Introduksjon til økonometri, kap 8, 9.1 og 9.2. Hva er formålet med økonometri? Utvalgskorrelasjoner To-variabel regresjoner

Transkript

1 Itroduksjo tl økoometr, kap 8, 9.1 og 9. Hva er formålet med økoometr? Utvalgskorrelasjoer To-varabel regresjoer

2 Iformasjo fra data Målet med økoometr er å lære oe fra data Øke vår kuskap ved å oppdage og avsløre ye fakta eller g e rkere beskrvelse av gamle fakta Idetfsere kausaleffekter av ulke tltak/tervesjoer. Hva er effekte av tltak og poltkk? Pesjosreform Søke å forstå uderlggede mekaser bak ulke utfall og resultat Hva ka v bruke som godkjet bevsgrulag for koklusjoer emprske aalyser? Hypotesetestg Hvorda skal v reagere på overraskede resultat som strder mot teoretske modeller og tdlgere studer?

3 Økoometr Ser på sammehege mellom varabler Korrelasjosaalyse: Regresjosaalyse: kausaleffekt Regresjosaalyse: 1,, 3 kausaleffekter Kvatfserg av effekter Margaleffekter: Hva skjer med dersom v edrer e varabel med e lte ehet Testg av størrelser Predksjo Eksempler Makro-størrelser; kosum, økoomsk vekst, tekt Tlbud- og etterspørselsfuksjoer Etterspørsel etter arbedskraft

4 Hva er økoometr?

5

6 Ekle makrorelasjoer C=C,I C I C Hvorda er sammehegee? C = α + β + γi, hvor β>0 og γ<0 Leær og addtv modell C = A β I γ Ikke-leær modell med kostat elaststet Skal prser være med modelle makroteor ser e

7 Ekle makrosammeheger C = α + β + γi, hvor β>0 og γ<0 Hva er β og γ? Hvorda tolkes de? Hvorda tallfestes parametere? Ka v teste modelle C = α + β + γi + δp, dvs. H 0 : δ=0

8 Makromodell C = α + β + γi + δp H 0 : δ=0 H A : δ 0 Økoome er kke determstsk Tlfeldgheter vl også splle ε fager opp uobserverbare faktorer som ka påvrke C Helst mdre vktge faktorer ε ka påvrke C me er kke korrelert med, I, P ε er stokastske/tlfeldge kompoeter «Hvt støy» «dsturbace»

9 Emprsk spesfkasjo C = α + β + γi + δp + ε Målet er å solere effekte av hver av varablee Hva skjer med kosumet år v øker vestergee med et gtt sum? Hva har v lært så lagt om sammehege mellom varabler? Cov, Ka se hvlke retg sammehege går Corr, = ρ rho Vser styrker sammehege hvor v ka sammelge ulke sammeheger Repetsjo av formlee for Cov og Corr:

10 Utvalgs -korrelasjos -koeffset :, Populasjos -korrelasjos -koeffset :, Populatos -kovaras : R Var Var E E E Var Var Cov E E E Cov

11 Kap 9.1: Pegemegde M og velocty V M V=P G k=p/v M=k G k=helge på kurve G = BNP

12 k = helgskoeffset V øsker formasjo om k Ka teor gude oss mhp. hvlke verd v har på k? postv Har v data på M og G slk av v emprsk ka estmere Kovarase mellom M og G Korrelasjoskoeffsete mellom M og G Tabell 9.1 gr oss M og G for ulke lad for et gtt årstall =30 atall lad datasettet Det vlle ha vært bedre å ha observasjoer over flere år, me det kommer v tlbake tl Plotter hvert lad se verder et dagram:

13

14 Mage observasjoer med små verder på G og M ærme orgo Postv sammeheg, me e god del «støy» Støy vl her bety «avvk fra e rett lje»

15 Dersom v bereger oe størrelser, ka v fe korrelasjoskoeffsete:

16 Hypotesetestg V har å fuet korrelasjoskoeffsete Hypotesetestg: Er populasjos-korrelasjos-koeffsete forskjellg fra 0? H 0 : ρ=0 H A : ρ>0 α=0,05 TS t 0,05 8 R 1 R 1,701 ~ t krtsk vå, ehaletest, sde 587 TS ,8787 9,74

17 Resultatet mplserer at G og M er postv korrelert Korrelasjoskoeffsete ser getg om kausaltet, dvs. om det er G som påvrker M, eller omvedt Det er mage varabler som har sterk postv korrelasjo «Prs på øl og besforbruk er postvt korrelert»

18 Kap 9.: Regresjosaalyse Hva om v trekker e rett lje gjeom puktskyee på e slk måte at de represeterer puktskye «på e god måte»? Regresjosaalyse Har e formeg om retge på kausaltete Kvafserg av de leær effekte margaleffekt M=fG G påvrker M, me M påvrker kke G M = avhegg varabel : avhegg varabel G = uavhegg varabel : uavhegg varabel

19 Regresjosmodell Atar geerelt at E = α + β E = α + β E = forvetet etterspørsel etter peger = BNP α og β = ukjete populasjosparametere α = kostatledd β = helgskoeffset

20 E = α + β β E = populasjosgjeomstt = har ulke gjeomstt for ulke verder av = er e leær fuksjo av rett lje α

21 Observerte størrelser er kke alltd lk E Faktsk etterspørsel versus forvetet etterspørsel Forskjelle mellom og E skrves ε ε = felledd «hvt støy» ε = E = E + ε Husk at E = α + β Så v har = α + β + ε hvor er e gtt observasjo Vktg atakelse: Eε = 0

22 Regresjosmodell: = α + β + ε påvrker, me forholdet er preget av at sammehegee kke er determstske Felleddet ε: Represeterer adre forhold som ka påvrke Represeterer tlfeldg varasjo pga. kke-optmal adferd Ka være postv eller egatv: ε > 0 hvs > E, ε < 0 hvs < E

23 Datasett Med et datasett må v deksere observasjoee : utvalgsstørrelse atall observasjoer datasettet : deks for observasjoee datasettet: = 1,,3,, : etterspørsel etter peger lad : BNP per capta lad ε : felledd assosert med observasjoe lad = α + β + ε, =1,,3,, E = α + β, =1,,3,,

24 Regresjosfuksjoe Problem: V kjeer kke verdee på α og β modelle = α + β + ε E = α + β populasjosmodell leær fuksjo V må estmere sammehegee med data: = a + b + e Ŷ = a + b utvalgsregresjosmodell a er estmat på populasjosparametere α kostatleddet b er et estmat på populasjosparametere β helgskoeffsete

25

26 Det ka være e forskjell på Ŷ og E, speselt dersom v har små utvalg eller dårlge data.

27 Ukjet populasjosmodell populasjosregresjosfuksjo Estmert modell utvalgsregresjosfuksjo = Ŷ + e = observert verd Ŷ = predkert verd e = resdual

28 Hva er predkert verd for Japa, dvs for =15? Ŷ 15 = a + b 15 = a + b 10,9748 Begrepsbruk: Felledd: ε = E = α β Resdual: e = Ŷ = a b

29 Oppsummerg så lagt Hva er økoometr? Korrelasjoskoeffsete utvalget To-varabel regresjosmodell

30 Kap 9.3 og 9.4 Overskt Mste kvadraters metode MKM Ordary least squares OLS Utregg av MKS estmatee a og b Hvlke formel bruker v? Føygsmål goodess of ft Hvlke formel bruker v? Utgagspukt: ε E ε populasjos - regresjos - lje ˆ a b e utvalgs - regresjos - lje

31 Krterum for å tege regresjoslje Hvorda v teger regresjoslje dagrammet verdee på a og b vl påvrke hvorda resduale blr V øsker e lje som best mulg represeterer data og modelle vår MKM: metode for å fe a og b Hvorda? Ved å gjøre resduale mst mulg E lte e dkerer e lte forskjell Ŷ og

32 To forslag tl utvalgsregresjoslje: Ŷ=a+b Ŷ=a+b Stor avstad mellom og Ŷ Lte avstad mellom og Ŷ 1 e Øsker åha > 1 1 e e mst mulg

33 ull lk derverte de sette og b, og a mhp dervere å ved Løses m resdual squared sum of resdualer kvadrete av summe på verd mulg mst som gr b og a på verdee F Mmergsproblem: 1 a,b 1 1 e e e

34 MKM: Fe a og b som mmerer summe av kvadrerte felledd b a b S b a a S b a e S e e e e S Bruker her kjereregele fx = g[ux] f x = g x*u x Her har v to lgger med to ukjete a og b, som v ka løse med ltt algebra

35 1 1 0 v har lgg Fra 0 v: har 1 lgg Fra b a b a b a b b a b a b a b a

36 : lgg 1 lgg a for uttrykket setter V x y x b b b b b b

37 dvs at og og at: på obs Vær

38 MKM-estmatore: Formel/regeregel for å fe a og b som mmerer kvadrerte felledd b a s s R s s x y x b

39 Eksempel: Data om pegemegde og BNP gr: Basert på dsse størrelsee får v:

40 Helgskoeffsete blr V fer også Kostatleddet blr Regresjoslje blr

41 Legg merke tl at = a +b Dette er kjet som puktestmatet tl utvalgsgjeomsttet a = 0,01 dvs svært lte, og teore ser at de er 0

42 Ka gjøre regresjoskoeffsetee om tl elaststet : d d 4,40 0,175 0,791 0,973 E økg BNP på 1% per capta fører tl e økg etterspørsele etter peger med 0,97%. Hypotesetest : Er 1?

43 Oppsummerg så lagt V har laget e regresjoslje ved å estmere a kostatleddet og b helgskoeffset med data Ŷ = 0,01 + 0,175 Estmatee våre er reget ut med formlee b x y x og a b Formlee er utledet ved Mste Kvadraters Metode OLS De tallee v får på a og b er de som mmerer ε

44 a b med a b Derfor : b b b Dersom v øsker å tolke regresjoslje ute a

45 Ekel regresjo på uderutvalg me og kver Fgur 1: Forholdet mellom blodtrykk og alder Systolsk blodtrykk TS 1 s1 s ~ t alder Me Kver Regr.lje me Regr.lj kver

46 Ved bruk av Stata-kommadoe, tabstat sysbp1 alder, statstcs mea cout sum var semea bykve får du følgede tabell: Summary statstcs: mea, N, sum, varace, semea by categores of: kve sysbp1 alder me kver Total TS s1 s krtsk verd 1,96 ved 0,05og tohaletest

47 Føygsmål: «Determasjoskoeffsete» Hvor stor adel av de totale varasjoe M de 30 ladee v ser på ka forklares av varasjoe G? Forklart varasjo Hvor stor adel av de totale varasjoe M ka kke forklares av G? Uforklart varasjo Total varasjo = Forklar varasjo + Resdual varasjo Dersom regresjoslje ka forklare e høy adel av varasjoe M, så har v e bra føyg tlpasg, dvs. at det er e lte forskjell Ŷ for et lad og de faktske observasjoe La oss se på e spesfkt lad, Frakrke, som har =8

48 8 - = total varasjo Ŷ 8 - = varasjo som skyldes e 8 = resdual varasjo 8 - = Ŷ e 8 1,6996 = 0, ,7136 Som holder for alle observasjoer, slk at - = Ŷ - + e

49 SSR ˆ varasjo: Resdual SSE ˆ varasjo: Forklart SST varasjo: Total b a e v dropper å dele på -1

50 SSR SSE SST ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ SST varasjo: Total Dekompoerg av total varasjo forklart varasjo og uforklart varasjo:

51 SSR = Uforklart varasjo Total varasjo SST = SSE = Forklart varasjo

52 ˆ e e Total varasjo Varasjo somka forklares av resdual varasjo TSS ESS RSS TSS Total sum of squares ESS Explaed sum of squares RSS resdual sum of squares Ŷ 0,01 0,175 geerate pred 0,01 0,174*

53 Determasjoskoeffsete; R R og mellom korrelasjoskoeffsete av kvadratet ˆ SS Total SS Redduall 1 ˆ SS Total SS Model R SST SSR SST SSE R

54 1 0 determasjoskoeffsete,hvor korrelasjoskoeffsete Hvor godt represeterer regresjosmodelle data vhar? 0,175 0,01 ˆ R R R b a e Føygsmål determasjoskoeffsete

55 e ˆ a b SSR Resdual SS R SSE SST SST Total SS 6,4 R 1 SSR SST I vårt tlfelle er R lk 0,77, dvs at 77% av varasjoe M ka forklares av G. 33% av de resterede varasjoe ka kke forklares av G, me forklares av adre uobserverbare varabler.

56 Ved R=0 har v ge sammeheg mellom varablee. Ved R=1 har v perfekt sammeheg mellom varablee, ford alle datapuktee lgger på regresjoslje. R gr perfekt forklargskraft år R=1 eller R=-1. R gr ge forklargskraft år R=0.

57 Justert R "Adj R-squared" tar hesy tl hvor mage forklargsvarabler som er med modelle og atall observasjoer, dvs. de justerer for atall frhetsgrader df. Formele for å komme fram tl juster R er: Adj R 1 1 R 1 k hvor k er atall regresjoskoeffseter kostatledd + helgskoeffseter Med eksempelet over får v: Adj R-squared = ,771 9/8 = 1 0,36 = 0,764 Valg R vl alltd øke år v tar med flere varabler, og det er vktg å ta hesy tl det år e skal vurdere føygsmålet tl modelle.

58 Oppsummerg så lagt Har gått gjeom 3 4 sett av størrelser som blr estmert Bereget TS for g=0 helgskoeff=0 og _cos=0 kostatledd=0

59 H 0 : 0 H A : 0 TS estmat std.fel b std. error b 0,1748 0,0179 9,74 p-verd p < 0,05 : forkast H 0 på 5% vået tohaletest p < 0,01 : forkast H 0 på 1% vået tohaletest t TS bereget testobservator For p-verder, se del 5.4 sde 171

60 Hvorda bereges Std. Err. tl b? ˆ hvor / seb tlestmatore stadard error Std.Err. e b b b a e e s s b se s

61 Hva påvrker stadardfele tl b, seb? Jo mer varasjo/spredg, desto lavere stadardfel, oe som gr mer presse koeffsetestmat Jo flere observasjoer, desto lavere blr størrelse over brøkstreke, oe som gr lav stadardfel og dermed mer presse koeffsetestmat

62 Hvorda bereges Std. Err. tl a? Std.Err. stadard error tlestmatore seb se a s a se e / lgg 1.19 hvor e a b ˆ