere har man regnet med en gjennomsnttlg betjenngstd på.9 mnutter pr. kunde ved kassen lørdag ettermddag. Tyder data på at gjennomsnttlg betjenngstd har økt (basert på sgnfkansnvå 5%)? Med andre ord, gjennomfør en 5% test for H0:.9 mot H:.9, og formuler en konklusjon. ) Beregn p-verden (basert på data tabell ) for testen dn ). <<< Svar: ) En regel Løvås ser at hvs X, X,, X n er uavhengge og normalfordelte, er en lneærkombnasjon Y a X ax anx n normalfordelt med Y ~ N( E( Y ), SD( Y )). (Det sste poenget står kke Løvås, men er gjennomgått på forelesnngene.) Sden, x -ene er kke-stokastske, er ˆ en slk lneærkombnasjon og derfor 0.35 ~ ( ), var( ) N,. 8 ˆ.9 Testobservator: Z som er N(0,)-fordelt hvs.9. Krtsk verd blr da normalfordelt, ˆ N ˆ ˆ E ) 5%-kvantlen N(0,), som.45. 5%-testen: «Forkast H 0 hvs Z >.45» Observert verd: Z obs Konklusjon: Det er kke tlstrekkelg evdens data for å påstå at.9. ) P-verden er ˆ P.9( Z Zobs ) P.9( Z.53) G(.53) E. ) Sett opp et uttrykk for styrkefunksjonen for testen dn punkt D). ) Beregn sannsynlgheten for å forkaste H 0 hvs den sanne verden av er.

8 8 <<< Svar: ) For vlkårlg, er W ˆ ~ N(0,), og styrkefunksjonen blr ˆ.9 ˆ.9.9 ( ) P(forkast H0) P.45 P.45 P W slk at ( ) G.45 ) Hvs, får v P(forkast H0) () G.45 G(0.75)