Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.

Transkript

1 Løsgsforslag ST20/ST , kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele, elle ma ka observere at fordelge tl X er e gammafordelg med parametre α = 2 og. Derfor kjeer ma mometgeererede fuksjoe tl X : M X t = 2 t for t < /. Regeregler for mometgeererede fuksjoer gr at M Z t = 2 2t som er mometgeererede fuksjo for e χ 2 -fordelt stokastsk varabel med fre frhetsgrader. Vdere har ma at 4 ˆ = 4 X = 2 2 X = 2X som er e sum av uavhegge χ 2 -fordelte stokastske varabler med fre frhetsgrader hver. Derfor, har v at 4 ˆ/ χ 2 4.

2 c V skal teste H 0 : = 0 mot H : > 0 Sde 4 ˆ/ χ 2 4 år H 0 er sa, beytter v 4 ˆ/ som testobservator og beslutge blr: Forkast H 0 hvs 4 ˆ/ > χ 2 α,4 Med de gtte tallee blr 4 ˆ/ = og χ 2 α,4 = H 0 forkastes kke. d Beteg styrkefuksjoe π. Da π = P 4 ˆ/ 0 > χ 2 α,4 = π = P 4 ˆ/ > χ 2 α,4 0 / = F 4 χ 2 α,4 0 / der F 4 x er kumulatv fordelgsfuksjo foe e χ 2 -fordelg med 4 frhetsgrader. Med de gtte tallee blr styrkefuksjoe lk π = F /, og fra tabellee fer v at teststyrke blr 0.99 hvs 53.08/ = χ 2 0.0,40 = 22.64, og må bl Hvs = 5.03 er sasylghete for å kokludere med at H 0 skal forkastes lk a Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k = 4 og j = 6 for j =, 2, 3, 4. De fullstedge ANOVA-tabelle blr Klde df SS MS F Betog k = Error = Total 6 4 = og der SSTR = MSTR 3 = , MSE = SSE/20 = 086.5/20 = , SSTOT = SSTR + SSE = = F = MST R/MSE = / = 2.9. b Testobservatore F relaterer seg tl hypotesee H 0 : µ = µ 2 = µ 3 = µ 4 mot H : kke alle er lke, der µ, for =, 2, 3, 4, er forvetet opptatt fuktghet for betog av type ummer. Når H 0 er rktg er F Fsher fordelt med 3 og 20 frhetsgrader. Fer krtsk verd for α = 0.05 fra tabell tl a være f 0.05,3,20 = 3.0. Beslutgsregele blr 2

3 dermed at v skal forkaste H 0 år F > 3.0. Betogdataee gav F = 2.90 < 3.0 slk at koklusjoe blr at v skal kke forkaste H 0. c E to-utvalg t-test baserer seg på at ma har observasjoer av stokastske varabler X,..., X og Y,..., Y m der alle X-ee og Y -ee er uavhegge av hveradre, X Nµ X, σ 2, Y Nµ Y, σ 2. Ma beytter da testobservatore T = X Ȳ S p + m som har t-fordelg med + m 2 frhtsgrader uder H 0. Varasestmatore S 2 p er gtt ved formale S 2 p = S2 x + m S 2 Y + m 2 V lar X-ee og Y -ee være heholdvs data for betog av type 3 og 4. Ved å beytte oppgtte verder SX 2 og S2 Y tabelle over får ma s2 p = , t = Ma må her beytte e tosdg test slk at krtsk verd blr t α/2,+m 2 = t 0.025,0 = Beslutgsregele blr dermed at ma skal forkaste H 0 dersom T < eller T > V observerte t = 3.53 > 2.228, slk at koklusjoe blr at v forkaster H 0. Det er kke urmelg at v pukt b kokluderer med at det kke er sgfkat foskjell mellom forvetgsverdee tl de fre utvalgee, mes v her pukt c kokluderer med at det er sgfkat forskjell mellom forvetgsverdee tl utvalg 3 og 4. V ka speselt legge merke tl at v her pukt c sammelger de to av de fre utgavee som har størst avvk gjeosttsverd. V ka også legge merke tl at emprsk varas for utvalg ummer er betydelg større e for de adre tre utgavee. ANOVA-aalyse baserer seg som kjet på atagelse om lk varas for alle utvalg. De store emprske varase for utvalg ummer vl dermed føre tl at estmatert pooled varas ANOVA-aalyse blr betydelg større e tlsvarede størrelse t-teste. 3. a Rmelghetsfuksjoe blr Lα, = exp Y α 2 2πσ 2 0 2σ0 2x = = 2π /2 σ0 exp Y α 2 x 2σ

4 Logartme l L = 2 l2π l σ 0 2 l 2σ 2 0 Partellderverer med hesy på hver av α og og får V setter de derverte lk ull l L α = σ 2 0 l L = σ 2 0 Y α, Y α. Y α = 0 Y α 2. løser lggee og får Y α = 0, b = ˆ = E ˆ = E Ȳ Y x, ˆα = Ȳ ˆ x. Ȳ Y x EȲ x = EY = ford EY = α + og EȲ = α + x. c ˆ er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte stokastske varabler dvs Y -ee, derfor er ˆ ormalfordelt: ˆ N, Var ˆ. Da ˆ Var ˆ N0, 4

5 og eller P z δ/2 ˆ Var ˆ z δ/2 = δ P ˆ z δ/2 Var ˆ ˆ + z δ/2 Var ˆ = δ. Ved å sette uttrket for Var ˆ får v at kofdestervallet blr σ 0 ˆ x zδ/2, ˆ σ 0 x + z δ/2 x x. 5