Econ 2130 uke 13 (HG)

Transkript

1 Eco 30 uke 3 (HG) Iførg regresjo I deskrptv aalse (Løvås kap )

2 DATA: Resultater fra 500m og 5000m for me fra EM på skøter Heerevee 004. Obs 5000m 500m Obs 5000m 500m r. Td Sekuder Td Sekuder r. Td Sekuder Td Sekuder Tutert NED 6: : Poutala FIN 7: :5.7.7 Rosedahl Verheje NED 6: : FIN 7: : Vreugdehl Utdehaage NED 6: : BEL 6: : Romme NED 6: : Zoller AUT 7: : Makovetskj Skobrev RUS 6: : BLR 7: : Lalekov RUS 6: : Veldkamp BEL 6: : Fabrs ITA 6: : Vtípl CZE 7: : Röjler SWE 6: : Grozea ROU 6: : Fresger GER 6: : Bosker SUI 6: : Sætre NOR 6: : Pedos UKR 7: : Detshev RUS 6: : Valtoe FIN 6: : Aderse NOR 6: : Mazur POL 6: : Zgmut POL 6: : Aes ITA 6: : Scheder GER 6: : Ervk NOR 6: : Data-beskrvelse: observasjospar av (, ) : (, ),(, ),,(, )

3 Øsker å udersøke hvlke grad 500m tdee () ka forklares av 5000m tdee (). Ispeksjo av data: (Ecel-graf) 500m tder mot 5000m : 500 m (sek) : 5000 m (sek) De ekstreme observasjoe skldes Eskl Ervk som falt på 500m. Dee observasjoe ka trgt fjeres sde v ku er teressert tder for løpere som holder seg på bea. 3

4 Resket data med mste kvadraters regresjoslje (MKV) teget. I Ecel: høreklkk på et observasjospukt og velg tred le. 500m mot 5000m (ute Ervk) = R = R = vser at ca. 45% av varasjoe -ee det forelggede datamateralet er "forklart" av -ee. 4

5 Kostruksjo av MKV regresjoslje klusve R basert på data. Det følgede er et eksempel på e deskrptv aalse. E deskrptv aalse av et datamaterale er e aalse/beskrvelse av ku datasettet selv, ute å ta hes tl eller å trekke egeskaper tl populasjoe data er trukket fra. Koklusjoer basert på e deskrptv aalse dreer seg ku om datasettet selv, og går kke utefor datasettet. Det er ge statstsk modell (med stokastske varable og saslghetsfordelger) kttet tl e deskrptv aalse. Det er år v øsker å bruke formasjoe data tl å s oe om de bakeforlggede populasjoe data er trukket fra at v treger e statstsk modell som mulggjør evaluerg av uskkerhet (jfr. kap. 6) ved koklusjoer som trekkes om populasjoe. 5

6 Som regeeksempel trakk jeg et (lte) represetatvt utvalg på = 5 obs. par. Represetatvt utvalg betr her at alle mulge (kke-ordete) utvalg på 5 obs. par trukket fra data er lke saslge. ) E kosekves er at de fleste deskrptve størrelser som ka reges mutvalget vl lgge ær de tlvarede størrelsee data bereget ut fra = 7 observasjospar. Mutvalg (trukket med Ecel) 5000m 500m Artjom Detshev RUS Ga Romme NED Mka Poutala FIN Roald Bosker SUI Mroslav Vtípl CZE

7 Dat a: (, ),(, ),,(, ) Det vser seg at alle formler ekel leær regresjo ka reges ut ekelt med kalkulator ut fra følgede 5 størrelser, s,,, s, s. Dsse 5 er best å berege med pc (f.eks. med Ecel) Gjeomstt: = = = = Emprske varaser (også kalt utvalgsvaraser eller sampelvaraser) s s = ( ) = ( ) = s = ( )( ) = = Emprsk kovaras (også kalt utvalgskovaras eller sampelkovaras): I tllegg treger v emprsk korrelasjoskoeffset (også kalt utvalgs-korrelasjoskoeffsete eller sampel-korrelasjoskoeffsete ) r s = r = = s s s ss 7

8 For mutvalget ( ) ( ) ( )( ) Sum Gj.stt Dermed for mutvalget ( = 5): = = s = / 4 = s = / 4 = s = /4= For alle data ( = 7): = =.4 s = s = s = Emprsk korrelasjoskoeffset s r = = = ss r = r =

9 Mste kvadraters prspp 9

10 Data: observasjoer av (, ) : (, ),(, ),,(, ) Øsker å forklare ved. Ka alltd skrve = ˆ + d der ˆ = a + b = a + b + d der d = a b represeterer de "forklarte" dele, og d = ˆ represeterer de "uforklarte" dele. Betegelser = a + b ˆ d = ˆ kalles predkert kalles resdualer Mste kvadraters prspp (MKV) for å bestemme regresjoslja ŷ = a + b Velg a og b slk at ˆ = = = Q = d = ( ) = ( a b ) blr mst mulg. Q Q Løsg : = 0& = 0 d = 0& d = 0 a b = = s a = b og b = s (Detaljer appedks otatet) 0

11 Det er e teressat sammeheg mellom regresjoskoeffsete b og korrelasjoskoeffsete r: Altså s s s s s b = = = s ss s ss s s b= r s Koklusjoer: Atar s > 0 (ellers er kke r veldefert (0 0)) postv korrelasjo ( r> 0) mkv regresjoslje stgede ( b> 0) egatv korrelasjo ( r< 0) mkv regresjoslje avtagede ( b< 0) korrelasjo ull ( r = 0) mkv regresjoslje er flat ( b= 0) Nedefor vl v vse at alltd r r er et mål på grade av leær sammeheg mellom og ekstremtlfellet r = ± svarer tl at alle observasjospuktee lgger eksakt på e rett lje, dvs. alle = a + b = ˆ, eller m.a.o. alle d = 0

12 I regeeksemplet (mutvaleget med =5): Hele utvalget med = 7 s b = = = 0.75 s a = b = (0.75)(40.636) = 6.7 b = 0.46 a = Mutvalg - 5 observasjospukter hatt =

13 For mutvalget Obs. r. Predkert Resdual = a + b ˆ ˆ

14 Varasjosmål Mål på totalvarasjo for -ee data: SS = ( ) SS kort for sum of squares. Merk at SS = ( ) s gr samme formasjo som Mål på forklart varasjo data: T (sde Σ d =Σ( ˆ ) = 0 ˆ = ) T = ˆ = = s SS = ( ˆ ) = ( ˆ ) R (I mutvalg SS T = ) (I mutvalg SS R = 6.477) Mål på uforklart varasjo data: ( ) = Σ 0 = = SS = d d d (sde d = ) E (I mutvalg SS E = ) Merk at SST = SSR + SSE (!) - oe som gjeldert geerelt. 4

15 Fudametal regel (teorem) (vst appedks tl otatet) For mste kvadrater regresjoslje gjelder: (a) SST = SSR + SSE Regeformler ŷ = a + b basert på (, ),(, ),,(, ) (b) (c) SS = ( ) s T E = m = = = SS Q d ( ) s ( r ) (der Q er mmumsverde av Q) m Noe kosekveser: ( a) vser at SS SS, eller SS SS R T R T SSR Forholdet tolkes som et mål på adele av total varasjo av SST forklart av regresjoslja ˆ = a + b -ee 5

16 (Kosekveser forts.) ( ) ( ) R T s E E r T T T ( ) SS SS SS SS = = = = ( r ) = r SS SS SS s Dermed: Adel forklart varasjo av mkv-lja, ŷ = a + b, er gtt ved SS R SS = r T der r er (de emprske) korrelasjoskoeffsete basert på (, ),,(, ) I mutvalget r = = r ca. 40.% av varasjoe forklart Opprelge data r = = r ca. 45.7% av varasjoe forklart 6

17 Dessute SS = SS R r r r T (c) SSE = ( ) s( r ) vser at ekstremtlfellet =± = E = = 0 = 0 for alle = r r SS d d = ˆ = a + b alle puktee (, ),,(, ) lgger eksakt på e rett lje. Grulag for tolkg. Om v øsker å tolke resultatee fra dee deskrptve aalse utover dataee selv, treger v e statstsk modell for populasjoe (dvs. for mekasme som har geerert data). De ekle regresjosmodelle Løvås (avstt 7.3.) er e mulg kaddat: 7

18 Mulg modellsksse (se flere kommetarer otatet) La Y betege e stokastsk varabel som represeterer tde på 500m for e skøteløper som (dage før) har oppådd e td på 5000m. V har observasjoer,,,,, og v treger derfor stokastske varable Y, Y,, Y, e for hver skøteløper. Y represeterer dermed e løper som har oppådd tde på 5000m. Tallee,,, betraktes som gtte tall modelle. V atar geerelt Y = α + β+ e for e vlkårlg skøteløper på dette vået, og for de aktuelle skøteløpere, Y = α + β + e for =,,, der e, e,, e atas uavhegge og detsk ormalfordelte restledd med Ee ( ) = 0 og var( e) = σ. Modelle eholder tre parametre, αβ, og σ, som har ukjete verder populasjoe. Verdee, a og b, fra data betraktes som estmater for α og β. Metoder for å behadle dee modelle vdere er gtt kap. 6 og 7. Det ka vses ( vderegåede teor) at mkv-estmatee er optmale dee modelle. 8