Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR

Transkript

1 ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe l få 0, eller begge korakee. La (,j) beege ufalle a korak går l frma og korak l frma j (der og j sår for A, B eller C). Ufalle ( AA, ) beyr for eksempel a A fkk begge korakee, ( AB, ) beyr a A fkk korak og B fkk korak, mes ( BA, ) beyr omved a B fkk korak og A korak. Aa a loddrekge er slk a alle de 9 mulge ufallee av (,j) er lke sasylge. A. () Skrv opp lse over de 9 mulge ufallee av (,j) de vl s kompleer lse, ( AA, ), ( AB, ),( AC, ), () Hva er sasylghee for a A og B får e korak hver? () Hva er sasylghee for A får ms e korak? (v) Aa v ve a A har få ms e korak. Hva er da sasylghee for a A fkk begge korakee? B. La X være aall koraker A får, og Y aall koraker B får. For eksempel, hvs ufalle av loddrekge er ( AA,, ) blr X = og Y = 0, hvs ufalle er ( AB,, ) blr X = Y =, osv. () Gjør rede for a de smulae fordelge for X og Y er g ved abell. [H: Lag førs e abell over hvlke verder X og Y får for hver av de 9 ufallee puk A(). ] Tabell f( xy, ) = PX ( = x Y= y) y x () Se opp de margale fordelgee l X og Y. Er X og Y uavhegge? Er X og Y desk fordele? () F PX ( = Y) og PX ( Y).

2 C. () Bereg E( X), var( X), EY ( ), var( Y ) () Bereg korrelasjoskoeffsee mellom X og Y. D. Aa å a bedrfe, sedefor 3, hadde 0 frmaer å velge mellom år de o korakee skulle fordeles. Frma A er e av dsse. Loddrekge foregår o r. Førs rekkes frmae som skal få korak re lfeldg fra de 0 frmaee. På r rekkes frmae som skal få korak også re lfeldg fra de 0 (uase hva som er ufalle på r ). Dermed er de forsa mulg for e og samme frma å få begge korakee. La X være aall koraker som frma A får ved loddrekge. () Gjør rede for a X er bomsk fordel. () Bereg puksasylgheee fordelge for X. Oppgave De er velkje a mae gjeoms bruker å være oe eldre e kve år de gfer seg førse gag. Fgur fra Sassk seralbyrå (SSB) bekrefer dee for perode 99 l 009. I llegg gr fgure rykk av a de gjeomslge sdfferase syes å lgge okså sabl på rud -3 år. Tl ross for rykke fgure gr er de g som yder på a de gjeomslge sdfferase ka ha øk oe de seere de sammelge med 90- alle. V skal dee oppgave udersøke dee l ærmere, og v vl beye re forskjellge meodske lærmelser l probleme. Daagrulage for fgur er g abell. Fgur

3 3 Tabell Gjeomss ved gfermåle for kke dlgere gfe. År Gj.slg me Gj.slg kver Dfferase ( x ) År Gj.slg me Gj.slg kver Dfferase ( y ) Gjeoms ( x ).5 Gjeoms ( y ).79 Sadardavvk ( s x ) 0.0 Sadardavvk ( s y ) Tl ross for a dfferasee abell er baser på fullsedge ellger av gfermål Norge, er de rmelg å ro a de er lfeldgheer kye l dem, sde de sjelde er forubesem år og med hvem folk gfer seg. V kue for eksempel foreslle oss a de varerer sokassk rud e felles forvegsverd perode 9-99, og lsvarede for perode Som ugagsmodell (for lærmg og ) aar v således a dfferasee abell er observasjoer av sokasske varable, X, X,, X9, for åree , og Y, Y,, Y0 for De 9 varablee aas å være uavhegge og ormalfordele med samme ukjee varas, σ. I llegg aas X -ee å ha felles forveg, µ, og Y -ee felles forveg, µ, der µ og µ kke behøver å være lke. Probleme er å å fe u om de er grulag daa for å hevde a µ < µ, eller ekvvale om µ µ > 0. A. Ved førse lærmg aar v for ekelhes skyld a de ka ases som kje a µ.7. I så fall koker probleme ed l om de er grulag daa l å påså a µ >.7. V skal alså ese H 0 : µ.7 mo H : µ >.7. Se opp e es-krerum og gjeomfør ese baser på formasjoe abell. Bruk sgfkasvå % og formuler e koklusjo. B. Ved lærmg akseperes kke a hypoese, µ.7, ødvedgvs er sa. I sede prøver v å udersøke hva som ka ses om parameere θ = µ µ u fra dfferasee abell. () Vs a ˆ θ = Y X er forvegsre esmaor for θ.

4 4 () F e formel for var( ˆ θ ) uryk ved σ. () Vs ved hjelp av regel 8S 9 x + Sy 6.3 Løvås a ˆ σ = er e forvegsre esmaor for σ, der Sx = ( X X) og Sy = ( Y Y). 8 9 = = ˆ θ θ C. De ka vses (som du kke reger å gjøre) a er -fordel med 7 frhesgrader, SE( ˆ θ ) der SE( ˆ θ ) er (de esmere) sadardfele for ˆ θ : SE( ˆ θ) = ˆ σ () Vs hvorda dee resulae ka brukes l å kosruere e 99% kofdeservall for θ. () Bereg ervalle u fra daa abell og kommeer svare. D. Tlærmg 3. De ka vedes mo modelle bruk ovefor a de mplserer e sprag forvee sforskjell overgage mellom 999 og 000. Mage vl føle a de er mer rmelg å forvee e gradvs økg over legre d hvs de forelgger e økede edes. E ekel regresjosmodell ka a hesy l dee: La å D være sdfferase for år, for =,,,9, og der =, svarer l 99, = l 99,., og = 9 l 009. Aa a D, D,, D9 er uavhegge og ormalfordele med samme varas, var( D ) = σ, og ED ( ) = α + β for =,,,9 I fgur har v ploe sdfferasee mo og ege mse kvadraers regresjoslje. Probleme er å om sgge v ka observere fgure er sgfka. Regel 6.3 Løvås ser a hvs var( U ) = σ, er U, U,, U er uavhegge og desk fordele (ud) med EU ( ) µ S U U e forvegre esmaor for σ. u = ( ) = = og

5 5 Fgur Se opp e passede ull-hypoese og alerav hypoese og udersøk om sgge er sgfka posv. Bruk sgfkasvå %. Formuler e koklusjo. For å lee regge er oe mellomresulaer g abell 3. Tabell 3 Mellomresulaer Formel Observer verd 9 = = 0 D = D=.66 s = ( ) = S D D d = ( ) = SD = ( )( D D) 0.76 = E. I kommearee l sdaaee abell skrver SSB: Aldere er de observere gjeomse for dem som faksk gfe seg perode/åre, og derfor påvrke av varasjoer sørrelse på årskullee.

6 6 La for eksempel aall me som gfer seg førse gag år være. Aa for ekelhes skyld a, =,,,9, er fase (kke-sokasske) sørrelser. La Y beege gjeomslg for me som gfer seg førse gag år. Fgur ka yde på a regresjosforusege, EY ( ) = α+ β, der α og β er ukjee paramere, er e rmelg foruseg. () Er de oe som lser a også e foruseg om a Y er ormalfordel ka være e rmelg foruseg? G e kor begruelse. () Hva med forusege om a Y -ee har kosa varas? Meer du a dee er e rmelg foruseg se lys av SSB s kommear? G e kor begruelse.