Oversikt over tester i Econ 2130

Transkript

1 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp e statstsk mdell (sm represeterer ppulasje v trekker data fra), atar v utgagspuktet at mdelle er sa fr e vss (ukjet) verd av parametere θ g usa fr alle adre verder. Aførselstegee rudt sa vefr skyldes at begrepet sa parameterverd ku gr gd meg dersm frutsetgee sm er fretatt mdelle er realstske frutsetger m ppulasje. I dette kurset har de hyptesee v tester m (de sae ukjete verde av) θ tre alteratve frmer beskrevet tabelle uder. Merk at θ står fr e kjet (!) hyptetsk verd sm er bestemt av de uderlggede prblemstllge: De sae verde av θ ka gdt være lk θ, me behøver slett kke være det! rblemet er ettpp at v kke vet hvr de sae verde av θ befer seg. Alteratv H H 1 Type 1 θ θ θ > θ Esdg prblem 2 θ θ θ < θ Esdg prblem θ θ θ θ Tsdg prblem 3 = La ˆ θ være e passede estmatr fr θ, slk at W = er tlærmet (evetuelt eksakt) N(, 1) -frdelt ( e tlfeller t-frdelt), g der er e eller ae estmert versj av stadardfele tl ˆ θ. Vår testbservatr, = får v da ved å bytte ut θ med θ W. ka brukes sm testbservatr alle de tre alteratve prblemee. Merk (NB!) frskjelle mellm g W: W er e kke-bserverbar stkastsk varabel med samme (tlærmet) kjete frdelg uasett hva de sae verde av θ er (dvs W er e såkalt pvtal)., dermt, er e bserverbar (sde θ er e kjet verd bestemt av prblemet)

2 2 stkastsk varabel sm er (tlærmet) N(, 1) -frdelt (eller t-frdelt) bare hvs θ = θ (fr så fall, g bare da, er = W ). Hvs de sae verde θ er frskjellg fra θ, har e ae sasylghetsfrdelg. Sde ˆ θ er e estmatr fr de ukjete (sae) verde av θ, har v ˆ θ θ θ θ, hvrav sm er > hvs θ > θ g < hvs θ < θ. Derfr bør v frkaste H prblem-alteratv 1 hvs er tlstrekkelg str pstv ( > c1 ). I alteratv 2 bør v frkaste H hvs er tlstrekkelg str egatv ( < c2 ), g alteratv 3 bør v frkaste H hvs ete er tlstrekkelg str egatv eller tlstrekkelg str pstv ( < c3 eller > c4 ). c1, c2, c3, c 4 er passede krtske verder. Sm det beste kmprmss mellm t mtstrdede krav tl ktrll av sasylghete fr fel av type I g fel av type II, vser det seg at de krtske verdee c1, c2, c3, c 4 alle de tre alteratvee ekelt ka bestemmes sm løsge av lgge θ= θ(frkast H ) =, der er det valgte sgfkasvået.. Merk at sasylghete lgge utvkles det speselle tlfellet at θ = θ der er (tlærmet) N(, 1) -frdelt. Fr eksempel alteratv 3 får v = θ= θ(frkast H ) = θ= θ( < c 3) + θ= θ( > c 4). Velger v 2 fr begge sasylghetee (sm ka vses er det beste valget) får v c3 = z 2 g c4 = z 2.. Tabell 1 Strukture av -tester (Jfr. stuasj 1 g 3 tabell 2 g alle tre stuasjer tabell 3) Alteratv H H 1 1 θ θ θ > θ 2 θ θ θ < θ 3 θ = θ θ θ -vå test: verd Testbservatr Frkast H hvs ( z er bservert verd av ) = > z ( z ) θ= θ > = < z ( ) θ= θ < z = < z 2 eller > z 2 2 θ= θ( > z )

3 3 Mer kkret skrver v ut edefr hvrda -testee ser ut fr alteratv 1 frskjellge mdell-stuasjer tabell 2 g 3. Alle testee er såkalte -tester. Eeste utak er stuasj 2 tabell 2 (t-test) der eeste frskjell er at N(, 1) -frdelge er byttet ut med t 1 -frdelge. Tabell 2 Tester fr H : µ µ mt H 1: µ > µ (alteratv 1) år (*): 1, 2,, er uavh. g detsk frdelte med E ( ) = µ g 2 var( ) = σ (Jfr. regel 6.15 g Tlsvarede fr alteratv 2 g 3 med samme testbservatr.) Testbservatr Frkastgkrterum Sgfkas- ( z, t verd Stuasj Frutsetger (mdell) σ vtal (W) ( ) er = vå bservert verd av T), 1 (*) samme med: Vlkårlg Kjet µ µ > z ~ N( µσ, ), = 1, 2,, ~ N(, 1) = Eksakt ( ) > z σ σ 2 (*) samme med: Vlkårlg Ukjet µ µ T > t Eksakt ~ N( µσ, ), = 1, 2,, ~ t 1, 1 T = ( ) T > t S S 3 Bare (*) der str, Ukjet µ tlærmet µ > z er vlkårlg frdelt 3 ~ N(, 1) = Tlærmet ( ) > z S S (tl ød 2) 4 Bare (*) der lte Ukjet Ikke pesum er vlkårlg frdelt Merkad 1. I prakss er atakelg stuasj 3 de vktgste/valgste. Løvås er dessverre ltt kapp mtale av dee. Ha ever de ku e bsetg (etter eller de sste setge regel 6.16).

4 4 Merkad 2. Styrkefuksje er hs Løvås bare agtt stuasj 1. De ka aturlgvs gså bestemmes de adre stuasjee, me er ltt mer kmplserte g kke pesum. Merkad 3. Når det gjelder de t regresjsparametree, g β, regresjsmdelle, EY ( ) = + βx, er møsteret fr testg det samme sm vefr. Hvs θ står fr e av dsse t parametree g ˆ θ er (mste kvadraters) estmatr, blr pvtale, W = ( ˆ θ θ)/ ( ˆ θ) t- frdelt med 2 frhetsgrader (merk 2-tallet!) fr små ( < 3), g tlærmet N(, 1) frdelt hvs er str ( 3 ). Det sste gjelder selv m Y -ee kke er rmalfrdelte. Av dette ka v lage kfdestervall fr θ, ˆ θ ± t ˆ 2, 2 ( θ), (kke samme sm regresjslja), g lage testbservatr = ( ˆ θ θ ˆ )/ ( θ), sm brukes på samme måte sm vefr. Fr eksempel, hvs H : θ θ, H1: θ > θ, frkastes H på vå (kke samme sm regresjslja) hvs > t 2, (eller > z hvs 3 sm gr tlærmet vå ). Detaljer m beregg av ˆ θ g ( ˆ θ ) ka fes regresj II tatet på ettet.

5 5 Tabell 3 -tester fr alteratv 1 basert på regel 5.2 (rmaltlærmg fr bmsk, hypergemetrsk g pss frdelg). Sgfkasvå tlærmet. (Tlsvarede fr alteratv 2 g 3 sm tabell 1) Mdell Estmatr ˆ θ vtal (W) (følger av regel 5.2) Testbservatr ( ) = Betgelse fr rmaltlærmelse Frkastgkrterum verd ( z er bservert verd av ) ~ b( p, ) = var( ) 5 ( p(1 ) 5 p(1 p) tlærmet ~ N(,1) = p(1 ) > ( z ) z p= p > ~ hypergem. ( M,, N) ( p = M N) = var( ) 5 p(1 ) N N 1 tlærmet ~ N (,1) = p(1 ) N N 1 > ( z ) z p= p > ~ ps( tλ) 1 ˆ λ = t var( ) 5 ( tλ 5 ) ˆ λ λ tlærmet λ λ λ t ~ N(, 1) ˆ = > z λ t ( z ) λ= λ > Merkad 4 Merk at v (sm Løvås) har brukt p g λ stedet fr g ˆ λ evere på. Dette er fr å frbedre tlærmelse tl rmalfrdelge lgge θ= θ(frkast H ) = tl bestemmelse av de krtske verde. (Derfr treger v kke å estmere pvtale her.) E alteratv test (kke evt pesum) er å bruke g ˆ λ stedefr. De test-varate har tlærmet de samme egeskapee sm de freslåtte g dukker fte pp ltterature. 1 Husk at tasje ~ ps( m ) er valgt slk at det sm står på m s plass alltd er lk E ( ) (sm gså er lk var( ) e ppgave fremgår at ~ ps(3,7), følger autmatsk at E ( ) = var( ) = 3,7. Av mdelle tabelle følger således at E ( ) = var( ) = tλ. pss-frdelge). Hvs det fr eksempel